2011年高考题全国卷II数学试题(理科)

2011 年高考题全国卷 II 数学试题·理科
科目： 数学 试卷名称 2011 年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷 II(理科) （1）复数 z ? 1 ? i ， z 为 z 的共轭复数，则 z z ? z ? 1 ? （A） ? 2i （B） ? i （C） i （D） 2i

（2）函数 y ? 2 x ( x≥ 0 ) 的反函数为

/>x
2

（A） y ?

(x ? R)

（B） y ?

x

2

( x≥ 0 )

4

4
2

（C） y ? 4 x ( x ? R )

（D） y ? 4 x ( x≥ 0)
2

（3）下面四个条件中，使 a＞ b 成立的充分而不必要的条件是 （A） a＞ b ? 1 （B） a＞ b ? 1
2 2 （C） a ＞ b 3 3 （D） a ＞ b

（4）设 S n 为等差数列 ? a n ? 的前 n 项和，若 a1 ? 1 ，公差 d ? 2 ， S k ? 2 ? S k ? 2 4 ，则 k ? （A）8 （B）7 （C）6 （D）5
?
3

（5）设函数 f ( x ) ? cos ? x (? ＞ 0) ，将 y ? f ( x ) 的图像向右平移 合，则 ? 的最小值等于 （A）
1 3

个单位长度后，所得的图像与原图像重

（B） 3

（C） 6

（D） 9

(6)已知直二面角 ? ? l ? ? ，点 A ? ? , AC ? l ,C 为垂足， B ? ? , B D ? l , D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于 (A)
2 3

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

(7)某同学 有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的 赠送方法共有 (A)4 种 (B)10 种
?2 x

(C)18 种

(D)20 种

(8)曲线 y= e (A)
1 3

+1 在点(0，2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 (C)
2 3 5 2 )=

(B)

1 2

(D)1

(9)设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时， f ( x ) = 2 x (1 ? x ) ，则 f ( ? (A) 1 2

(B) ?

1 4

(C)

1 4

(D)

1 2

1

(10)已知抛物线 C： y ? 4 x 的焦点为 F，直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A，B 两点．则 co s ? A F B =
2

(A)

4 5

(B)

3 5

(C) ?

3 5

(D) ?

4 5

(11)已知平面α 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与α 成 6 0 0 二面角的平面β 截该球面得圆 N.若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4 ? ，则圆 N 的面积为 (A)7 ? (B)9 ?
? ? ?

(C)11 ?
? ?

(D)13 ?
? ? 1 2 ? ? ? ? ? ? , ? a ? c , b ? c ? ? 6 0 ，则 | c | 的最大值等于

(12)设向量 a , b , c 满足 | a |? | b |? 1, a ? b ? ? (A)2 (B) 3
20

(c) 2

(D)1
9

(13)(1- x ) 的二项展开式中，x 的系数与 x 的系数之差为:
?
2

.

(14)已知 a∈(

， ? )，sinα =

5 5

，则 tan2α =

(15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 的平分线．则|A F2| =

x

2

-

y

2

=1 的左、右焦点，点 A∈C，点 M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F1AF2

9

27

.

(16)己知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B2C3D4 的棱 BB 1 、CC1 上，且 B1E=2EB, CF=2FC1，则面 AEF 与面 ABC 所 成的二面角的正切值等于 .

(17)(本小题满分 l0 分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．． △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90°，a+c= 2 b，求 C.

(18)(本小题满分 12 分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．． 根据以往统计资料，某地车主购买甲种 保险 的概率为 0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率； (Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。

2

（19）如图，四棱锥 S ? A B C D 中， A B // C D , B C ? C D ，侧面 SA B 为等 边三角形， A B ? B C ? 2, C D ? S D ? 1 . （Ⅰ）证明： S D ? 平 面 S A B ; （Ⅱ)求 A B 与平面 SB C 所成角的大小.

（20）设数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 0 且 （Ⅰ）求 ? a n ? 的通项公式；
1? a n ?1 n

1 1? a
n ?1

?

1 1? a
n

? 1.

（Ⅱ）设 b n ?

, 记 Sn ?

?b
k ?1

n

k

, 证 明 ： S n ? 1.

3

（21）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C : x ?
2

y

2

? 1 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为 - 2 的直线 l 与 C

2

交与 A、B 两点，点 P 满足 O A ? O B ? O P ? 0 . (Ⅰ)证明：点 P 在 C 上； （Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上.

??? ?

??? ?

??? ?

4

（22） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．． （Ⅰ）设函数 f ( x ) ? ln (1 ? x ) ?
2x x?2

，证明：当 x＞ 0 时， f ( x )＞ 0 ；

（Ⅱ）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20 次，设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证明： p＜ (
9 10 ) ＜
19

1 e
2

5