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2012江苏数学高考模拟试卷4


高考数学测试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1.若集合 A={x|x>2},B={x|x≤3},则 A∩B= 2.函数 y= 3 sin2x+cos2x 的最小正周期是 3.已知(a+i)2=2i,其中 i 是虚数单位,那么实数 a= . . . .

4.已知向量 a 与 b

的夹角为 60?,且|a|=1,|b|=2,那么 (a ? b)2 的值为 5.底面边长为 2m,高为 1m 的正三棱锥的全面积为 6.若双曲线 x2 ? m2.

y2 ? 1 的焦点到渐近线的距离为 2 2 ,则实数 k 的值是 k




? x ? y ? 1≥ 0, ? 7.若实数 x,y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z=x+2y 的最大值是 ? x ≤ 0, ?

8.对于定义在 R 上的函数 f(x),给出三个命题: ①若 f (?2) ? f (2) ,则 f(x)为偶函数; ②若 f (?2) ? f (2) ,则 f(x)不是偶函数; ③若 f (?2) ? f (2) ,则 f(x)一定不是奇函数. 其中正确命题的序号为 . .

9.图中是一个算法流程图,则输出的 n= 开始 n←1,S←0

S<2011 是 S←S+2
n

否 输出 n 结束

n←n+1
(第 9 题图)

10.已知三数 x+log272,x+log92,x+log32 成等比数列,则公比为
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? a11 ? ? a21 11.已知 5×5 数字方阵: ? a31 ? ? a41 ?a ? 51

a12 a22 a32 a42 a52

a13 a23 a33 a43 a53

a14 a24 a34 a44 a54

a15 ? ? a25 ? ?1 ( j 是 i 的整数倍), a35 ? 中, aij ? ? ? ??1( j 不是 i 的整数倍). a45 ? a55 ? ?

则 ? a3 j ? ? ai 4 =
j ?2 i?2

5

4



? π π 12. 已知函数 f(x)= x 2 ? cos x ,x∈ [? , ] ,则满足 f(x0)>f( )的 x0 的取值范围为 3 2 2



13.甲地与乙地相距 250 公里.某天小袁从上午 7∶50 由甲地出发开车前往乙地办事.在上 午 9∶00,10∶00,11∶00 三个时刻,车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均 速度继续行驶,那么还有 1 小时到达乙地” .假设导航仪提示语都是正确的,那么在上午 11∶00 时,小袁距乙地还有 公里.

14. 定义在 [1, ??) 上的函数 f(x)满足: ①f(2x)=cf(x)(c 为正常数); ②当 2≤x≤4 时, f(x)=1-|x-3|. 若 函数的所有极大值点均落在同一条直线上,则 c= .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写 出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成绩样本,得频率分 布表如下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 合 (1)写出表中①②位置的数据; (2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生 进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数; (3)在(2)的前提下,高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生,求 2 人中至少有 1 名是第四 分组 频数 8 ① 15 10 5 50 频率 0.16 0.24 ② 0.20 0.10 1.00

? 230, 235? ? 235, 240 ?

? 240, 245? ? 245, 250 ?
[250, 255]



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组的概率. 16.(本题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中. (1)若 BB1=BC,B1C⊥A1B,证明:平面 AB1C ? 平面 A1BC1; (2)设 D 是 BC 的中点,E 是 A1C1 上的一点,且 A1B∥平面 B1DE,求
A1 E 的值. EC1

A1

E B1

C1

A D
(第 16 题图)

C B

17.(本题满分 14 分)

在△ABC 中,a2+c2=2b2,其中 a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边长. (1)求证:B≤ (2)若 B ?

? ; 3

? ,且 A 为钝角,求 A. 4 18.(本题满分 16 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 x2+y2=1 上. (1)求椭圆的方程; (2)设 A,B,M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角 θ,使
OM ? cos? OA ? sin ? OB .
2 x2 y 2 ,其焦点在圆 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 2 2 a b

(i)求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值; (ii)求 OA2+OB2. 19.(本题满分 16 分) 已知数列{an}满足:a1=a2=a3=2,an+1=a1a2?an-1(n≥3),记
2 bn?2 ? a12 ? a2 ? 2 ? an ? a1a2

an (n≥3).

(1)求证数列{bn}为等差数列,并求其通项公式; (2)设 cn ? 1 ?
1 1 ? 2 ,数列{ cn }的前 n 项和为 Sn,求证:n<Sn<n+1. 2 bn bn ?1

20.(本题满分 16 分) 设函数 f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c,其中 a>0,b,c∈R.

1 (1)若 f ?( ) =0,求函数 f(x)的单调增区间; 3
(2)求证:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .

数学Ⅱ(附加题)
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21. 【选做题】本题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,每小题 10 分,共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于 点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC,求证:∠PDE=∠POC. A B.选修 4-2:矩阵与变换
?a 0? 已知圆 C: x ? y ? 1 在矩阵 A = ? ? (a ? 0, b ? 0) 对 ?0 b?
2 2

E · O C
(第 21-A 题图)

B D

P

应的变换作用下变为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,求 a,b 的值. 9 4
A B

C.选修 4-4:坐标系与参数方程

? ? 在极坐标系中,求经过三点 O(0,0),A(2, ),B( 2 2 , ) 2 4
的圆的极坐标方程. D.选修 4-5:不等式选讲

O
(第 21-C 题图)

x

y 已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z
22. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?
1? x , x ≥ 0 ,其中 a>0. 1? x

(1)若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)若 f ( x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围.
w.w.w.k .s.5.u. c.o. m

23. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 过抛物线 y2=4x 上一点 A(1,2)作抛物线的切线,分别交 x 轴于点 B,交 y 轴于点 D,点 C(异于点 A)在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足 AE =λ1 EC ; 点 F 在线段 BC 上,满足 BF =λ2 FC ,且 λ1+λ2=1,线段 CD 与 D EF 交于点 P. (1)设 DP ? ? PC ,求 ? ; (2)当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. B
O P

y A E x

F C
(第 23 题图)

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数学测试卷参考答案
1. (2,3] 11.-1 15. 解: (1) ①②位置的数据分别为 12、0.3; ??????????????????4 分 2. π 3. 1 4. 7 5. 3 3 13. 60 6. 8 7. 2 8. ② 9. 11 10. 3
? ? ? ? 12. [? , ? ) ∪ ( , ] 2 3 3 2

14. 1 或 2

(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为 3、2、1; ?????????????8 分 (3) 设上述 6 人为 abcdef(其中第四组的两人分别为 d,e),则从 6 人中任取 2 人的所有情 形为:{ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef} 共有 15 种.????????????????????????????10 分 记“2 人中至少有一名是第四组”为事件 A,则事件 A 所含的基本事件的种数有 9 种. ???????????????????????????????12 分 所以 P( A) ? 16. 解: (1)因为 BB1=BC,所以侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C⊥BC1. ???????3 分
9 3 3 ? ,故 2 人中至少有一名是第四组的概率为 . ?????14 分 15 5 5

又因为 B1C⊥A1B ,且 A1B∩BC1=B,所以 BC1⊥平面 A1BC1, ???????5 分 又 B1C ? 平面 AB1C ,所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1 .???????????7 分 (2)设 B1D 交 BC1 于点 F,连结 EF,则平面 A1BC1∩平面 B1DE=EF. 因为 A1B//平面 B1DE, A1B ? 平面 A1BC1,所以 A1B//EF. 所以
A1 E BF = . EC1 FC1 AE BF BD 1 1 ? ,所以 1 = . = FC1 B1C1 2 EC1 2

???????11 分

又因为 17. 解:

???????????????14 分

(1)由余弦定理,得 cos B ?

a2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 . ??????????????3 分 ? 2ac 4ac 1 因 a2 ? c 2 ≥ 2ac ,? cos B ≥ .?????????????????????6 分 2
由 0<B<π,得
B≤ ? ,命题得证. ?????????????????7 分 3

(2)由正弦定理,得 sin 2 A + sin 2C = 2sin 2 B . ????????????????10 分 因B?
? ,故 2sin 2 B =1,于是 sin 2 A = cos2C .??????????????12 分 4

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3 ? 因为 A 为钝角,所以 sin A = cosC = cos( ? ? A) = sin( A ? ) . 4 4 ? 5? ? 所以 A ? ( A ? ) ? ? ( A = A ? ,不合,舍) .解得 A = . ???????14 分 4 8 4

18. 解: (1)依题意,得 c=1.于是,a= 2 ,b=1. 所以所求椭圆的方程为 ??????????????2 分

x2 ? y 2 ? 1 . ??????????????????4 分 2
x12 x2 2 ? y12 ? 1 ①, 2 ? y2 ? 1 ②. 2 2

(2) (i)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? x ? x1 cos? ? x2 sin ? , 又设 M(x,y),因 OM ? cos ? OA ? sin ? OB ,故 ? ????7 分 ? y ? y1 cos ? ? y2 sin ? .

因 M 在椭圆上,故 整理得 (

( x1 cos ? ? x2 sin ? ) 2 ? ( y1 cos ? ? y2 sin ? ) 2 ? 1 . 2

x12 x2 xx 2 ? y12 ) cos 2 ? ? ( 2 ? y2 )sin 2 ? ? 2( 1 2 ? y1 y2 ) cos ? sin ? ? 1 . 2 2 2

将①②代入上式,并注意 cos ? sin ? ? 0 ,得 所以, kOA kOB ? (ii) ( y1 y2 )2 ? (? 又(

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 2

y1 y2 1 ? ? 为定值. ??????????????????10 分 x1 x2 2

2 x1 x2 2 x12 x2 2 2 2 2 ) ? ? ? (1 ? y12 )(1 ? y2 ) ? 1 ? ( y12 ? y2 ) ? y12 y2 ?1. ,故 y12 ? y2 2 2 2

x12 x2 2 2 ? y12 ) ? ( 2 ? y2 ) ? 2 ,故 x12 ? x2 ?2. 2 2

2 2 ? y2 所以,OA2+OB2= x12 ? y12 ? x2 =3. ????????????????16 分

2 ? 19.解:(1)方法一 当 n≥3 时,因 bn?2 ? a12 ? a2 2 ? 故 bn?1 ? a12 ? a2 2 2 ? an ? an ?1 ? a1a2

2 ? an ? a1a2

an ①,

an an?1 ②. ??????????????2 分

2 ②-①,得 bn-1-bn-2= an ?1 ? a1a2

2 an (an?1 ? 1) = an ?1 ? (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 1) =1,为常数,

所以,数列{bn}为等差数列. ??????????????????????5 分 因
2 2 ? a3 ? a1a2 a3 =4,故 b1= a12 ? a2

bn=n+3.

??????????????8 分

方法二 当 n≥3 时,a1a2?an=1+an+1,a1a2?anan+1=1+an+2, 将上两式相除并变形,得 于是,当 n∈N*时,
2 bn ? a12 ? a2 ? 2 ? an ? 2 ? a1a2 2 an 1 .??????????????2 分 ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ?

an? 2

2 2 ? a12 ? a2 ? a3 ? (a5 ? a4 ? 1) ?

? (an?3 ? an?2 ? 1) ? a1a2
- 6 -

an?2
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2 2 ? a12 ? a2 ? a3 ? (an?3 ? a4 ? n ? 1) ? (1 ? an?3 )

? 10 ? n ? a4 .

又 a4=a1a2a3-1=7,故 bn=n+3(n∈N*). 所以数列{bn}为等差数列,且 bn=n+3. ??????????????????8 分 (2) 方法一 故 所以 即
cn ?



cn ? 1 ?

1 1 ((n ? 3)( n ? 4) ? 1) 2 ? ? ,???????12 分 2 2 (n ? 3) ( n ? 4) (n ? 3) 2 (n ? 4) 2

(n ? 3 )n(? ? 4) 1 1 ?1? (n ? 3 )n(? 4 ) (n ? 3 )n(?

1 1 . ?1? ? 4 ) n?3 n?4

Sn ? ( 1?

1 1 1 ? ? ) ( ?1 ? 4 5 5

1 ?) ? 6

1 1 1 1 , ???15 分 ?(1 ? ? n) ? ? n ? 3n ? 4 4 n?4

n<Sn<n+1. ???????????????????????????16 分 因 cn ? 1 ?
1 1 ? ? 1 ,故 cn >1, Sn ? n .????????10 分 2 (n ? 3) (n ? 4) 2

方法二
cn ? 1 ?

1 1 1 1 ? ?1? ? 2 2 (n ? 3) (n ? 4) (n ? 2)(n ? 3) (n ? 3)(n ? 4)

=1?

1 1 1 1 2 <1 ? < (1 ? ? ) , n?2 n?4 n?2 n?2

1 1 ,于是 Sn ? n(1 ? ) ? n ? 1 .??????????????16 分 n?2 n?2 1 20.解:(1)由 f ?( ) =0,得 a=b. ??????????????????????1 分 3

故 cn < 1 ?

故 f(x)= ax3-2ax2+ax+c.
1 由 f ?( x) =a(3x2-4x+1)=0,得 x1= ,x2=1.????????????????2 分 3

列表: x
f ?( x)

1 (-∞, ) 3

1 3

1 ( ,1) 3

1 0 极小值

(1,+∞) + 增

+ 增

0 极大值



f(x)

1 由表可得,函数 f(x)的单调增区间是(-∞, )及(1,+∞) .??????????4 分 3

(2) f ?( x) =3ax2-2(a+b)x+b=3 a( x ? ①当

a ? b 2 a2 ? b2 ? ab . ) ? 3a 3a

a?b a?b ≥1, 或 ≤ 0 时,则 f ?( x) 在 [0,1] 上是单调函数, 3a 3a

所以 f ?(1) ≤ f ?( x) ≤ f ?(0) ,或 f ?(0) ≤ f ?( x) ≤ f ?(1) ,且 f ?(0) + f ?(1) =a>0. 所以| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .?????????????????????8 分

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②当 0< a ? b < 1,即-a<b<2a,则 ?
3a

a 2 ? b2 ? ab ≤ f ?( x) ≤ max{ f ?(0), f ?(1)} . 3a

(i) 当-a<b≤ 所以
f ?( 1 )?

a 3a 时,则 0<a+b≤ . 2 2

a 2 ? b2 ? ab 2a2 ? b2 ? 2ab 3a 2 ? (a ? b)2 1 = = ≥ a 2 >0. 4 3a 3a 3a

所以 | f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} . ????????????????????12 分 (ii) 当
a 5 a <b<2a 时,则 (b ? )(b ? 2a) <0,即 a2+b2- ab <0. 2 2 2

5 ab ? a 2 ? b 2 a2 ? b2 ? ab 4ab ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? ab 所以 b ? = >2 >0,即 f ?(0) > . 3a 3a 3a 3a

所以 | f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} . 综上所述:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .???????????16 分 附加题 A.选修 4-1:几何证明选讲 证明:因 AE=AC,AB 为直径, 故∠OAC=∠OAE. ???????????????????????3 分 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE, 所以,∠PDE=∠POC.??????????????????????10 分 B.选修 4-2:矩阵与变换 解:设 P( x, y ) 为圆 C 上的任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P?( x?, y?) ,
? x? ? ? a 0 ? ?x ? ? x ? ? a x, 则 ? ??? ,即 ? ? ? ? ? y ?? ? 0 b ? ? y? ? y ? ? b y.

???????????????????4 分

又因为点 P?( x?, y?) 在椭圆

x2 y 2 a 2 x 2 b2 y 2 ? ? 1 上,所以 ? ? 1. 9 4 9 4

由已知条件可知, x2 ? y 2 ? 1 ,所以 a2=9,b2=4. 因为 a>0 ,b>0,所以 a=3,b=2. ???????????????????10 分 C.选修 4-4:坐标系与参数方程 解:设 P ( ? ,? ) 是所求圆上的任意一点,??????????????????3 分
? 则 OP ? OB cos(? ? ) , 4 ? 故所求的圆的极坐标方程为 ? ? 2 2 cos(? ? ) . ?????????????10 分 4 P A - 8 B 龙文教育教学管理部

O

x

? 注: ? ? 2 2 cos( ? ? ) 亦正确. 4

D.选修 4-5:不等式选讲 证明:因为 x,y,z 都是为正数,所以 同理可得
y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ . zx xy x xy yz y x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? .???10 分 yz zx xy x y z x y 1 x y 2 ? ? ( ? ) ≥ . ???????3 分 yz zx z y x z

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得

22. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解:(1) f ?( x) ?
a 2 ax 2 ? a ? 2 ? ? . ax ? 1 (1 ? x)2 (ax ? 1)(1 ? x)2

因 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,故 f ?(1) ? 0 ,解得 a=1 (经检验).????????4 分 (2) f ?( x) ?
ax 2 ? a ? 2 ,因 x ≥ 0, a ? 0 ,故 ax+1>0,1+x>0. (ax ? 1)(1 ? x) 2

当 a≥2 时,在区间 (0, ??) 上 f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 递增, f ( x) 的最小值为 f(0)=1. 当 0<a<2 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?
2?a 2?a ;由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? . a a

∴f(x)的单调减区间为 (0, 于是,f(x)在 x ?

2?a 2?a ) ,单调增区间为 ( , ??) . a a

2?a 2?a ) ? f (0) ? 1 ,不合. 处取得最小值 f ( a a

综上可知,若 f(x)得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??). ????????10 分 注:不检验不扣分. 23. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解:(1)过点 A 的切线方程为 y=x+1. ???????????????????1 分 切线交 x 轴于点 B(-1,0),交 y 轴交于点 D(0,1),则 D 是 AB 的中点.
1 所以 CD ? (CA ? CB) . 2

(1) ?????????3 分

由 DP ? ? PC ? DP ? PC =(1+λ) PC ? CD ? (1 ? ? )CP . (2) 同理由 AE =λ1 EC , 得 CA =(1+λ1) CE ,
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(3)
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BF =λ2 FC , 得 CB =(1+λ2) CF .

(4)

将(2)、(3)、(4)式代入(1)得
CP ? 1 [(1 ? ?1 )CE ? (1 ? ?2 )CF ] . 2(1 ? ? )

1+λ1 1+λ2 因为 E、P、F 三点共线,所以 2(1+λ)+ 2(1+λ)=1, 1 再由 λ1+λ2=1,解之得 λ=2.???????????????????????6 分 (2)由(1)得 CP=2PD,D 是 AB 的中点,所以点 P 为△ABC 的重心. 1-1+x0 2+0+y0 所以,x= 3 ,y= 3 . 解得 x0=3x,y0=3y-2,代入 y02=4x0 得,(3y-2)2=12x. 由于 x0≠1,故 x≠3. 所求轨迹方程为(3y-2)2=12x (x≠3). ??????????????????10 分

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