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2013高考数学复习课件 8.1 直线与方程 距离公式 理 新人教版


第八章 平面解析几何

1.直线与方程 (1) 在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定 直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两 点的直线斜率的计算公式. (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行 或垂直. (4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方 程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜 截式与一次函数的关系.

(5)能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. (6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公 式,会求两条平行直线间的距离.

2.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方 程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程,判断直线与 圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程,判断 两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问 题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思 想.

3.圆锥曲线与方程 (1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线 在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及 简单几何性质. (3)了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和 标准方程,知道它们的简单几何性质. (4)理解数形结合的思想. (5)了解圆锥曲线的简单应用. (6)了解方程的曲线与曲线的方程的对应关 系.

向上 1.直线的倾斜角:直线向上的_____与x轴的正方向 x轴 所成的 [0,π) 最小正角叫做直线的倾斜角.规定:直线与____平行 或重 tan α 正切值 合时,倾斜角为0°.倾斜角的范围是_______. 2.直线的斜率:倾斜角α不是90°的直线,它的倾斜 角α的 y1-y2 直线的斜率公式为 k= (其中 x1≠x2). _______叫做直线的斜率,即k=_____;当α=90°时 x1-x2 直线的斜率不存在.经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2) 的 y-y1=k(x-x1)

(2)斜截式:直线在y轴上的截距为b且斜率为k,方 y=kx+b 程为:_________;
(3)两点式:直线经过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)且 x1≠x2、 y-y1 x-x1 y1≠y2,方程为: ; = y2-y1 x2-x1 (4)截距式:直线在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 x y b,方程为:a+b=1 .
Ax+By+C=0 (5)一般式:______________(其中A、B不全为0).

4.两直线的平行与垂直: 已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则直线 k2 k1k2=-1 l1∥l1=k2 b1≠b2 ?_______且_____;直线l1⊥l2?__________. A1B2x+B1 A =0,l 已知直线l1:A1=A2B1y+C11C2≠A2C 2:A2x+B2y+C2 (A1A2+B1B 2?___________且_________;直 =0,则直线l1∥l2=0 线l1⊥l2?_______________. 5.求两相交直线的交点坐标,一般通过联立方程 6.点到直线的距离:点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 组求解. |Ax0+By0+C|
的距离:d=

A2+B2 |x0-a| =a 的距离为:d=_______.

.特别地,点 P(x0,y0)到直线 x

两平行直线 l1:Ax+By+C1=0、l2:Ax+By+C2=0 间的 |C1-C2| 距离 d= . A2+B2 7 . 平 面 上 两 点 P1(x1 , y1) 、 P2(x2 , y2) 的 中 点 坐 标 x1+x2 y1+y2 为 ( , ). 2 2 8.已知平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|=

?x1-x2?2+?y1-y2?2 __________________.特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,
y)的距离|OP|= x2+y2.

9.对于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,则 |y2-y P P1P2与x轴垂直,此时|P11| 2|=_______;若y1=y2, |x2-x1| 则P1P2与y轴垂直,此时|P1P2|= _______.显然,上 述两种情形都适合两点间的距离公式. (a,-b) 10.A(a,b)关于x轴的对称点为________;关于y (b,a) (-a,b) 轴的对称点为________ ;关于直线y=x的对称点 (-b,-a) 为______;关于直线y=-x的对称点为__________; (a,2n-b) 关于直线x=m的对称点为(2m-a,b);关于直线y =n的对称点为________.

(

1.已知直线l过点(m,1),(m+1,tan α+1),则 ) A.α一定是直线l的倾斜角 B.α一定不是直线l的倾斜角 C.α不一定是直线l的倾斜角 D.180°-α一定是直线l的倾斜角 解析:设 θ 为直线 l 的倾斜角,则
tan α+1-1 tan θ= =tan α, m+1-m 所以 α=kπ+θ,k∈Z,当 k≠0 时,θ≠α.

答案:C

2.若 ab<0,则过点 的倾斜角的取值范围是
? π? A.?0, ? 2? ? ? π? C.?-π,- ? 2? ?

? 1? P?0,- ?与 b? ?

?1 ? Q? ,0?的直线 ?a ?

PQ )

(
?π ? B.? ,π? ?2 ? ? π ? D.?- ,0? ? 2 ?

1 b a a 解析:kPQ= = ,因为 ab<0,所以 <0,即 k<0, 1 b b a 所以直线 PQ
答案:B
?π ? 的倾斜角的取值范围是? ,π?. ?2 ?

3.若A(sin θ,cos θ)、B(cos θ,sin θ)到直线 xcos θ+ysin θ+p=0(p<-1)的距离分别为m、n, 则m、n的大小关系是 ( ) A.m≥n B.m≤n C.m>n |sin θcos θ+cos θsin θ+p| D.m<n
解析:m= cos θ+sin θ
2 2

=|sin 2θ+p|=

|cos2θ+sin2θ+p| -(sin 2θ+p),n= =-(1+p)≤-(sin 2θ 2 2 cos θ+sin θ +p),故选 A. 答案:A

4.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、 ∠C所对边的边长,则直线x· A+ay+c=0与 sin bx-y· B+sin C=0的位置关系是________. sin a b
解析:在△ABC 中,由正弦定理得 = , sin A sin B 所以 asin B-bsin A=0,所以两直线垂直.
答案:垂直

1.用待定系数法求直线方程的步骤 (1)设所求直线方程的某种形式; (2)由条件建立所求参数的方程(组); (3)解这个方程(组)求参数; (4)把所求的参数值代入所设直线方程. 2.求直线方程的主要方法是待定系数法, 在使用待定系数法求直线方程时,要注意方程 的选择. 3.要认清直线平行、垂直的充要条件, 应特别注意x和y的系数中一个为零的情况的讨

|C1-C2| 4. 在运用公式 d= 2 2求平行直线间的距离时, A +B 一定要把 x、y 项的系数化成相等的系数.

5.点到直线的距离公式是一个基本公式, 它涉及绝对值、直线垂直、最小值等内容. 6.对称问题要利用两直线垂直的性质和中 点坐标公式.注意对称变换在解题中的作用.此 外,通过求点关于直线的对称点,还可解决以下 两类问题:①两点在直线同侧,在直线上求一点, 使该点与这两点的距离之和最小;②两点在直线 同侧,在直线上求一点,使该点与这两点的距离 之差的绝对值最大.

(即时巩固详解为教师用书独有)
【案例 1】 求直线 xsin θ+ 3y+2=0(θ∈R)的倾斜角 的取值范围. 关键提示:直线倾斜角的取值范围为[0°,180°),而 这个区间不是正切函数的单调区间,因此在由斜率的范围求 倾斜角的范围时,一般要分成[0°,90°)与(90°,180°) 或(-∞,0)与[0,+∞)两种情况讨论. 要想求出直线倾斜角的范围,必须先求出直线斜率的 范围.

考点一

直线的倾斜角和直线的斜率

3 解:由已知,直线的斜率 k=- sin θ. 3 3 3 所以- ≤k≤ . 3 3 3 π 当 0≤k≤ 时,直线的倾斜角 α 满足:0≤α≤ ; 3 6 3 5π 当- ≤k<0 时,直线的倾斜角 α 满足: ≤α<π. 3 6
? ? π? ?5π 所以直线倾斜角的取值范围为?0, ?∪? ,π?. 6? ? 6 ? ?

【即时巩固 1】

2 点 P 是曲线 y=x -x+ 上的动点,设 3
3

点 P 处切线的倾斜角为 α,则 α 的取值范围是 π A.[0, ] 2 3π C.[ ,π) 4 π 3π B.[0, )∪[ ,π] 2 4 π 3π D.( , ] 2 4

(

)

解析:斜率k=y′=3x2-1≥-1,即tan α≥ -1,故选B.
答案:B

考点二 直线方程的几种形式 【案例2】 过点(-5,-4)作一直线l,使它与 两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5.求 该直线l的方程. 关键提示:直线l应满足的两个条件是:(1)直线 l过点 (-5,-4);(2)直线l与两坐标轴相交且与两轴 所围成的三角形面积为5.可利用条件(1)设出直线l的 方程(点斜式),利用条件(2)确定k;也可利用条件(2) 解:方法一:设直线 l 的方程为 y+4=k(x+5), 设出直线l的方程(截距式),结合条件(1)确定截距的 分别令 y=0,x=0, 值.
-5k+4 得 l 在 x 轴,y 轴上的截距为:a= ,b=5k-4. k

-5k+4 由条件(2)得 ab=± 10,所以 · (5k-4)=± 10. k 故 25k2-30k+16=0,无实数解; 8 2 或 25k -50k+16=0,解得 k1= ,k2= , 5 5
2

故所求的直线方程为:8x-5y+20=0 或 2x-5y-10=0. x y 方法二:设 l 的方程为 + =1, a b

-5 -4 因为 l 经过点(-5,-4),则有: + =1. a b 又因为 ab=± 10, ?-5 -4 ? + =1, a b 联立①、②,得方程组? ?ab=± 10, ? 5 ? ?a=5, ?a=- , ? 2 ? 或? ?b=-2. ? ?b=4 ?

① ②

解得

因此,所求直线方程为:8x-5y+20=0 或 2x-5y- 10=0.

【即时巩固 2】 已知△ABC 在第一象限,A(1,1), π π B(5,1),∠A= ,∠B= ,如图.求: 3 4

(1)AB所在的直线方程; (2)AC和BC所在的直线方程; (3)AC,BC所在直线与y轴的交点间的距 离.

1-1 解:(1)因为 kAB= =0, 5-1 所以 AB 所在直线方程为 y=1. π (2)kAC=tan = 3, 3 所以 AC 所在直线方程为 y-1= 3(x-1), 即 3x-y+1- 3=0. 又
? π? kBC=tan?π- ?=-1, 4? ?

所以 BC 所在直线方程为 y-1=-(x-5), 即 x+y-6=0.

(3)由直线 AC 的方程 3x-y+1- 3=0, 令 x=0,则 y=1- 3. 由直线 BC 的方程 x+y-6=0, 令 x=0,则 y=6. 所以两交点间的距离为|6-1+ 3|=5+ 3.

考点三 两条直线的平行与垂直 【案例3】 已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2: 2x+my-1=0. (1)若l1与l2相交于点P(m,-1),求m与n的值; (2)若l1∥l2,求m与n的值; (3)若l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1,求m与n 的值. 关键提示:考查两直线的位置关系与方程系数 解:(1)因为m2-8+n=0,且2m-m-1=0, 的关系. 所以m=1,n=7.
(2)因为m· m-8×2=0,所以m=±4.



?m=4, ? 8×(-1)-n· m≠0,得? ?n≠-2 ?

?m=-4, ? 或? ?n≠2. ?

所以 m=4,n≠-2 或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2. (3)当且仅当 m· 2+8· m=0,即 m=0 时,l1⊥l2. n 又因为- =-1,所以 n=8,所以 m=0,n=8. 8

点评:若直线l1、l2的方程分别为A1x+B1y+ C1=0与A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2的必要条件是 A1B2-A2B1=0,l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2 =0.

1 【即时巩固 3】 “m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 2 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 ( )

A.充分必要条件 C.必要而不充分条件


B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条

解析:两直线垂直?(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,解得

1 1 m=-2 或 m= , 所以 m= 是两直线垂直的充分不必要条件, 2 2 故选 B. 答案:B

考点四
【案例 4】

点与直线的距离
已知定点 P(-2,-1)和直线 l:(1+3λ)x+

(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R).求证:不论 λ 取何值,点 P 到直 线 l 的距离不大于 13. 关键提示:直接证明或利用直线系的性质,求出直线l过 定点,再利用图象易证. 证明:方法一:由点到直线的距离公式,得

|-2?1+3λ?+?-1??1+2λ?-?2+5λ?| d= ?1+3λ?2+?1+2λ?2 |13λ+5| = . 2 13λ +10λ+2

132λ2+130λ+25 因为 d2= 13λ2+10λ+2 1 =13- 2 ≤13, 13λ +10λ+2 所以 d≤ 13.

方法二:将原方程化为(x+y-2)+ λ(3x+2y-5)=0,易知l恒过直线x+y-2 =0与3x+2y-5=0的交点Q(1,1),如图 所示.从几何直观可知,d≤|PQ|.
由|PQ|= ?-2-1?2+?-1-1?2= 13知原命题成立.

【即时巩固4】 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2= 25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4= 0(m∈R). (1)求证:不论m取什么实数,直线l与圆C恒交 于两点; (1)证明:直线 l 的方程可化为 (2)求直线l被圆C截得的线段长度最短时m的 (2x+y-7)m+(x+y-4)=0,m∈R. 值.
?2x+y-7=0, ? 由? ?x+y-4=0, ? ?x=3, ? 解得? ?y=1. ?

这表明此直线过定点A(3,1). 又因为(3-1)2+(1-2)2<25, 所以点A在圆C内, 所以直线l一定与圆C有两个交点.

(2)解:如图所示,当圆心和点A的连线与过点 A的弦垂直时,截得的弦长最短,

1-3 2m+1 3 则- =2=- ,解得 m=- . 4 2-1 m+1

考点五 对称问题 【案例5】 已知A(-3,5),B(2,15),试在直 线l:x-y=0上找一点P,使|PA|+|PB|最小,并求 出最小值. 关键提示:作出A点关于直线l的对称点A′,易 知A′B的长即为|PA|+|PB|的最小值. 解:如图,设A′与A关于直线x-y=0对称. 因为点A的坐标为(-3,5), 所以点A′的坐标为(5,-3). 由图知|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|.

当且仅当 B、P、A′三点共线时,“=”成立. 所以|PA|+|PB|的最小值为 ?5-2?2+?-3-15?2=3 37. 直线 A′B 的方程为 6x+y-27=0.

将其与 x-y=0 解得
?27 27? P? , ?. 7? ?7

?6x+y-27=0, ? 联立得? ?x-y=0. ?

所以|PA|+|PB|的最小值为 3 37, 此时 P
?27 27? 点的坐标为? , ?. 7? ?7

【即时巩固5】 已知△ABC的顶点A为(3,- 1),AB边上的中线所在直线方程为6x+10y-59= 0,∠B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0, 求BC边所在直线的方程.
解:设 B(4y1-10,y1), 由 AB 中点在 6x+10y-59=0 上可得: 4y1-7 y1-1 6· +10· -59=0,y1=5,所以 B(10,5). 2 2 设 A 点关于 x-4y+10=0 的对称点为 A′(x′,y′),

y′-1 ?x′+3 ? -4· +10=0, 2 2 ? 则有? ?y′+1 1 ?x′-3·=-1 4 ?

?A′(1,7).

因为直线AB与直线BC关于∠B的平分线对称, 所以A′点在直线BC上. 因为A′(1,7),B(10,5), 由两点式可得直线BC的方程为2x+9y-65= 0.


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