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基于凯恩方法的机器人动力学建模与仿真


基于凯恩方法的机器人动力学建模与仿真
石炜 1 郗安民 1 张玉宝 2 (1.北京科技大学机械工程学院,北京 100083;2.内蒙古科技大学机械工程学院,包头 014010)

【摘要】研究机器人动力学的目的是多方面的。机器人动力学模型的重要应用是设计机器
人,因为动力学方程可以用来精确地算出实现给定运动所需要的力(矩) 。用凯恩方法对六

自由度关节臂式机器人进行动力学方程的推导,可以减少计算步骤,提高计算效率。经过对 推导的动力学方程仿真可以找到现场使用机器人第三个臂出现故障的原因, 因此在机器人具 体设计、轨迹规划、动力学优化以及实时控制中可以代入具体的参数,从而对机器人的动力 学性能进行分析,并具有通用性。

【关键词】动力学方程;力矩;仿真;实时控制
中图分类号:TP242.2 文献标识码:A SHI Wei , XI Anmin , ZHANG Yubao
1 1 2

Robot Dynamics Modeling and Simulation Based on Kane
(1.Mechanical Engineering, University of Science and Technology, Beijing 100083;2. Mechanical Engineering, Inner Mongolia University of Science and Technology, Baotou 014010)

【Abstract】 The aim of studying to the robot is various. The important applications of the
robot dynamics model is designing robot because the dynamics can been used to accurately calculate the need moment of achieve designed motivation. Using method of Kane derivates the dynamics equation of the six-freedom jointed-arm robot can reduce the steps of calculation and increase calculating efficiency. Through the simulating of derivate dynamics equation, the reason of the third arm of using robot on site can be found out. So it can be replaced the frondose parameter in robot’s designing, track programming, dynamics optimizing and real-time controlling. by use and simulate. Also it can analyzing the robot’s dynamics capability and has universality.

【Key words】 dynamics equation; moment; simulation; real-time control 1 引言
研究机器人动力学的目的是多方面的。首先是为了实现实时控制的目的,利用机械手 的动力学模型,才有可能进行最优控制,以期达到最优指标;其次,利用动力学方程中重力 项的计算结果,可进行前馈补偿,以达到更好的动态性能;第三,机械手的动力学模型还可 用于调节伺服系统的增益, 改善系统的性能。
[1,2]

目前国内外机器人有 60%~70%为关节臂

式机器人,在实际使用过程中第三臂易出现问题(裂纹) ,影响了机器人的应用。针对这一 状况建立机器人动力学模型并进行仿真在机器人设计、 轨迹规划、 动力学优化以及实时控制 中具有重要的意义。

2 机器人动力学方程的各种建模方法
动力学是研究物体的运动和作用力之间的关系。 3 现在所用的分析方法很多,有拉格 朗日(Lagrange)方法, 4 牛顿-欧拉(Newton-Euler)方法, 5 高斯(Gauss)方法, 6
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

凯恩(Kane)方法, 7 旋量(对偶数)方法和罗伯逊-魏登堡(Roberson-Wittenburg)方 法等。8 凯恩方法既适合于完整系统,也适合于非完整系统。对于机器人机构这样多自由度 的复杂系统, 应用凯恩方法可以减少计算步骤, 提高计算效率。9 是一种比较适合于计算机的方法。 表 1. 各种机器人动力学建模方法的运算量表 Table1. The operation quantity of diversified robot dynamics modeling methods.
[ ,10]

从表 1 可见凯恩方程法

运算次数 作 者 方 法 乘法 Hollerbach,1980 Walker&Orin,1982 Hollerbach,1980 Silver,1982 Kane,1983 拉格朗日 牛顿-欧拉 拉格朗日 牛顿-欧拉 凯恩 2195 1541 852 646 加法 1719 1196 738 394

2

凯恩动力学方程

? vr F(r) = -mv&&v 为质点 v 的惯性力。 ? n 所以有: F(r) + F(r) = 0 r = 1,2,...,

? v - ∑mv&&v ? v v(r) 称为系统对应于 u r 的广义惯性力,以 F(r) 来表示,即 r v F(r) = ∑Fv ? vv(r)
r

∑ (F - m &r& ) ? δr = 0 凯 恩 把 ∑F ? v 成为系统对应于 u
v v v v v

由达朗贝尔原理和虚位移原理推得的系统的动力学普遍方程为: (1) 的 广 义 主 动 力 , 以 F(r) 来 表 示 。 把 (2) (3)

v

v(r)

上式称为凯恩动力学方程,意为广义主动力与广义惯性力之和等于零。

3 应用凯恩方法建立机器人机构的动力学方程
应用凯恩方法建立机器人机构的动力学方程,连杆 1、2、3 用 A、B、D 来表示,如图 1 所示。固定在 A 上的坐标以三个单位矢量 a1、a2、a3 表示;固定在 B 上的坐标系以三个 单位矢量 b1、b2、b3 来表示;固定在 D 上的坐标系以三个单位矢量 d1、d2、d3 来表示。 关节变量为广义坐标 q1、q2、q3,A 、B 、D 为连杆 A、B、D 的质心,P 为载荷中心。
* * *

图 1. 六自由度关节臂式机器人结构简图 Figure1. The structure figure of six-freedom jointed-arm robot. 推导的凯恩动力学方程为:

2 {m B l1 + C2I Bx - S2I By + m D (l1 + 2l 2 ) 2 + (C2C3 - S2S3) 2 I Dy + 2 2 m P l 3 [(C2C3 - S2S3) 2 + (S2C3 + S3C2) 2 ] 2 + m P [(C2C3 - S2S3) 2

& + (S2C3 + C2S3) 2 ]l1l 3 + m P (l1 + 2l 2 ) 2 }u 1 = τ 1 - gm P [(C2C3 - S2S3) 2 + (C2S3 + C3S2) 2 ]l 3 + m P (l1 + 2l 2 )u 2 l 2 - u 1 I Ax + (u 1 u 2 S2 - u 1 u 2 S2C2)I Bx 2 + (u 1 u 2 C2 - u 1 u 2 S2)I By + (u 1 u 2 C2 - u 1 u 2 S2)I Bz + m D u 2 l 2 (l1 + 2l 2 ) 2 + (C2C3 - S2S3)u 1 (S2C3 + S3C2)(u 2 + u 3 )(I Dx + I Dz - I Dy ) - (C2S3 + S2C3)u 1 (u 2 + u 3 )(C2C3 - S2S3)(I Dy - I Dx ) - u 1 (u 2 + u 3 )(C2S3 + S2C3)I Dz
2 2 & (I Dz + m P l 3 - I Bz )u 2 = τ 2 - u 1 S2C3(I Bx + I By ) + u 1 (C2S3 + S2C3)(C2C3 - S2S3) 2 & - m P (u 3 l 3 - u 1 l1 )l 3 2 2 2 & & (m P l3 + I Dz )u 3 = τ 3 - u 2 I Dz + u1 (C2S3 + S2C3) 2 I Dy + u1 (C2S3 + S2C3) 2 & 2 (C2C3 - S2S3) - m P u 2l3 + m P u1 l1l3

(4)

(5)

(6)

从式(4)(5)(6)可以看出工业机器人操作臂动力学非常复杂,是一个多输入多输出的 、 、 非线性的强耦合的位置时变动力学系统。 每个关节的运动变化受到其他关节运动的影响, 作 用在每个关节上的惯性负载随操作臂的形位在很大范围内变化, 在高速情况下, 离心力和哥 氏力的影响十分严重。

4 动力学方程仿真
图 2 以纸浆搬运机器人例,载荷为 mp=6kg,机器人为日本安川公司的 UP6 机器人, 工作过程是将捆好的纸包搬运到传送带上。图 3 是用 MATLAB 对所建立的动力学方程模型 的仿真结果。 捆包机 捆包生产线 送出传送带

捆包装 运小车 机器人 图 2. 纸浆成品搬运机器人的配置图 Figure2. The figure of pulp finished product convey robot.

图 3. 机器人各杆惯性力 MATLAB 仿真图 Figure3. The MATLAB simulation figure of robot’s each arm’s inertia force. 从图 3 可以看出: (1) 各关节广义惯性力峰值出现在加速末端或开始减速时; (2) 各关节广义惯性力水平方向的惯性力最大,其他方向上的惯性力较小; (3) 各关节广义惯性力主要取决于机器人运动过程中各关节的惯性力大小,受重力的影 响较小; (4) 对于第三杆 D,它的广义惯性力峰值最大 7.5X105N,这与实际相符(实际应用中第 三杆易出现故障) 。原因是由于机器人在运动过程奇异点的存在,当机器人运动过程中经过 奇异点时,它的瞬时速度趋于无穷大,因此引起的广义惯性力也趋于无穷大。 对此解决的办法是: (1) 在机器人轨迹规划时避免奇异位形的出现; (2) 可以在第三杆处安装平衡系统,借助于平衡系统降低因机器人运动导致惯性力矩引 起关节驱动力矩变化的峰值。

5 结论
本文作者创新点为:用凯恩方法对六自由度关机臂式机器人进行了动力学方程的推导, 并就其进行了仿真, 仿真的结果与实际应用相符。 因此在机器人轨迹规划过程中可以避免奇 异点, 保护机器人各臂不会因经过奇异点时受到惯性力的破坏。 本文所推导的动力学方程对 于六自由关节臂式机器人具有通用性,在机器人具体设计、轨迹规划、动力学优化以及实时 控制中可以代入具体的参数,从而对机器人的动力学性能进行分析。 参考文献 [1] E.Π.波波夫等著,遇立基等译. 操作机器人动力学与算法[M]. 北京:机械工业出版 社,1983.

[2] 陈 志 国 , 须 文 波 . 基 于 运 动 控 制 卡 的 机 器 人 智 能 切 割 系 统 [J]. 微 计 算 机 信 息,2005,8-3:95-97. [3]陈文良,洪嘉振,周鉴如. 分析动力学[M]. 上海:上海交通大学出版社,1990. [4]William M. Silver. On the Equivalence of Largrangian and Newton-Euler Dynamics

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