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解三角形之正弦定理与余弦定理


正弦定理与余弦定理 教学目标
掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形. 正余弦定理及三角形面积公式.

教学重难点
掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形.

知识点清单
一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 a b c ? ? ? 2 R

(其中 R 是三角形外接圆的半径) 接圆的直径,即 sin A sin B sin C a?b?c a b c ? ? ? 2.变形:1) . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 2)化边为角: a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;
a sin A b sin B a sin A ? ; ? ; ? ; b sin B c sin C c sin C

3)化边为角: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
sin A a sin B b sin A a ? ; ? ; ? ; sin B b sin C c sin C c a b c , sin B ? , sin C ? 5)化角为边: sin A ? 2R 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角 B,C,a, a sin A b sin B ; ? ; 解 法 : 由 A+B+C=180o , 求 角 A, 由 正 弦 定 理 ? b sin B c sin C a sin A ? ; 求出 b 与 c c sin C ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边 a,b,A, a sin A 解法: 由正弦定理 ? 求出角 B,由 A+B+C=180o 求出角 C, 再使用正 b sin B a sin A 弦定理 ? 求出 c 边 c sin C

4)化角为边:

4.△ABC 中,已知锐角 A,边 b,则 ① a ? b sin A 时,B 无解; ② a ? b sin A 或 a ? b 时,B 有一个解;
A

b

b sin A

③ b sin A ? a ? b 时,B 有两个解。 如:①已知 A ? 60? , a ? 2, b ? 2 3 ,求 B (有一个解) ②已知 A ? 60? , b ? 2, a ? 2 3 ,求 B (有两个解) 注意:由正弦定理求角时,注意解的个数。 二.三角形面积 1 1 1 1. S ?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 1 2. S ?ABC ? ( a ? b ? c ) r ,其中 r 是三角形内切圆半径. 2 1 3. S?ABC ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) , 其中 p ? ( a ? b ? c ) , 2 abc 4. S ?ABC ? ,R 为外接圆半径 4R 5. S?ABC ? 2R2 sin A sin B sin C ,R 为外接圆半径 三.余弦定理 1.余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的 2 倍,即
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

b2 ? c2 ? a2 2.变形: cos A ? 2bc cos B ? a2 ? c2 ? b2 2ac a2 ? b2 ? c2 2ab
1 2

cosC ?

注意整体代入,如: a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ? cos B ?

3.利用余弦定理判断三角形形状: 设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:

①若, ②若 c 2 ? b2 ? a 2 ? A为直角

,所以

为锐角

③若 钝角三角形

,所以

为钝角, 则



4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 1)已知三边,求三个角 2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角 考点解析 题型 1 正弦定理解三角形 例题 1 在△ABC 中,已知 A=60°,a=2,C=45°,则 C= 例题 2 变式训练 1、 在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°.求角 A、C 和边 c 在△ABC 中,A= ,AC=2,BC= ,则 AB= .



2、 在△ABC 中, (1) 若 a=4,B=30°,C=105°,则 b=________. (2) 若 b=3,c= 2,C=45°,则 a=________. (3) 若 AB= 3,BC= 6,C=30°,则∠A=________. 3、在△ABC 中,若 A=60°,BC=4 ,AC=4 ,则角 B 的大小为( ) A.30° B.45° C.135° D.45°或 135° 4、在△ABC 中,若 b=2asinB,则 A 等于( ) A.30°或 60° B.45°或 60° C.120°或 60° D.30°或 150° 5、在△ABC 中,已知 sinA:sinB:sinC=5:7:8,则∠B 的大小为( ) A. B. C. D. 6、在△ABC 中,A:B:C=1:2:3,则 a:b:c 等于 题型 2 余弦定理解三角形 例题 1 在△ABC 中,a=1,b= ,c=2,则 B= .
例题 2 已知△ABC 中,AB=3,AC=5,A=120°,则 BC 等于





变式训练

1、在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 的大小

cosB b =- .求角 B cosC 2a+c

2、在△ABC 中,有下列结论: ①若 a2>b2+c2,则△ABC 为钝角三角形 ②若 a2=b2+c2+bc,则 A 为 60° ③若 a2+b2>c2,则△ABC 为锐角三角形 ④若 A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=1:2:3 其中正确的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 1 在△ABC 中,A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 ( A. ) B. C.

D. 4 ,则 C= D.

题型 3 正弦余弦定理求三角形面积 例题 1、在△ABC 中,若 B=60°,AB=2,AC=2 A. B.2 C.

,则△ABC 的面积( D.



例题 2、△ABC 中,∠B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为



变式训练 1、已知△ABC 中,∠B=45°,AC=4,则△ABC 面积的最大值为 . 在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A=60°,a= ,b+c=3,则 △ABC 的面积为( ) A. B. C. D.2 题型 4 三角形形状的判断 例题 1 在△ABC 中,a、b、c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ac,则△ABC 一定是( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 例题 2 在△ABC 中,A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 bcosB 是 acosC、ccosA 的等差中项. (1) 求 B 的大小; (2) 若 a+c= 10,b=2,求△ABC 的面积.

变式训练 1、在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,若 a2+b2<c2,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 2、已知 a、b、c 分别为△ABC 三个内角 A、B、C 的对边,acosC+ 3asinC-b -c=0. (1) 求 A; (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b、c.

课后作业 1、设△ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,若 b+c=2a,3sinA= 5sinB,则角 C=________. 2、A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 b=2,B= π π ,C= ,则△ABC 的面积 6 4

为________. 3、已知△ABC 中,∠B=45°,AC=4,则△ABC 面积的最大值为________. 4、在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 c=-3bcosA,tanC= 3 . 4 (1) 求 tanB 的值; (2) 若 c=2,求△ABC 的面积.

1 5、在△ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 acosC+ c=b. 2 (1) 求角 A 的大小; (2) 若 a= 15,b=4,求边 c 的大小.

6、在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别是 a、b、c. (1) 若 c=2,C= π ,且△ABC 的面积为 3,求 a、b 的值; 3

(2) 若 sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC 的形状.

解题技巧
1. (1) 已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2) 已知两边和一边对角, 解三角形时, 利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角, 这是解题的难点,应引起注意. 2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键. (2) 熟练运用余弦定理及其推论, 同时还要注意整体思想、 方程思想在解题过程中的运用. 3. 在已知关系式中,若既含有边又含有角,通常的思路是:将角都化成边或将边都化成角, 再结合正、余弦定理即可求解.


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