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有关圆,椭圆,双曲线,抛物线的详细知识点


<一>圆的方程
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,圆心 O(a,b),半径 r。 (1)圆的一般式方程: x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系 : 配方化为标准方程:(x+D/2)^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标:(-D/2,-E/2) 半径为 r=√[(D^2+E^2-4F)]/2 此

方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 (2)点与圆的位置关系 点 P(X1,Y1) 与圆 (x-a)^2+(y-b) ^2=r^2 的位置关系:

⑴当(x1-a)^2+(y1-b) ^2>r^2 时,则点 P 在圆外。 ⑵当(x1-a)^2+(y1-b) ^2=r^2 时,则点 P 在圆上。 ⑶当(x1-a)^2+(y1-b) ^2<r^2 时,则点 P 在圆内。

圆与直线的位置关系判断 平面内,直线 Ax+By+C=0 与圆 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 的位置关系判断一 般方法是: 1.由 Ax+By+C=0,可得 y=(-C-Ax)/B,(其中 B 不等于 0),代入 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于 x 的一元二次方程 f(x)=0。利用判 别式 b^2-4ac 的符号可确定圆与直线的位置关系如下: 如果 b^2-4ac>0,则圆与直线有 2 交点,即圆与直线相交。 如果 b^2-4ac=0,则圆与直线有 1 交点,即圆与直线相切。 如果 b^2-4ac<0,则圆与直线有 0 交点,即圆与直线相离。

2.如果 B=0 即直线为 Ax+C=0,即 x=-C/A,它平行于 y 轴(或垂直于 x 轴),将 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 化为 (x-a)^2+(y-b) ^2=r^2。令 y=b,求 出此时的两个 x 值 x1、x2,并且规定 x1<x2,那么: 当 x=-C/A<x1 或 x=-C/A>x2 时,直线与圆相离; 当 x1<x=-C/A<x2 时,直线与圆相交; 半径 r,直径 d 在直角坐标系中,圆的解析式为:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2; x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 => (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 => 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实只要保证 X 方 Y 方前系数都是 1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为一个结论运用的 且 r=根号(圆心坐标的平方和-F)

<二>椭圆的标准方程
椭圆的标准方程分两种情况: 当焦点在 x 轴时,椭圆的标准方程是:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0); 当焦点在 y 轴时,椭圆的标准方程是:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0);

其中 a>0,b>0。a、b 中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆 有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们的一半分别叫椭圆 的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当 a>b 时,焦点在 x 轴上,焦距为 2*(a^2-b^2)^0.5,焦距与长、短半轴的关系:b^2=a^2-c^2,准线方程是 x=a^2/c 和 x=-a^2/c ,c 为椭圆的半焦距。 又及:如果中心在原点,但焦点的位置不明确在 X 轴或 Y 轴时,方程 可设为 mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m≠n)。即

F 点在 Y 轴 标准方程的统一形式。 椭圆的面积是 π ab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方 程是:x=acosθ , y=bsinθ 标准形式的椭圆在(x0,y0)点的切线就是 :xx0/a^2+yy0/b^2=1。 椭圆切线的斜率是:-by0/ax0,这个可以通过很复杂的代数计算得到。 椭圆的一般方程 Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0(A>0,B>0,且 A≠B)。 椭圆的参数方程 x=acosθ , y=bsinθ 。

椭圆的极坐标方程 (一个焦点在极坐标系原点,另一个在 θ =0 的正方向上) r=a(1-e^2)/(1-ecosθ ) (e 为椭圆的离心率) 平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数 2a(2a>|F1F2|)的动点 P 的 轨迹叫做椭圆。 即:│PF1│+│PF2│=2a 其中两定点 F1、F2 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离│F1F2│=2c<2a 叫 做椭圆的焦距。 长轴长| A1A2 |=2a; 短轴长 | B1B2 |=2b。 第二定义 平面上到定点 F 的距离与到定直线的距离之比为常数 e (即椭圆的 离心率,e=c/a)的点的集合(定点 F 不在定直线上,该常数为小于 1 的正 数) 其中定点 F 为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线(该定直线的方 程是 x=±a^2/c[焦点在 X 轴上];或者 y=±a^2/c[焦点在 Y 轴上])。 椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中 a,b 分别是椭圆的长半轴,短半轴的长) 。 或 S=π(圆周率)×A×B/4(其中 A,B 分别是椭圆的长轴,短轴的长) 。

椭圆的周长公式

椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)&sup2;)dt≈2π√( (a&sup2;+b&sup2;)/2) [椭圆近 似周长],其中 a 为椭圆长半轴,e 为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值, (范围:大于 0 小于 1) 椭圆的准线方程 x=±a^2/c

椭圆的离心率公式
e=c/a(0<e<1) ,因为 2a>2c。离心率越大,椭圆越扁平;离心率越小,椭圆越接 近于圆形。 椭圆的焦准距:椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线 x=+a^2/c) 的距 离为 b^2/c

椭圆焦半径公式
焦点在 x 轴上:|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2 分别为左右焦点) 椭圆过右焦点的半径 r=a-ex 过左焦点的半径 r=a+ex 焦点在 y 轴上:|PF1|=a-ey |PF2|=a+ey(F1,F2 分别为上下焦点) 椭圆的通径:过焦点的垂直于 x 轴(或 y 轴)的直线与椭圆的两交点 A,B 之间的 距离,数值=2b^2/a

椭圆的斜率公式
过椭圆上 x^2/a^2+y^2/b^2=1 上一点(x,y)的切线斜率为 -(b^2)X/(a^2)y

三角形面积公式
若有一三角形两个顶点在椭圆的两个焦点上,且第三个顶点在椭圆上 那么若∠F1PF2=θ,则 S=(b^2)tan(θ/2) 。

椭圆的曲率公式
K=ab/[(b^2-a^2) (cosθ)^2+a^2]^(3/2)

编辑本段点、直线与椭圆的关系
点与椭圆位置关系

点 M(x0,y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内:x0^2/a^2+y0^2/b^2<1 点在圆上:x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外:x0^2/a^2+y0^2/b^2>1

直线与椭圆位置关系
y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出 x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1 相切△=0 相离△<0 无交点 相交△>0 可利用弦长公式:A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = √(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1*x2] = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4x1*x2]

编辑本段椭圆参数方程的应用
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时,用参数坐标可将问题转化为 三角 函数问题求解 x=a×cosβ, y=b×sinβ a 为长轴长的一半

<三>双曲线

双曲线 双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨 迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于 1 的常数的点之轨迹。 双曲线是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平面的交截线。 双曲线在一定的仿射变 换下,也可以看成反比例函数。

定义
定义: 我们把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为

2a)的轨迹称为双曲线。 定义 1:

平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离 [1] )的点 的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点 定义 2:平面内,到给定一点及一直线的距离之比为大于 1 的常数的点的轨迹称 为双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线 定义 3:一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个 圆锥都相交时,交线称为双曲线。 定义 4:在平面直角坐标系中,二元二次方程 f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 满足以下条件时,其图像为双曲线。 1.a、b、c 不都是零. 2. b^2 - 4ac > 0.

双曲线的标准方程
1,焦点在 X 轴上时为: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 2,焦点在 Y 轴上时为: y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1

双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围: │x│≥a(焦点在 x 轴上)或者│y│≥a(焦点在 y 轴上) 。

2、对称性:
关于坐标轴和原点对称。

3、顶点:
A(-a,0), A'(a,0) 。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a. B(0,-b) B'(0,b) , 。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.

F1(-c,0)F2(c,0).F1 为双曲线的左焦点,F2 为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c 对实轴、虚轴、焦点有:a^2+b^2=c^2

4、渐近线:
焦点在 x 轴:y=±(b/a)x. 焦点在 y 轴:y=± (a/b)x. 圆锥曲线 ρ=ep/1-ecosθ 当 e>1 时,表示双曲线。其中 p 为焦点到准线距离,θ 为弦与 x 轴夹角。 令 1-ecosθ=0 可以求出 θ,这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e)

5、离心率: 第一定义:e=c/a 且 e∈(1,+∞). 第二定义:双曲线上的一点 P 到定点 F 的距离│PF│ 与 点 P 到定直 线(相应准线)的距离 d 的比等于双曲线的离心率 e. d 点│PF│/d 线(点 P 到定直线(相应准线)的距离)=e 6、双曲线焦半径公式 (圆锥曲线上任意一点 P(x,y)到焦点距离) 左焦半径:r=│ex+a│ 右焦半径:r=│ex-a│ 7、等轴双曲线 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即:2a=2b 且 e=√2 这时渐近线方程为:y=±x(无论焦点在 x 轴还是 y 轴) 8、共轭双曲线 双曲线 S'的实轴是双曲线 S 的虚轴 且 双曲线 S'的虚轴是双曲线 S 的 实轴时,称双曲线 S'与双曲线 S 为共轭双曲线。 几何表达:S:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S':(y^2/b^2)-(x^2/a^2) =1 特点:(1)共渐近线 ;与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交 点 (2)焦距相等 (3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于 1 9、准线:

焦点在 x 轴上:x=±a^2/c 焦点在 y 轴上:y=±a^2/c 10、通径长: (圆锥曲线中,过焦点并垂直于轴的弦) d=2b^2/a 11、过焦点的弦长公式: d=2pe/(1-e^2cos^2θ ) 12、弦长公式: d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2) |y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 双曲线的标准公式与反比例函数 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的 13.双曲线内、上、外 在双曲线的两侧的区域称为双曲线内,则有 x^2/a^2-y^2/b^2>1; 在双曲线的线上称为双曲线上,则有 x^2/a^2-y^2/b^2=1; 在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有 x^2/a^2-y^2/b^2<1。

双曲线参数方程
双曲线的参数方程:x=a*sec θ (正割) y=b*tan θ ( a 为实半轴长, b 为虚半轴 长, θ 为参数。 )

<四>抛物线

平面内,到一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。

抛物线的标准方程
y2 =2px(p>0) (开口向右) ; y2 =-2px(p>0) (开口向左) ; x2 =2py(p>0) (开口向上) ; x2 =-2py(p>0) (开口向下) ; 在抛物线 y2 =4cx(c>0)中, 焦点是 F(c,0) ,准线 l 的方程是 x = ? c; 在抛物线 y2 =-4cx(c>0) 中,焦点是 F(-c,0) ,准线 l 的方程是 x = c; 在抛物线 x2 =4cy(c>0) 中, 焦点是 F(0,c) ,准线 l 的方程是 y = ? c; 在抛物线 x2 =-4cy(c>0)中,焦点是 F(0,-c) ,准线 l 的方程是 y = c;[1] (c=焦点至顶点之距离的绝对值)

依据基础定义的公式
抛物线上任意点 P(x,y)至准线 ax + by + c 之距离与 P 至焦点 C(C1,C2)的距离恒等, 故得:

抛物线


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