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【成才之路】高中数学 1-3-2精品练习 新人教A版必修4


1.3 第 2 课时

一、选择题 u π 1 π 1.已知 sin(α - )= ,则 cos( +α )的值为( 4 3 4 A. C. 2 2 3 1 3 2 2 B.- 3 1 D.- 3 )

[答案] D π π [解析] cos( +α )=sin( -α ). 4 4 π 1 =-sin(α - )=- . 4 3 3π 3

2.已知 cos( +α )=- ,且 α 是第四象限角,则 cos(-3π +α )( 2 5 A. 4 5 4 B.- 5 D. 3 5 )

4 C.± 5 [答案] B

3π 3 3 [解析] ∵cos( +α )=- ,∴sinα =- , 2 5 5 4 2 ∴cos(-3π +α )=-cosα =- 1-sin α =- . 5 3.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( A.第一象限 C.第三象限 [答案] B [解析] ∵A、B 是锐角三角形的两个内角,∴A+B>90°,∴B>90°-A,∴cosB<sinA, sinB>cosA,故 cosB-sinA<0,sinB-cosA>0,选 B. 4.已知锐角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin2,-2cos2),则 α 等于( A.2 π C.2- 2 B.-2 D. π -2 2 ) B.第二象限 D.第四象限 )

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-1-

[答案] C [解析] 解 法 一 : 由 条 件 可 知 点 P 到 原 点 距 离 为 2 , ∴P(2cosα , 2sinα ) , ,

? ?2cosα =2sin2 ∴? ?2sinα =-2cos2 ?

根据诱导公式及 α 为锐角可知,

?cosα =cos?2-π ? ? ? 2? ? ? ? π ? ? ?sinα =sin?2- 2 ? ? ? ?

π ,∴α =2- . 2

解法二:点 P 位于第一象限,且

?π ? ? π? tanα =-cot2=-tan? -2?=tan?2- ?, 2? ?2 ? ?
π ? π? π ∵2- ∈?0, ?,∴α =2- . 2? 2 ? 2 5.(09?全国Ⅰ文)sin585°的值为( A.- C.- 2 2 3 2 B. D. 2 2 3 2 )

[答案] A [解析] sin585°=sin(360°+225°)=sin225° =sin(180°+45°)=-sin45°=- 2 . 2 )

π 3 π 6.已知 cos( +φ )= 且|φ |< ,则 tanφ 等于( 2 2 2 A.- 3 3 B. 3 3

C.- 3 [答案] C

D. 3

π 3 [解析] ∵cos( +φ )=-sinφ = , 2 2 ∴sinφ =- 3 π π ,∵- <φ < , 2 2 2

1 sinφ ∴cosφ = ,∴tanφ = =- 3. 2 cosφ 7.A、B、C 为△ABC 的三个内角,下列关系式中不成立的是( )

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-2-

①cos(A+B)=cosC ②cos

B+C

=sin 2 2

A

③tan(A+B)=-tanC ④sin(2A+B+C)=sinA A.①② C.①④ [答案] C [解析] ∵cos(A+B)=cos(π -C)=-cosC, ∴①错,排除 B、D; cos B.③④ D.②③

B+C
2

π -A A ?π A? =cos =cos? - ?=sin , 2 2 ? 2 2?

∴②正确,排除 A,∴选 C. 8.tan110°=k,则 sin70°的值为( A.- )

k
1+k
2 2

B.

k
1+k
2 2

C.

1+k

k

D.-

1+k

k

[答案] A [解析] 解法一:∵k<0,sin70°>0,∴排除 C、B, 又|sin70°|<1,∴排除 D,选 A. 解法二:k=tan110°=-tan70°,∴tan70°=-k>0, 1 k 2 2 2 ∴cos70°=- sin70°代入 sin 70°+cos 70°=1 中得,sin 70°= 2 ,∵k<0, k k +1 sin70°>0, ∴sin70°=- 二、填空题 9.sin 1°+sin 2°+sin 3°+…+sin 88°+sin 89°+sin 90°的值为________. [答案] 91 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

k
1+k
2

.

[解析] ∵sin 1°+sin 89°=sin 1°+cos 1°=1, sin 2°+sin 88°=sin 2°+cos 2°=1, sin x°+sin (90°-x°)=sin x°+cos x°=1,(1≤x≤44,x∈N) ∴ 原 式 = (sin 1° + sin 89°) + (sin 2° + sin 88°) + … + (sin 44° + sin 46°) + sin 90°+sin 45°=45+?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? 2?2 91 ?= . ?2? 2

10.化简 1-2sin200°cos160°=________.
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[答案] cos20°-sin20° [解析] 原式= 1-2(-sin20°)?(-cos20°) = sin 20°+cos 20°-2sin20°cos20° =|sin20°-cos20°|=cos20°-sin20°. 11 . 已 知 sinα 是 方 程 5x - 7x - 6 = 0 的 根 , α
2 2 2

是第三象限角,则

3π 3π 3 sin(-α - )sin( -α )tan α 2 2 =________. π π cos( -α )cos( +α ) 2 2 [答案] 3 4

3 [解析] 由已知得 sinα =- . 5 4 2 ∵α 是第三象限角,∴cosα =- 1-sin α =- . 5 sinα 3 cosα ?(-cosα )?( ) cosα sinα 3 ∴原式= = = . sinα ?(-sinα ) cosα 4 cos(α -3π )?tan(α -2π ) 12.若 P(-4,3)是角 α 终边上一点,则 的值为________. 2 sin (π -α ) 5 [答案] - 3 3 -cosα tanα [解析] 由已知得 sinα = ,原式= 2 5 sin α sinα -cosα ? cosα 1 5 = =- =- . 2 sin α sinα 3

? ? 2?π 2?π 13.式子 cos ? -α ?+cos ? +α ?=________. ?4 ? ?4 ?
[答案] 1 [解析] 原式=sin ?
2

?π -?π -α ??+cos2?π +α ? ? ?? ?4 ? ?? ? ? ?2 ?4

=sin ?
2

?π +α ?+cos2?π +α ?=1. ? ?4 ? ?4 ? ? ? ?5π +α ?+sin?3π -α ??sin(π -α ) ? ?2 ? ? 2 ? ? ?

14. tan(π -α )=2, 2sin(3π +α )?cos? 若 则 的值为________. [答案] 2 [解析] ∵tan(π -α )=2,∴tanα =-2,
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-4-

∴原式=-2sinα ?(-sinα )+(-cosα )?sinα 2tan α -tanα 2 =2sin α -sinα cosα = 2 1+tan α = 2?(-2) -(-2) 10 = =2. 2 1+(-2) 5
2 2

三、解答题 15.已知 cos(75°+α )= 的值. 5 [解析] ∵cos(75°+α )= >0,α 是第三象限角, 13 ∴75°+α 是第四象限角, 12 2 且 sin(75°+α )=- 1-cos (75°+α )=- . 13 ∴sin(195°-α )+cos(α -15°) =sin[180°+(15°-α )]+cos(15°-α ) =-sin(15°-α )+cos(15°-α ) =-sin[90°-(75°+α )]+cos[90°-(75°+α )] =-cos(75°+α )+sin(75°+α ) 5 12 17 =- - =- . 13 13 13 16.已知 x∈R,n∈Z,且 f(sinx)=sin(4n+1)x,求 f(cosx). 5 ,α 是第三象限角,求 sin(195°-α )+cos(α -15°) 13

? ?π ?? [解析] f(cosx)=f?sin? -x?? ? ?2 ?? ? ?π ?? =sin?(4n+1)? -x?? ? ?2 ??
π ? ? =sin?2nπ + -(4n+1)x? 2 ? ?

?π ? =sin? -(4n+1)x?=cos(4n+1)x. ?2 ?
17.若 sinα ,cosα 是关于 x 的方程 3x +6mx+2m+1=0 的两根,求实数 m 的值.
2

[解析]

?Δ =(6m) -4?3(2m+1)≥0 ?sinα +cosα =-2m ② ? 2m+1 ?sinα ?cosα = 3 ③ ?

2

① ,

2(2m+1) 2 2 由②③得 4m =1+ ,∴12m -4m-5=0. 3

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-5-

1 5 5 1 ∴m=- 或 m= ,m= 不适合①,m=- 适合①, 2 6 6 2 1 ∴m=- . 2 18. 已知 sin(3π -α )= 2cos? 0<β <π ,求 sinα 和 cosβ . [解析] 由已知得 sinα = 2sinβ ① 3cosα = 2cosβ ② ① +② 得 sin α +3cos α =2, 1 2 2 2 即 sin α +3(1-sin α )=2,所以 sin α = . 2 又 0<α <π ,则 sinα = 将 sinα = 2 . 2
2 2 2 2

6 ?3π +β ?, 且 ? cos(π -α )= 3 ?cos(π +β ), 0<α <π , 2 ? ?

2 1 3 代入①得 sinβ = .故 cosβ =± . 2 2 2 6 2 2 cos(π +β )可化为 3cosα = 2cosβ ,利用 sin β +cos β 3 6 2 2 cosβ ,利用 sin α +cos α =1 求解. 3

[点评] cos(π -α )= =1 求解,也可化为 cosα =

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-6-


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