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2015昌平区高三二模数学(文)试题及答案


昌平区 2015 年高三年级第二次统一练习

数学试卷(文科)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

2015.4

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要
求的一项.) 1. 已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6? ,集合 M ? ?

2,3,5? , N ? ?4,5? ,则集合 CU (M A.0 个 2. | A.1
1

N ) 中元素的个数是

B .1 个

C.2 个

D.3 个

4 | 等于 1? i
B.

2

C. 2

D. 2 2

3.设 a ? 4 2 , b ? log 2 A. a ? c ? b B.

1 1 , c ? ( ) 2 ,则 a , b, c 的大小关系是 4 3
a?b?c

C. b ? a ? c

D. c ? a ? b

4. 已知 ?ABC 是等腰直角三角形, D 是斜边 BC 的中点,AB = 2 ,则 AB ? AC ? AD 等于 A.2 B. 2 2 C.4 D. 6

?

?

5. 若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是

1 2

1

正视图

2 侧(左)视图

1 1 俯视图

A

B

C

D

1 北京市昌平区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二)高三数学 (文科)试题及答案

第 1 页 共 10 页

6.水厂监控某一地区居民用水情况,该地区 A,B,C,D 四个小区在 8:00—12:00 时用水总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示,在这四个小区中,单位时间内用水量逐步增加的是 Q Q2 Q Q2

Q1 O 8 A

Q1 O 8 B

12

T

12

T

Q Q2

Q Q2

Q1 O 8 C

Q1 12 T O 8 D

12

T

7. 已知函数 y ? f ( x) ( x ?R)是偶函数,其部分图象如图所示, 若,则在 (?2,0) 上与函数 f ( x ) 的单 调性相同的是 A. y ? ? x ? 1
2

B.

y ? cos x

y

?e ? x , x ? 0 ? C. y ? ? x ? ?e , x ? 0

D.

y ? log2 x

1 O 2 x

8. . 已知四面体 A ? BCD 满足下列条件: (1)有一个面是边长为 1 的等边三角形; (2)有两个面是等腰直角三角形. 那么符合上述条件的所有四面体的体积的不同值有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分)
2 北京市昌平区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二)高三数学 (文科)试题及答案

第 2 页 共 10 页

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) . 9. 已知函数 f ( x) ? ?

?2 x , x ? 1 ? ? x, x ? 1

, 若 f ( x) ? 2 ,则 x ?



10. 执行下面的程序框图,如果输入的 n ? 5 ,那么输出 的 S 的值为______.

11. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重(单位:克) 数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98) , [98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36, 则样本中 [98,104) 的产品的个数是_____________. 频率/组距 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 O 96 98 100 102 104 106 克

12. 数列 ?an ? 中,如果 an ?1 ? an ? 为 .

3 1 (n ? N* ) ,且 a1 ? ,那么数列 ?an ? 的前 5 项的和 S5 的值 2 2

13. 已知圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 5 经过椭圆 C :
2 2

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的右焦点 F 和上顶点 B ,则 a 2 b2

椭圆 C 的离心率为_______.

14. 点 P 到曲线 C 上每一个点的距离的最小值称为点 P 到曲线 C 的距离. 已知点 P(2, 0) ,若点 P 到
3 北京市昌平区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二)高三数学 (文科)试题及答案 第 3 页 共 10 页

曲线 C 的距离为 3 . 在下列曲线中: ① 3x2 ? y 2 ? 0 , ② ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 3 , ③ 5x2 ? 9 y 2 ? 45 , ④ y 2 ? 2 x .

符合题意的正确序号是

.(写出所有正确的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的三边分别为 a , b, c , B ? (Ⅰ )求 sin 2 A ; (Ⅱ )求 ?ABC 的面积.

? ,且 b ? 3 3, a ? 2. 3

16.(本小题满分 13 分) 某大学志愿者协会有 10 名同学,成员构成如下表,其中表中部分数据不清楚,只知道从这 10 名同学 中随机抽取一位,抽到该名同学为“数学专业”的概率为 专业 性别 男 女 (I) 求 m, n 的值; (II)现从男同学中随机选取 2 名同学,进行社会公益活动(每位同学被选到的可能性相同) ,求选出 的这 2 名男同学中至少 有一位同学是“数学专业”的概率. .. 中文 英语 1 1

2 . 5
数学 体育 1 1

n
1

m
1

17.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (I)证明:数列 {an } 是等比数列; (II)当 p =1 时,数列 bn?1 ? bn ? an , 且b1 ? 2, 求数列 {bn } 的通项公式.

3an * ? p (其中 p 是不为零的常数) ,n?N . 2

4 北京市昌平区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二)高三数学 (文科)试题及答案

第 4 页 共 10 页

18.(本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中, 平面ACDE ? 平面ABC ,
E

CD // AE , F 是 BE 的中点, ?ACB ? 90 , AE ? 2CD ? 2 ,

AC ? BC ? 1, BE ? 6 .
(I) 求证: DF //平面ABC ; (II)求证: DF ? 平面ABE ;
C F

D

(III)求三棱锥 D ? BCE 的体积.

A

B

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点 F ( 3,0) ,点 A( 3, ) 在椭圆上. 2 2 a b

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若直线 y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,且与圆 O : x2 ? y 2 ? a2 ? b2 相交于

P, B 两点,问 kOM ? kPB ? -1是否成立?请说明理由.

20.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 2ln x . ( I ) 若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; ( II ) 若 f ( x ) 在区间 [1, 4] 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (III) 已知函数 g ( x) ? f ( x) ? 4a ?

1 (a ? 0) ,当 x ?[2, ??) 时,函数 g ( x) 图象上的点均在不等式 4a

?x ? 2 所表示的平面区域内,求实数 a 的取值范围. ? ?y ? x

5 北京市昌平区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二)高三数学 (文科)试题及答案

第 5 页 共 10 页

昌平区 2015 年高三年级第二次统一练习 数学试卷(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.)
题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 C 5 B 6 B 7 D 8 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) . 9. 1 10. 14 11. 90 12.

?

25 2

13.

10 10

14. ① ② ④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 13 分) 解: (I) 由

a b a ? sin B 1 ? , 得 sin A ? ? . sin A sin B b 3
2 2 3
……………7 分

因为 a ? b ,所以 A ? B ,则 cos A ?

sin 2 A ? 2sin A cos A ?
(II)由 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

4 2 . 9

27 ? 4 ? c 2 ? 2c ,解得 c ? 1 ? 2 6 , c ? 1 ? 2 6 (舍) ,
1 3?6 2 . 故S?ABC ? ? a ? c ? sin B ? 2 2
法二:因为 a ? b ,所以 A ? B ,则 cos A ? ……………13 分

sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin(
sin C ?

2? 2? 2? ? A) ? sin cos A ? cos sin A, 3 3 3

2 2 . 3

3 2 2 1 1 2 6 ?1 , ? ? ? ? 2 3 2 3 6

c a ? , 得 c ? 1 ? 2 6, sin C sin A 1 3?6 2 故S?ABC ? ? a ? c ? sin B ? 2 2 . 由
16.(本小题满分 13 分)

……………13 分

解: (I)设事件 A :从 10 位学生中随机抽取一位,抽到该名同学为“数学专业”. 由题意可知,“数学专业”的学生共有 (1 ? m) 人. 则 P ( A) ?

1? m 2 ? .解得 m ? 3 . 10 5
第 6 页 共 10 页

6 北京市昌平区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二)高三数学 (文科)试题及答案

所以 n ? 1 .

……………6 分

(II)由题意可知,男生共有 6 人,分别记为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 .其中数学专业的男生为 a4 , a5 , a6 . 从中任意抽取 2 位,可表示为 a1a2 , a1a3 , a1a4 , a1a5 , a1a6 , a2 a3 , a2 a4 , a2 a5 , a2 a6 ,

a3 a4 , a3 a5 , a3 a6 , a4 a5 , a4 a6 , a5 a6 ,共 15 种可能.
设事件 B :选出的这 2 名男同学中至少有一位同学是“数学专业”. 事件 B 包括: a1a4 , a1a5 , a1a6 , a2 a4 , a2 a5 , a2 a6 , a3 a4 , a3 a5 , a3 a6 , a4 a5 , a4 a6 , a5 a6 ,共 12 种可能. 所以至少有一位同学是“数学专业”的概率是 P ( B ) ? 17. (本小题满分 13 分) 解: (I)在数列 {an } 中, S n ? 当 n ? 1 时, a1 ? 2 p 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ( an ?

12 4 ? . 15 5

……………13 分

3an ?p 2

3 2

p 3 p ) ? ( an ?1 ? ) 2 2 2

1 3 a 所以 an ? an ?1 , 故 n ? 3 2 2 an ?1
所以数列 {an } 是以 2 p 为首项,以 3 为公比的等比数列. (II)当 p =1 时, a1 ? 2 , 所以an ? 2 ? 3n?1 ……………7 分

因为bn?1 ? bn ? an ,

所以bn?1 ? bn ? 2 ? 3n?1, 所以b2 ? b1 ? 2 ? 30 b3 ? b2 ? 2 ? 31

b4 ? b3 ? 2 ? 32

bn ? bn?1 ? 2 ? 3n?2 ,
以上各式叠加得: 所以bn ? b1 ? 2 ? 30 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? 所以 bn ?

? 2 ? 3n?2 ,

2(1 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? 1, b1 ? 2 . 1? 3

又因为 当 n ? 1 时, b1 ? 2 符合上式. 所以 bn ? 1 ? 3n?1 , n ? N .
*

……………13 分
第 7 页 共 10 页

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18. (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ )设

M 为 AB 中点,连结 FM , CM .
1 2 AE .

在 ?ABE 中, F 为 BE 中点, FM //AE , FM ? 又因为 CD //AE ,且 CD ?

1 AE , 2

所以 CD //FM , CD ? FM . 所以 四边形 CDFM 为平行四边形. 故 DF //CM , DF ? 平面ABC , CM ? 平面ABC , 所以 DF //平面ABC . ……………5 分

(Ⅱ )在 Rt ?ABC 中, AC ? BC ? 1 ,? AB ? 2 . 在 ?ABE 中, AE ? 2 , BE ? 因为 BE ? AE ? AB .
2 2 2

6 , AB ? 2 .

所以 ?ABE 为直角三角形. 所以 AE ? AB . 又 因为平面ACDE ? 平面ABC , 平面ACDE 又 因为?ACB ? 90 ,所以 AC ? BC . 故 BC ? 平面ACDE . 即 BC ? AE .

平面ABC ? AC .

BC

AB ? B ,

所以 AE ? 平面ABC , CM ? 平面 ABC . 故 AE ? CM . 在 ?ABC 中,因为 AC ? BC , M 为 AB 中点, 所以 CM ? AB .

AE
所以

AB ? A ,
C M ? 平面 A B .E

由(Ⅰ )知

DF //CM ,
……………11 分

所以 DF ? 平面ABE . (Ⅲ )由(Ⅱ )可知 BC ? 平面ACDE

所以 BC 为三棱锥 B ? CDE 的高, 所以 VD ? BCE ? VB ?CDE ?

1 1 1 1 S?CDE BC ? ? ? 1? 1? 1 ? . 3 3 2 6

……………14 分

8 北京市昌平区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二)高三数学 (文科)试题及答案

第 8 页 共 10 页

19.(本小题满分 14 分) 解: (I)因为椭圆 C 的右焦点 F ( 3,0) ,经过点 A( 3, )

1 2

1 ?3 ? ?1 2 ?a 4b 2 ? ? 2 2 , 解得 a ? 4 , b ? 1 . ?c ? 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

.…………………5 分

(II)不成立 .…………………6 分 由(I)知,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 5 因为直线与椭圆 C 有且只有一个公共点 M .
? y ? kx ? m ? 所以方程组 ? x 2 (*) 2 ? ? y ?1 ?4

有且只有一组解. 由(*)得 (4k ? 1) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 .从而
2 2 2

? ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0 化简得 m2 ? 1 ? 4k 2
4km m , yM ? kxM ? m ? .② 2 4k ? 1 1 ? 4k 2 4km m , ). 所以点 M 的坐标为 (? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 xM ? ?
由于 kPB ? k ? 0 ,由① 可知 m ? 0 , 所以 kOM ? k PB



m 2 1 ? 1 ? 4k ? k ? ? ? ?1 , 4km 4 ? 2 1 ? 4k

kOM ? kPB ? -1不成立.……………14 分
20.(本小题共 13 分) 解: (I)当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 2) ? 2ln x, 定义域 ? 0, ?? ? .
2

2 2( x ? 1) 2 f ( x) ? 2 x ? 4 ? ? , x x
'

因为 x ? 0 ,所以 f ' ( x) ? 0 . 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ? 0, ?? ? ,无单调递减区间. ……………3 分

9 北京市昌平区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二)高三数学 (文科)试题及答案

第 9 页 共 10 页

2 2ax 2 ? 4ax ? 2 (II) f ( x) ? 2ax ? 4a ? ? (a ? 0), x ? ?1, 4? . x x
'

因为 f ( x ) 在区间 [1, 4] 上是增函数, 所以 f ' ( x) ? 0 在区间 [1, 4] 上恒成立,即 2ax ? 4ax ? 2 ? 0 在 [1, 4] 上恒成立.
2

(i)当 a ? 0 满足题意 (ii)令 h( x) ? 2ax2 ? 4ax ? 2, 则 h( x) ? 2a( x ?1)2 ? 2a ? 2, 对称轴 x ? 1 . ① 当 a ? 0 时,只需 h(1) ? 0, 即 ?2a ? 2 ? 0, 解得 0 ? a ? 1. ② 当 a ? 0 时,只需 h(4) ? 0, 即 16a ? 2 ? 0, 解得 ? 综上,实数 a 的取值范围是 ?

1 ? a ? 0. 8

1 ? a ?1 8

……………7 分

(III)依题意, g ( x) ? x 在 [2, ??) 上恒成立. 令 p( x) ? g ( x) ? x ? a ( x ? 2) ? 2 ln x ? 4a ?
2

1 ? x, 则 p( x)min ? 0 在 [2, ??) 上成立即可. 4a

p ' ( x) ? 2ax ? 4a ?
① 当 a ? 0 时,

2 ( x ? 2)(2ax ? 1) ?1 ? , x x

因为 x ? 2 ,所以 x ? 2 ? 0, 2ax ? 1 ? 0, 则 p' ( x) ? 0, p ( x) 在 [2, ??) 上是单调递减, 且 p (4) ? 2 ln 4 ? 4 ? ② 当0 ? a ?

1 ? 0 ,所以不满足 p( x)min ? 0 ,则 a ? 0 不成立. 4a

1 1 时, 2 ? . 4 2a

? 1 ? ? 1 ? 令 p' ( x) ? 0, 则递增区间是 ? , ?? ? ,令 p' ( x) ? 0, 则递减区间是 ? 2, ? . ? 2a ? ? 2a ?

1 1 1 1 1 ) ? a( ? 2) 2 ? 2 ln ? 4a ? ? ? ?2 ? 2 ln 2a. 2a 2a 2a 4a 2a 1 1 ?2 ? 2 ln 2a ? 0 ,解得 a ? ,所以 0 ? a ? . 2e 2e 1 1 ③ 当 a ? 时, 2 ? . 4 2a 1 ' ? 2. 令 p ( x) ? 0, 则递增区间是 ? 2, ?? ? .所以 p ( x) min ? p (2) ? 2ln 2 ? 4 a ? 4a 1 1 1 ? 1, ?4a ? ?1, 则 ?4a ? ? 0, 2 ln 2 ? 2 ? 0 , 因为 a ? ,所以 4 4a 4a 1 所以 p( x)min ? p(2) ? 0, 不满足 p( x)min ? 0 ,则 a ? 不成立, 4 1 综上,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? . ……………13 分 2e
所以 p( x) min ? p (

10 北京市昌平区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二)高三数学 (文科)试题及答案

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