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江苏省连云港市2014-2015学年度第一学期高一期末考试数学试题


连云港市 2014~2015 学年度第一学期期末考试试题

高一数学(A)
一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共计 70 分.
1. 已知集合 A={1,2,3},B={2,3,4},则 A∪B=________________. 2. 已知点 P(-1,1),Q(3,-2),则线段 PQ 的长为_______________

_. 3. 函数 y ? lg x ? 1 ? x 的定义域为________________. 4. 已知直线经过点(0,-3) , (2,0) ,则此直线的一般式方程为________________. 5. 若直线 ax+y+a=0 与直线(2a-1)x+3y=0 平行,则实数 a 的值为________________.
2 6. 计算: lg 4 ? lg 9 ? 2 (lg 6) ? lg 36 ? 1 ? ________________.

7. 已知 m,n 表示两条不重合的直线,α,β 表示不重合的两个平面,下列说法正确的是 _________.(写出所有正确命题的序号) ① 若 m//α,n//α,则 m// n; ③ 若 m⊥α,n⊥β,则 m// n; ② 若 m//α,n//β,则 α// β; ④ 若 α⊥β,m⊥α,n//β,则 m⊥ n;

8.已知正方形 ABCD 的边长为 2,沿对角线 AC 将△DAC 折起,使得二面角 D-AC-B 为直 二面角,则三棱锥 D-ABC 的体积为_________. 9.设方程 2 ? x ? 3 ? 0 的根为 α,方程 log2 x ? x ? 3 ? 0 的根为 β,则 α+β=_________.
x

10.若实数 a 和 x 满足 2a+1+x2-2x=0,且 x ? [1,2] ,则 a 的取值范围是________________. 11. 直线 y=ax+1 和 y=bx+1 将单位圆 C: x2+y2=1 分成长度相等的三段弧, 则 a2+b2=_________. 12 .若函数的解析式为 y=x2-2x ,它的值域是 {-1,3,8} ,则满足以上条件的函数的个数为 _________.
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13.已知圆(x-a)2+(y-a)2=8 上总有两点到原点的距离为 2 , 则实数 a 的取值范围为______.

1 ? x2 14.已知函数 f ( x) ? ? m (?1 ? x ? 1) 有零点,则实数 m 的取值范围为________. x?3
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分)如图,在正方形 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)若 M 为棱 AB 的中点,试作出平面 A1MC1 与平面 ABCD 的交线,并写出作法; (2)若上底面 A1B1C1D1 内有一点 E, 要经过点 E 在上底面内画一条直线和 CE 垂直,应怎样 画?

D1 A1

C1 A1

D1 E

C1

B1

B1

D

C

D

C

A
(第 15 (1) 图)

B

A
(第 15 (2) 图)

B

16. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,点 A(0,1),B(4,4),角 C 的平分线所在的直线方程为 x+y-3=0. (1)求过点 A,B,且与 x 轴相切的圆的标准方程; (2)求直线 BC 的方程.

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17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,△PAC 为等腰直角三角形,其中 ∠APC=90°,点 M 为 PD 的中点.求证: P (1)PB//平面 MAC; (2)平面 PCD⊥平面 MAC. M

A

D

B

C

(第 17 题图)

18. (本小题满分 16 分) 如图,在长为 10 千米的河流 OC 的一侧有一条观光带,观光带的前一部分为曲线段 OAB,设曲线段 OAB 为函数 y=ax2+bx+c(a≠0) ,x ? [0,6](单位:千米)的图象,且图象的 最高点为 A(4,4);观光带后一部分为线段 BC. (1)求图象为曲线段 OABC 的函数 y=f(x),x∈[0,10]的解析式; (2)若计划在河流 OC 和观光带 OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带 MNPQ,绿 化带由线段 MQ,QP,PN 构成,其中点 P 在线段 BC 上.当 OM 长为多少时,绿化带的 总长度最长? y
A B Q P

O

M

N

C

x

(第 18 题图)

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19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

a , x ? (0, ??) ,其中 a ? 0 . x

(1)点 P(x0,y0)为函数 f(x)图象上任意一点,过点 P 向 y 轴和直线 y=x 作垂线,垂足 分别为 E、F,求 PE ? PF 的值; (2)求证: f ( x ) 在区间上是单调减函数;并写出 f ( x ) 在 (0, ??) 上的最小值; (3)设 g ( x ) ?

4x 1 ? ,在 x ? [1, 2] 上的最小值为 4,求实数 k 的值. k x

20. (本小题满分 16 分) 如图,已知圆 O:x2+y2=1 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,M 是劣弧 AC(点 A、C 除外)上任一点.直线 AM 与 BC 交于点 P,直线 CM 与 x 轴交于点 N,设直线 PM, PN 的斜率分别为 m,n. (1)当四边形 ABCM 的面积最大时,求直线 AM 的斜率; (2)求 m-2n 的值; (3)试探究直线 PN 是否过定点,若过定点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明 理由. y

P M N A

C

O

B

x

(第 20 题图)

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