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初高中数学衔接教材(2)第二讲 因式分解


初高中数学衔接教材(2) 第二讲 因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变 形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基 本技能。 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方 差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和 分组分解法等等。 一、公式法(立方和、立

方差公式) 在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:
a3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )

【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式: (1) 8 ? x3 (2) 0.125 ? 27b3 分析: (1)中, 8 ? 23 ,(2)中 0.125 ? 0.53 , 27b3 ? (3b)3 。

说明:(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时,经常要逆用幂的运算法则,如
8a3b3 ? (2ab)3 ,这里逆用了法则 (ab)n ? a n bn ;(2) 在运用立方和(差)公式分解因

式时,一定要看准因式中各项的符号。 二、分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三 项式。而对于四项以上的多项式,如 ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用,也没有 公因式可以提取。因此,可以先将多项式分组处理。这种利用分组来因式分解 的方法叫做分组分解法。分组分解法的关键在于如何分组。 1.分组后能提取公因式 【例 3】把 2ax ? 10ay ? 5by ? bx 分解因式。 分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按 x 的降 幂排列, 然后从两组分别提出公因式 2a 与 ?b , 这时另一个因式正好都是 x ? 5 y ,

这样可以继续提取公因式。 说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择 分组的方法。本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试。 【例 4】把 ab(c 2 ? d 2 ) ? (a 2 ? b2 )cd 分解因式。 分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组, 然后再分解因式。

说明:由例 3、例 4 可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先 运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律。由此可以看出 运算律在因式分解中所起的作用。 2.分组后能直接运用公式 【例 5】把 x 2 ? y 2 ? ax ? ay 分解因式。 分析:把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差 公式分解因式,其中一个因式是 x ? y ;把第三、四项作为另一组,在提出公因 式 a 后,另一个因式也是 x ? y 。 【例 6】把 2 x 2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 8 z 2 分解因式。 分析:先将系数 2 提出后,得到 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 4 z 2 ,其中前三项作为一组, 它是一个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式。

说明:从例 5、例 6 可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用 公式或提取公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有 公因式,那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式。

三、十字相乘法
1. x 2 ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是: (1) 二次项系数是 1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项 的两个因数之和。
x 2 ? ( p ? q) x ? pq ? x 2 ? px ? qx ? pq ? x( x ? p) ? q( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q )

因此, x 2 ? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)( x ? q) 运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式。 【例 7】把下列各式因式分解: (1) x 2 ? 7 x ? 6 (2) x2 ? 13x ? 36

说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号 与一次项系数的符号相同。 【例 8】把下列各式因式分解: (1) x2 ? 5x ? 24 (2) x2 ? 2 x ? 15

说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对 值较大的因数与一次项系数的符号相同。 2.一般二次三项式 ax2 ? bx ? c 型的因式分解 大家知道, (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ? a1a2 x 2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 .反过来,就得 到: a1a2 x 2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 ? (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 我们发现,二次项系数 a 分解成 a1 a2 ,常数项 c 分解成 c1c2 ,把 a1 , a2 , c1 , c2 写 成 a1 ?c1 ,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 a1c2 ? a2 c1 ,如果它正好等于
a2 c2

ax2 ? bx ? c 的一次项系数 b ,那么 ax2 ? bx ? c 就可以分解成 (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ,

其中 a1 , c1 位于上一行, a2 , c2 位于下一行。 这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫 做十字相乘法。 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次 尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。 【例 10】把下列各式因式分解: (1) 12 x2 ? 5x ? 2 (2) 5 x 2 ? 6 xy ? 8 y 2

说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,

具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负 数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝 对值,然后调整,添加正、负号。 四、其它因式分解的方法 1.配方法 【例 11】分解因式 x2 ? 6 x ? 16

说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为 两个平方式,然后用平方差公式分解。当然,本题还有其它方法,请大家试验。 2.拆、添项法 【例 12】分解因式 x3 ? 3x2 ? 4 分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行.细查 式中无一次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把 一次项系数合并为 0 了,可考虑通过添项或拆项解决。 说明:本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和,将多项式分成两组,满足系数对应 成比例,造成可以用公式法及提取公因式的条件。本题还可以将 ?3x 2 拆成

x

2

? 4 x ,将多项式分成两组 ( x3 ? x 2 ) 和 ?4 x 2 ? 4 。
2

一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式; (2) 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; (3) 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相 乘法)来分解; (4) 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

本章节练习巩固 1、多项式 6 x 2 y ? 2 xy 2 ? 4 xyz 中各项的公因式是_______________。 2、 m?x ? y ? ? n? y ? x? ? ?x ? y ? ? __________________。
2 2 2

3、 m?x ? y ? ? n? y ? x ? ? ?x ? y ? ? ____________________。 4、 m?x ? y ? z ? ? n? y ? z ? x? ? ?x ? y ? z ? ? _____________________。 5、 m?x ? y ? z ? ? x ? y ? z ? ?x ? y ? z ? ? ______________________。 6、 ? 13ab2 x 6 ? 39 a 3b 2 x 5 分解因式得_____________________。 7.计算 99 2 ? 99 = 8, a 2 ? 2ab ? b 2 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b3 的公因式是_____________。 9、用适当方法分解下列式子 (1) a 2 ?b ? 5? ? a?5 ? b? (2) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x

(3) ? a 4 ? 16

(4) ?3 x ? 2 y ? ? ?x ? y ?
2

2

(5) x 2 ? 5 x ? 6

(6) 4 ? ?x 2 ? 4 x ? 2? 、

2

(7) 2 y 2 ? 4 y ? 6

(8) x 2 ? ?a ? 1?x ? a

(9) 4m2 ? 12 m ? 9

(10) 5 ? 7 x ? 6 x 2

(11) 12 x 2 ? xy ? 6 y 2

(12) x 2 ? ?a ? 1?x ? a

(13) x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ax ? 2by

(14) a 2 ? 4ab ? 4b2 ? 6a ? 12b ? 9

(15) b 4 ? 2b 2 ? 8

(16) x 2 ? xy ? 3 y ? 3 x

(17) 2 x 2 ? xy ? y 2 ? 4 x ? 5 y ? 6 。

10、下列式子可用平方差公式计算的式子是( A、 ?a ? b??b ? a ? B、 ?? x ? 1??x ? 1?

) D、 ?? x ? 1??x ? 1?

C、 ?? a ? b??? a ? b? )

11、下列四个多项式是完全平方式的是( A、 x 2 ? xy ? y 2 B、 x 2 ? 2 xy ? y 2

1 C、 4m 2 ? 2mn ? 4n 2 D、 a 2 ? ab ? b 2 4 2 12、若 x ? mx ? 10 ? ?x ? a ??x ? b? 其中 a 、 b 为整数,则 m 的值为( ) A、 3 或 9 B、 ? 3 C、 ? 9 D、 ? 3 或 ? 9 1 1 13、已知 a ? ? 4 则 a 2 ? 2 ? ( ) a a A、12 B、 14 C 、 8 D 、16 2 2 14、已知 x +y =2, x+y=1、则 xy 的值为 ( ) 1 1 B ?1 C、-1 D、 ? 2 2 15、若 x 2 ? ax ? b ? ?x ? 2??x ? 4? 则 a ? ,b ? 。

16、在多项式(1) x 2 ? 7 x ? 6 (2) x 2 ? 4 x ? 3 (3) x 2 ? 6 x ? 8 (4) x 2 ? 7 x ? 10 , (5) x 2 ? 15 x ? 44 中,有相同因式的是( ) A、只有(1) (2) B、只有(3) (4) C、只有(3) (5) D、 (1)和(2)(3)和(4)(3)和(5) ; ; 17、分解因式 a 2 ? 8ab ? 33b 2 得( ) A 、 ?a ? 11??a ? 3? B 、 ?a ? 11b??a ? 3b? ?a ? 11b??a ? 3b?
2

C 、 ?a ? 11b??a ? 3b?

D、

18、 ?a ? b? ? 8?a ? b? ? 20 分解因式得( ) A、 ?a ? b ? 10 ??a ? b ? 2? B、 ?a ? b ? 5??a ? b ? 4? C、 ?a ? b ? 2??a ? b ? 10 ? D、 ?a ? b ? 4??a ? b ? 5? 19. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状。

20.若 a, b 都是实数,且 a ? b 2 ? (1 ? 2) , 求 a b 的值.

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