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抛物线教学设计


《抛物线及其标准方程》教学设计
教学设计 1.1 教学内容分析

圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容,本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和 抛物线三个部分,三部分在圆锥曲线中的地位相同。 随着学生数学知识的逐渐完备, 尤其是学习了椭圆、 双曲线的第二定义之后, 已具备了探讨这个问题的能力。从本章来讲,这一节放在椭圆和双曲线之后,一 方面是三种圆锥曲线统一定

义的需要,抛物线是离心率 e=1 的特例。另一方面也 是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。本节对抛物线定义的 研究,与初中阶段二次函数的图像遥相呼应,体现了数学的和谐之美。教材的这 种安排,是为了分散难点,符合认知的渐进性原则。 讲解时采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出抛物线的定 义、标准方程,最后反思应用。本课是第一课时,它是学习抛物线的性质及其应 用的基础。抛物线的定义很简单但非常重要,学习时要注意和椭圆、双曲线的第 二定义相联系, 为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备。 由椭圆、 双曲线、 抛物线的定义可以看出, 它们都是平面内与一个定点的距离和它到一条直线的距 离之比为常数 e 的点的轨迹,随着 e 的变化,轨迹的图形发生变化,既可从中得 到圆锥曲线的统一定义,又可对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主 义思想教育。 在由抛物线的定义导出它的标准方程时,可先让学生考虑怎样选择 坐标系,在导出方程的过程中,设焦点到准线的距离是 p,这就是抛物线方程中 参数 p 的几何意义,所以 p 的值永远大于 0。

1.2

数学情境的创设

围绕新课改的精神,我设置了以下的数学情境: 前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义,标准方程,几何性质,大家想一 想:椭圆、双曲线的共同特点? 与一个 定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e 的点的轨迹,当 0<e <1 时是椭圆,当 e>1 时是双曲线,那么,当 e=1 时,它是什么曲线呢? 师生一起利用几何画板进行动画演示得出 e=1,指出此时曲线是抛物线。

1.3

教学目标

根据教学大纲和考试说明, 结合数学情境的创设,确定本节课的素质教育目 标是: ⑴知识教学目标:①掌握抛物线的定义、几何图形,明确焦点和准线的意义 ②会推导抛物线的标准方程 ③能够利用给定的条件求抛物线的标准方程。 ⑵能力训练目标:通过“观察” “思考” “探究”与“合作交流”等一系列数学 活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能 力,能使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的 数学观,并进一步感受坐标法及数形结合的思想。 ⑶德育渗透目标:通过提问、讨论、思考解答等教学活动,进一步培养学生合
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作、交流的能力和团队精神,培养学生善于观察、勇于探索、严密 细致的科学态度;激发学生积极主动地参与数学学习活动,养成良 好的学习习惯。

2

教学过程 创设情境

2.1

师:前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义,标准方程,几何性质,大家 想一想:椭圆、双曲线的共同特征是什么? 生:与一个 定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e 的点的轨迹,当 0<e<1 时是椭圆,当 e>1 时是双曲线? 师:那么,当 e=1 时,它是什么曲线呢? 师生一起利用几何画板进行动画演示得出 e=1,指出此时曲线是抛物线。 (通过几何画板的演示, 由 e 的变化揭示课题, 通过研究 e 的值, 得到抛物线, 再观察抛物线的点满足的条件,由学生归纳抛物线的定义,生动、直观。 )

2.2

探索研究

1、 实验、演示,观察猜想。 几何画板课件演示: 学生观察 ① 动点 M 到焦点 F 的距离|MF|与动点 M 到定直线 l 的距离 d 之间 的关系;② 观察追踪动点 M 得到的轨迹形状。 探索出当 e =1 时动点 M 的轨迹为抛物线,进而给出抛物线的定义。 2、抛物线的定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点 F 叫抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 3、 求抛物线的标准方程。 师:下面,根据抛物线的定义,我们来求抛物线的方程,过 F 作准线的垂 线,垂足为 K,设|MK|=p,如何建立直角坐标系? 先让学生思考,独立建立直角坐标系,教师巡视,从学生中归纳出以下几种 解法,视频展台展出。

( x ? p ) 2 ? y 2 ?| x |

x 2 ? y 2 ?| x ? p |

p p ( x ? ) 2 ? y 2 ?| x ? | 2 2

y2=2px-p2(p>0) y2=2px+p2(p>0) y2=2px (p>0) 师:选择哪一种方程作为抛物线的标准方程?并说明理由。 生:将方程 y2=2px (p>0)叫做抛物线的标准方程,因为此时方程最简洁, 顶点是原点。 师:很好!我们把方程 y2=2px (p>0)叫做抛物线的标准方程,它表示焦点
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在 x 轴的正半轴上,坐标是(

p p ,0),准线方程是 x= ? 。 2 2 强调:① p 的几何意义; ② 已知抛物线的标准方程 y2=2px (p>0) ,迅速写出它的焦点坐 标、准线方程; ③ 已知抛物线的焦点 F(p/2 ,0)或准线方程 x=-p/2 (p>0) , 迅速写出其标准方程。

4、 讨论四种位置上的抛物线标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程
p 2

y 2 ? 2 px

? p ? 0?
y 2 ? ?2 px

?p ? ? 2 ,0? ? ?

x??

? p ? 0?
x 2 ? 2 py

? p ? ? ? 2 ,0? ? ?

x?

p 2

? p ? 0?
x 2 ? ? 2 py

? p? ? 0, 2 ? ? ?

y??

p 2

? p ? 0?

p? ? ? 0, ? 2 ? ? ?

y?

p 2

【注意】图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆,通过四种标准方程 对比,总结出 ①方程的一次项决定焦点的位置。 ②一次项系数的符号决定开口方向。

2.3 知识应用
例 1、 (1)已知抛物线的标准方程是 y 2 ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程 (2)已知抛物线的焦点坐标是 F ? 0, ?2? ,求它的标准方程。 (3)已知抛物线的准线方程是 y=3,求它的标准方程. 【点拨】巩固四种方程的形式及曲线特征,熟悉相关公式。注意图形在解
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题过程中的作用,渗透数形结合的思想。

2.4

归纳总结
⑴抛物线的定义、焦点、准线、标准方程等基本知识及其相互联系; ⑵理解 p 的几何意义,即焦点到准线的距离,p>0; ⑶掌握用坐标法求曲线方程的方法,要注意选好坐标系的恰当位置。 数学思想方法: 坐标法、数形结合、待定系数法、定义法

教学设计说明
本节教材是在学生学习了椭圆、双曲线之后,因此在教学中,要时时注意与 前两种曲线进行对比, 求曲线方程的步骤、建系方法都是学生已经理解和掌握了 的,我充分调动学生已有的知识,引导学生把新旧知识有机融合,掌握知识的系 统结构。 一、 教学手段 通过图片的形象展示及信息技术应用, 在本节课的概念形成过程中起到 非常重要的作用, 为教师进行教学演示和学生的观察提供了平台,相关的实 验材料可向学生预先布置,做好准备,使课堂紧凑有序。 二、设计评价 数学教育不仅要重视基础知识、基本技能的落实,而且要重视学生能力的培 养,特别是学生的创新精神和实践能力。 纵观整个教学过程,我不断为学生提供思考及合作的探究性活动,让学生充 分发挥他们的聪明才智, 通过恰当的问题设置,启发学生参与到问题中进行思考 探究,学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题、解决问题,从而培养学生的创新精 神和实践能力。 本节课我的设计理念遵循三条原则,以学生为主体,以合作探究为手段,以 能力提高为目的。 教学过程中充分关注学生能否积极主动的参与知识探索,能否 应用适当的语言表达自己的思想,交流自己的学习体验.学生通过自主探究,合 作交流,体味合作学习的快乐,体味冥思苦想后的豁然开朗,体味逻辑思维的严 谨美。 三、 设计理念 古语云:纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。新课标也强调教学要突出学生 的主体作用,本节课的设计围绕“画法”展开,从条件的熟悉,曲线的出现,参 数的引入均与此密切相关,强调学生动手、动脑,以画法为载体,使学生的探究 活动贯穿本节课的始终,不但学会,而且会学。

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《抛物线及其标准方程》教学设计

珲春一中数学组 刘国梁 2011.11.29

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