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函数与极限测试题及答案(二)


函数与极限测试题(二) 一. 选择题 1.设 F(x) 是连续函数 f ( x ) 的一个原函数," M ? N " 表示“M 的充分必要条件是 N” ,则必 有( ). (B) F(x) 是奇函数 ? f ( x ) 是偶函数.

(A) F(x) 是偶函数 ? f ( x ) )是奇函数.

(C) F(x) 是周期

函数 ? f ( x ) 是周期函数. (D) F(x) 是单调函数 ? f ( x ) 是单调函数 2.设函数 f ( x ) ?

1 e
x x ?1

, 则( ) ?1

(A) (B) (C) (D)

x ? 0 , x ? 1 都是 f ( x) 的第一类间断点. x ? 0 , x ? 1 都是 f ( x) 的第二类间断点 x ? 0 是 f ( x) 的第一类间断点, x ? 1 是 f ( x) 的第二类间断点. x ? 0 是 f ( x) 的第二类间断点, x ? 1 是 f ( x) 的第一类间断点.

3.设 f ? x ? ?

x ?1 1 1, ]? ( ) , x ? 0、 ,则 f [ x f ( x) 1 B) 1 ? x
x

A) 1 ? x

C)

1 X

D)

x

4.下列各式正确的是 ( ) A)

C)

x?a x ) ? 9 ,则 a ? ( )。 x ?? x ? a A.1; B. ? ; C. ln 3 ; x ?1 x ) ?( 6.极限: lim( ) x ?? x ? 1
5.已知 lim ( A.1; 7.极限: lim A.1;
x ??

1 lim (1+ ) ? 1 x 1 lim (1? ) ? ?e x
x ?0? x x ??

1 ?e B) lim (1+ ) x 1 D) lim (1? ) ? e x
x ?0? ?x x ??

x

D. 2 ln 3 。

B. ? ;

C. e ; ) C.0;

?2

D. e 。

2

x 3 ? 2 =( x3
B. ? ;

D.2.

8.极限: lim x ? 1 ? 1 =( x ?0 x A.0; B. ? ;

) C 1;
2

D.2. ) D. 1 .
2

9. 极限: lim ( x 2 ? x ? x) =( x??
?

A.0;

B. ? ;

C.2; ) C. 1 ;
16

tan x ? sin x 10.极限: lim =( 3
x ?0

sin 2 x

A.0;

B. ? ;

D.16.

二. 填空题 11.极限 lim x sin
x ??

2x = x ?1
2



12.

lim

arctanx = x?0 x




13. 若 y ? f (x) 在点 x0 连续,则 lim[ f ( x) ? f ( x? )] =
x ? x?

14. lim

sin 5 x ? x ?0 x



15. lim(1 ?
n ??

2 n ) ? n



16. 若函数 y ?

x2 ?1 ,则它的间断点是 x 2 ? 3x ? 2
? x, x ? 0; ? f ( x ) ? x ? ?0, x ? 0; ? ? x, x ? 0. ?

17. 绝对值函数

x

其定义域是

,值域是

。 ,值域是三个点的集合 。

? 1, x ? 0; ? 18.符号函数 f ( x) ? sgn x ? ? 0, x ? 0; 其定义域是 ??1, x ? 0. ?
19 无穷小量是 。

20. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 连续,要求函数 y ? f ( x) 满足的三个条件是 三. 计算题 21.求 lim(
x ?0



1? x 1 ? ). ; ?x x 1? e
x ?5 x?2

22.设 f (e

x ?1

) ? 3x ? 2, 求 f ( x) (其中 x ? 0 );
x ?1
x

23.求

lim(3 ? x)
x ?2



24.求

lim( x ? 1)
x ??



25.求 lim

sin x 2 ; x ?0 tan 2 x( x 2 ? 3 x)

26. 已知 lim (
x ??

x?a x ) ? 9 ,求 a 的值; x?a

27. 计算极限 lim(1 ? 2 ? 3 )
n n n ??

1 n

;28.求 f ? x ? ?

x?2 ? lg ? 5 ? 2 x ? 它的定义域。 x ?1

29. 判断下列函数是否为同一函数: ⑴ f ( x)=sin x+cos x 与 g ? x ? =1 ;
2 2

x2 ? 1 ⑵ f ( x) ? 与 g ( x) ? x ? 1 ; x ?1
⑷ f ?x ? ?

⑶ f ( x) ?

?

x ? 1 与 g ( x) ? x ? 1 ;
2

?

2

?x ? 1?2 与 g ( x) ? x ? 1;

⑸ y ? ax2 与 s ? at 。 30. 已知函数 f ( x) ? x2 ?1 , 求 f ? x ?1?、f ( f ( x))、f

? f ?3? ? 2? ;


31. 求

3n 2 ? 5n ? 1 lim ; n??? 6n 2 ? 4n ? 7
n???

32. 求

1? 2 ??? n n ? ?? n2 lim
n? ??

33. 求

lim ( n ? 1 ? n ) ;

34. 求

lim

2 n ? 3n 2 n ? 3n



35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限

?x ? 1, x ? 2 ⑴ y?? ,x ? 2 ; x, x ? 2 ?
36.求 lim

?sin x, x ? 0 ? ⑵ y ? ?1 ,x ?0 。 x, x ? 0 ?3 ?
x ?3

1 ; x?3 x ? 3
x ?0

37. 求 lim

x?3 ; x2 ? 9

38.求 lim

1? x ?1 ; x

39.求当 x→∞时, 下列函数的极限 y ?

2x3 ? x 2 ? 1 。 x3 ? x ? 1

40. 求当 x ?? 时,函数 y ? 41.求 lim
x ?0

2x 2 ? x ? 1 的极限。 x3 ? x ? 1
42.求 lim
x?0

sin 3 x ; x
n ?3

1 ? cos x ; x2
2n

? 1? 43.求 lim?1 ? ? n?? ? n?
45.求 lim(1 ?
x ??



? 1? 44.求 lim?1 ? ? ; n?? ? n?
46.求 lim?1 ?

1 x ) ; kx
1

? x?? ?

1? ? ; x?

x

47.求 lim?1 ? kx?x 。
x?0

? sin x ,x ? 0 ? 48. 研究函数 f ( x) ? ? x 在点 x0 =0 处的连续性。 ?1, x ? 0 ?
49. 指出函数 f ( x ) ?

1 在点 x=1 处是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。 x ?1

?1 ? ,x ? 0 50. 指出函数 f ( x) ? ? x 在点 x=0 处是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。 ?0, x ? 0 ?
51. 指出函数 f ( x) ? ? 52.求 lim
x ?0

?x 2 , x ? 0 ?1, x ? 0

在点 x=0 处是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。

ln(1 ? x ) ; x

? x2 ?1 ? ? ln x ? ; 53.求 lim? ? x ?1 ? x ? 1 ? ?
54. 试证方程 2x -3x +2x-3=0 在区间[1,2]至少有一根。
3 2

55. 求 lim
x ?0

tan x ? sin x 。 sin 3 2 x

56. 试证正弦函数 y ? sinx 在区间 (-∞, +∞) 内连续。

? x,x ? 0 57. 函数 f ? x ? ?lx ? ? ;在点 x ? 0 处是否连续? l ??x,x ? 0
? x sin 1 ,x ? 0 x 58. 函数 f ( x) ? ? ;是否在点 x ? 0 连续? ? ? 0, x ? 0 ?
x 59. 求极限 lim a ? 1 . x ?0

x

函数与极限测试题答案(二) 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一:任一原函数可表示为 F ( x) ?

?

x

0

f (t )dt ? C ,且 F ?( x) ? f ( x).

当为偶函数时,有 F (? x) ? F ( x) ,于是 F ?(? x) ? (?1) ? F ?( x) ,即 ? f (? x) ? f ( x) ,也 即 f (? x) ? ? f ( x) ,可见为奇函数;反过来,若为奇函数,则

?

x

0

f (t )dt 为偶函数,从而

F ( x) ? ? f (t )dt ? C 为偶函数,可见(A)为正确选项.
0

x

【评注】 函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考与其原函 数的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然 x ? 0 , x ? 1 为间断点,其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数在 x ? 0 , x ? 1 点处无定义,因此是间断点.且 所以 x ? 0 为第二类间断点;
x ?1?

lim f ( x) ? ? ,
x ?0

lim f ( x) ? 0 , lim f ( x ) ? ?1 ,所以 x ? 1 为第一类间断点,故应选(D). ?
x ?1

x x ? ?? , lim ? ?? . 从 而 lim e x ?1 ? ?? , 【 评 注 】 应 特 别 注 意 : lim x ?1? x ? 1 x ?1? x ? 1 x ?1?

x

x ?1?

lim e

x x ?1

? 0.

3 - 8 CACCAC 8.∵x→∞时,分母极限为令,不能直接用商的极限法则。先恒等变形,将函数“有理化” :
1 原式 = lim ( x ? 1 ? 1)( x ? 1 ? 1) ? lim ? 1 . (有理化法) x ?0 x ?0 x( x ? 1 ? 1) x ?1 ?1 2

9 -10 DC
x? 1 x2 tan x (1? cos x) 1 10.解:原式 ? lim ? lim 2 3 ? . x ?0 x ?0 (2 x) 3 8x 16



等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限, 不能在代数和的情形中使用。 如上例

中若对分子的每项作等价替换,则原式 ? lim x ?0 二.填空题 11. 2;

x?x ?0 . (2 x) 3

2 12. 1; 13.0; 14.5; 15. e ; 16. x ? 1、 ;17. ( ?? , ?? )

?2

[ 0, ?? ) ;

18. ( ?? , ?? )

{?1,0,1} ;

19.在某一极限过程中,以 0 为极限的变量,称为该极限过程中的无穷小量
lim 20.①函数 y=f ? x ? 在点 x0 处有定义;② x ? x0 时极限 x ? x f ( x ) 存在;③极限值与函数值相
0

等,即 xlim f ( x) ? f ( x0 ) 。 ?x
0

三. 计算题 21.【分析】 " ? ? ?" 型未定式,一般先通分,再用洛比达法则. 【详解】

x ? x2 ?1 ? e?x 1? x 1 x ? x2 ?1 ? e?x = lim lim( ? ) ? lim x ?0 x ?0 1 ? e ? x x ?0 x2 x x(1 ? e ? x )

= lim

1 ? 2x ? e ?x 2 ? e?x 3 ? . = lim x ?0 x ?0 2x 2 2
23. e3 ; 24. e ;
2

1 ; 26. ln 3 ;27. 3 6 28. 解:由 x+2 ? 0 解得 x ? ?2 ;由 x-1 ? 0 解得 x ? 1 ;由 5 ? 2 x ? 0 解得 x ? 2.5 ;
22. f ? x ? ? 3lnx ? 1,x ? 0 ; 25.

{| 所以函数的定义域为 x 2.5>x ? ?2且x ? 1} 或表示为 ? ?2,1? ? ?1, 2.5? 。
29. ⑴、⑸是同一函数,因为定义域和对应法则都相同,表示变量的字母可以不同。⑵⑶不 是同一函数,因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数,因为它们对应的函数值不相同, 即对应法则不同。
2 30.解: f ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 1 ? x ? 2 x ; f 2

? f ? x ? ?=f ? x

2

? 1?=? x 2 ? 1? ? 1=x 4 ? 2x 2 ;
2

f ? f ? 3? ? 2 ?=f ? 32 ? 1 ? 2 ?=f ?10 ?=99 。

3n 2 ? 5n ? 1 5 3? ? 2 3n 2 ? 5n ? 1 n n lim ? lim ? lim 31.解: n??? 2 n ??? 6 n 2 ? 4 n ? 7 n??? 4 6n ? 4n ? 7 6? ? 2 n n

1 n2 7 n2

1 1 ? lim 2 3?0?0 1 n??? n??? n n??? n ? ? ? 1 1 6?0?0 2; lim 6 ? 4 lim ? 7 lim 2 n??? n??? n n??? n lim 3 ? 5 lim
n(n ? 1) 1? 2 ??? n n2 ? n 1 2 ? lim ? lim ? ; 解: lim n??? n??? n??? 2n 2 n2 n2 2
n???

32.

33 .解:

lim ( n ? 1 ? n ) ? lim

( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n ) ; n??? n ?1 ? n
1 n??? n ?0 n ?1 lim ? lim 1 n??? n n??? lim

? lim

n???

1 ? lim n ? 1 ? n n???

1 n ? n ?1 ?1 n

2 2 ( ) n ? 1 lim ( ) n ? lim 1 2 ?3 0 ?1 n??? 3 n??? lim ? lim 3 ? ? ? ?1 34.解: n??? n n n??? 2 n 2 n 2 ?3 0 ?1 ( ) ? 1 lim ( ) ? lim 1 n??? 3 n??? 3
n n

35.解:⑴因为

x ?2?

lim y ? 2, lim y ? 3 ?
x?2



x?2?

lim y ? lim y ;所以函数在指定点的 ?
x?2

极限不存在。⑵ 因为

x ?0

lim y ? sin 0 ? 0, lim y ? ? ?
x ?0

1 ? 0 ? 0 , lim y ? lim y ;所 x ?0 ? x ?0 ? 3

以函数在指定点的极限 lim
x?0

y ? 0。

36. lim
x ?3

lim1 1 1 1 x ?3 ? ? ? ; x ? 3 lim x ? lim3 3 ? 3 6
x ?3 x ?3

37. lim
x ?3

x ?3 x ?3 1 1 ? lim ? lim ? ; 2 x ? 9 x?3 ? x ? 3?? x ? 3? x?3 x ? 3 6

38. lim
x ?0

( 1 ? x ? 1)( 1 ? x ? 1) 1? x ?1 ?x ?1 1 ? lim ? lim ? lim ?? ; x ?0 x ?0 x 2 x( 1 ? x ? 1) x( 1 ? x ? 1) x?0 1 ? x ? 1
3 2

1 1 ? 3 2x ? x ? 1 x x 39. lim ? lim 3 x ?? x ?? 1 1 x ? x ?1 1? 2 ? 3 x x 1 1 lim 2 ? lim ? lim 3 x ?? x ?? x x ?? x 2?0?0 ? ? ?2 1 1 1? 0 ? 0 lim1 ? lim 2 ? lim 3 x ?? x ?? x x ?? x 2 1 1 ? 2 ? 3 2x2 ? x ? 1 x x 40. lim ? lim x x ?? x 3 ? x ? 1 x ?? 1 1 1? 2 ? 3 x x 1 1 1 2 lim ? lim 2 ? lim 3 x ?? x x ?? x x ?? x 0?0?0 ? ? ?0 1 1 1? 0 ? 0 lim1 ? lim 2 ? lim 3 x ?? x ?? x x ?? x sin 3x sin 3x ? lim ?3 ? 3 41. lim x ?0 x ?0 x 3x 2?

x x? ? 2 sin sin ? 1 ? cos x 1? 2 ? ? lim 2? ? 1 ? lim 42. lim 2 x ?0 x ?0 x 2 ? x ?0 x ? 2 x 4( ) 2 ? ? 2 2 ? ?
2

2

1 lim(1 ? ) n n ?? n ? e ?e 43. 原式= 1 1 lim(1 ? ) 3 n ?? n
1

?? 1 ? n ? ? ? 1 ?n ? 2 44. 原式 ? lim??1 ? ? ? ? ?lim?1 ? ? ? ? e n?? n?? ?? n ? ? ? ? n? ? ? ? ? ?
1

2

2

kx kx 1 ?? 1 ? ?k ? ? 1 ? ?k 45. 原式 ? lim ??1 ? ? ? ? ?lim?1 ? ? ? ? e k x ?? ? kx ? ? ? ? x??? kx ? ? ? ? ? ?

?x ?? 1 ? ? 46. 原式 ? lim??1 ? ? ? x?? ?? ? x ? ? ? ?

?1

?x ? ? 1 ? ? ? ?lim?1 ? ? ? ? x??? ? x ? ? ? ?

?1

? e ?1

47. 原式 ? lim?1 ? kx?kx
1

? ? x?0 ?

? k ? ?e ?

k

48.解? lim f ( x) ? lim
x ? x0 x ?0
x ?0

sin x ? 1而f ( x0 ) ? f (0) ? 1 x

? l i mf x ? f ( 0函数在 x ?处连续。 ( ) ?) 0
49. 间断,函数在 x=1 处无定义且左右极限不存在,第二类间断点 50. 间断,函数在 x=0 处左右极限不存在,第二类间断点 51. 间断, lim f ( x ) ? 0 但 f ? 0?= ,两者不相等,第一类间断点 1
x ?0

52.

1 1 ln(1 ? x) x ? lim ln(1 ? x) ? ln lim(1 ? x) x ? ln e ? 1 解: lim x ?0 x ?0 x ?0 x

53.

? x2 ?1 ? ? ln x ? ? lim ?? x ? 1? ln x ? ? 2 ? 0 ? 0 解: lim ? ? ? x ?1 ? x ?1 ? x?1

54. 证明:设 f ( x)=2x3-3x 2+2x-3 ,则在[1,2]上连续, f ?1?=-2 ? 0,f ? 2?= ? 0 5

2) 根据零点定理,必存在一点 ? ? (1, 使 f (? )=0 ,则 x=? 就是方程的根。
x? 1 x2 tan x (1? cos x) 1 原式 ? lim ? lim 2 3 ? x ?0 x ?0 (2 x) 3 8x 16

55. 56.

? 证 明 : ?x ? (??, ?) , 任 给 x 一 个 增 量 ?x , 对 应 的 有 函 数 y 的 增 量

?y ? sin( x ? ?x) ? sinx ? 2sin ?x ? cos( x ? ?x ) . 2 2

∵ 0 ? ?y ? 2 sin ?x ? 2 ?
2

?x 0 ,再由 x 的任意性知 ? ?x ,由夹逼准则知, ? y ? (?x ? 0) 2

? 正弦函数 y ? sinx 在其定义域 (??, ?) 上处处连续,即它是连续函数。
57. 解:注意 f (x)是分段函数,且点 x ? 0 两侧 f 表达式不一致。 解法 1:

lim ? f ? 0 ? 0 ? ? x ? ? ( ? x) ? 0 ,
0

lim ? f ? 0 ? 0 ? ? x ?0? x ? 0 , ∴ lim f ( x ) ? 0 . x?
0

又 f ?0

? ? 0,
x ?0

∴ 函数 f ? x ? ?lx 在点 x ? 0 处连续(图 1—19) 。 l
x ?0

解法 2 ∵ lim f ( x) ? lim (? x) ? 0 ? f (0) , ? ?

∴ 函数在点 x ? 0 左连续;

又∵ xlim f ( x) ? xlim x ? 0 ? f (0) , ∴ 函数在点 x ? 0 右连续,所以函数在点 x ? 0 连续。 ?0 ? ?0 ? 58 证 虽然 f ( x ) 是分段函数,但点 x ? 0 两侧函数表达式一致。
M ?0 lim lim ∵ x? f ( x) ? x? x sin 1 ??? 0 ? f (0) ,∴ f (x) 在点 x ? 0 处连续。 x 0 0

59. 解:令 a –1 ? t ,则 x ? loga ?1 ? t ? ,当 x ? 0 时, t ? 0 ,
x

∴ 原式 ? lim ?
t

1 t 1 ? lim ? ln a . 1 ? 0 log a (t ? 1) t ?0 log a e log a (t ? 1) t

x x 特别地, lim e ? 1 ? 1 ,这表明 x ? 0 时, x ? e ? 1 . x ?0 x


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