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等差数列前n项和


2.3 等差数列的前 n 项和
(一)教学目标 1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具 体的问题情境中, 发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题; 体会等差数列与一 次函数的关系。 2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍, 引导学生发现等差数列的第 k 项与倒数 第 k 项的和等于首项与末项的和这个规律; 由

学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简 单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性 质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3.情态与价值:培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。 (二)教学重、难点 重点:探索并掌握等差数列的前 n 项和公式;学会用公式解决一些实际问题,体会等差数列 的前 n 项和与二次函数之间的联系。 难点: 等差数列前 n 项和公式推导思路的获得, 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单 的有关问题 (三)学法与教学用具 学法:讲练结合 教学用具:投影仪 (四)教学设计 [创设情景] 问题导入 1+2+3+??+100=? 如何进行简便运算? [探索研究] 我们先来看看人们由高斯求前 100 个正整数的方法得到了哪些启发。 人们从高斯那里受 到启发,于是用下面的这个方法计算 1,2,3,?,n,?的前 n 项的和: 由 1 + 2 + ? + n-1 + n n + n-1 + ? + 2 + 1 (n+1)+(n+1)+ ? +(n+1)+(n+1) 可知 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

(n ? 1) ? n 2

上面这种加法叫“倒序相加法” 请同学们观察思考一下:高斯的算法妙在哪里? 高斯的算法很巧妙, 他发现了整个数列的第 k 项与倒数第 k 项的和与首项与尾项的和是相 等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前 n 项和的。 [等差数列求和公式的教学] 一 般 地 , 称 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an 为 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和 , 用 S n 表 示 , 即

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an
1、 思考:受高斯的启示,我们这里可以用什么方法去求和呢? 思考后知道,也可以用“倒序相加法”进行求和。
3

我们用两种方法表示 S n :

S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ? 1)d ], ① S n ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ... ? [an ? (n ? 1)d ], ②
由①+②,得

(a1 ? an)+(a1 ? an)+(a1 ? an)+...+(a1 ? an) 2Sn ? ?????????? ? ?????????? ? ?
n个

? n(a1 ? an )
由此得到等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 S n ?

n(a1 ? a n ) 2

对于这个公式,我们知道:只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前 n 项和了。 2、 除此之外,等差数列还有其他方法(读基础教好学生要介绍) 当然,对于等差数列求和公式的推导,也可以有其他的推导途径。例如:

Sn ? a1 ? a2 ? a3... ? an
= a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ... ? [a1 ? (n ?1)d ] = na1 ? [d ? 2d ? ... ? (n ?1)d ] = na1 ? [1 ? 2 ? ... ? (n ? 1)]d = na1 ?

n(n ? 1) d 2

这两个公式是可以相互转化的。把 an ? a1 ? (n ?1)d 代入 S n ? 到 S n ? na1 ? [公式运用]

n(a1 ? an ) 中,就可以得 2

n(n ? 1) d 2

1、 根据下列各题中的条件,求相应的等差数列 {an } 的前 n 项和 S. ① a1=5, an=95, n=10; ②a1=100, d=-2, n=50; [例题分析] 例一 己知等差数列 5,42/7,34/7, · · ·的前 n 项和为_n,求使得_n 最大的序号 n 的值。 解:由题意知,等差数列 5,42/7,34/7, · · ·的公差为(?5)/7,所以 _n=/2 [2×5+(?1)(?5/7)] =(75?5^2)/14 =-5/14 (?15/2)^2+1125/56
4

于是,当 n 取与 15/2 最接近的整数即 7 或 8 时,_n 取最大值。 例题评述:此例题目的是建立等差数列前 n 项和与解方程之间的联系.已知几个量,通 过解方程,得出其余的未知量. 例 3 已知数列 {an } 的前 n 项为 S n ? n ?
2

1 n ,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数 2

列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:根据 与

Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an?1 ? an Sn?1 ? a1 ? a2 ? ... ? an? (n >1) 1
2

可知,当 n>1 时, an ? Sn ? S n ?1 ? n ? 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 1 ?
2

1 1 1 2 n ?( [ n ?1 ) ? (n ? 1 ) ] ? 2n ? 2 2 2
也满足①式.



1 3 ?1 ? 2 2

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 由此可知,数列 {an } 是一个首项为

1 . 2

3 ,公差为 2 的等差数列。 2

[随堂练习]课本 46 页“练习”第 1、2、3、4 题

[课堂小结] 等差数列 {an } 的前 n 项和的公式 S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d 和 S n ? na1 ? 2 2

S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 也成等差数列.
(五)评价设计 课本 46 页 A 组第 1、3、6 思考:课本 46 页 B 组第 4 题

5


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