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陕西省西安市曲江第一中学2014-2015学年高一数学上学期期中试题


西安市曲江第一中学 2014—2015 学年度第一学期 高一年级(数学必修 1)期中测试卷
一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1. 设全集 U ? x x ? 4, x ? N , A ? ?0,1, 2? , B ? ?2,3? , 则 B ? CU A 等于

?

?

(

)

A

?3?

B

?2,3?

C ?

D

?0,1,2,3?
( D ?3, 4 ? ( ) )

2.函数 f ? x ? ? ln x ? 2x ? 3 的零点所在的区间是 A ?0, 1? B ?1, 2?
2

C

?2, 3?

3.已知 f ? x ? ? x ? ax 在 ?0,1? 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是 A

?? ?,0?

B ?1,???
1? x

C ?2,???

D ?? ?,0? ? ?2,??? ( y )

4. 函数 f ? x ? ? 2 y

的图象是 y

o
A

x B

o

x C

o

x D

o
( D. b ? c ? a )

x

5.设 a ? 20.3 , b ? 0.32 , c ? log2 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b

6. 若奇函数 f ? x ? 在区间 [3 , 7] 上是增函数且最小值为 5 ,则 f ? x ? 在区间 ? ?7, ? 3? 上是 ( ) B.增函数且最小值为 ?5 D.减函数且最大值为 ?5

A.增函数且最大值为 ?5 C.减函数且最小值为 ?5

7.已知集合 A=B=R,x∈A,y∈B,f::x→y=ax+b,若 4 和 10 的原象分别对 应是 6 和 9,则 19 在 f 作用下的象为 ( ) A.18 B.30 C. 27 2 D.28 )

8.已知 f ( x ) 是偶函数,当 x<0 时, f ( x) ? x( x ? 1) ,则当 x>0 时, f ( x) ? ( A. x( x ? 1) B. ? x( x ? 1) C. x( x ? 1)

D. ? x( x ? 1)

-1-

9.函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在区间 [?1,1] 上存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? 0( x0 ? ?1) ,则 a 的取 值范围是 A. ?1 ? a ? ( )

1 5

B. a ? ?1

C. a ?

1 5

D. a ?

1 或 a ? ?1 5
( )

10 .设 f ( x) ? ?

? x ? 2, ( x ? 10) 则 f (5) 的值为 ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) ,则 f (8) ? 12.计算: 2
3? log 2 5



=__________. 。 。

2 13.若函数 f ( x ) ? 4 x ? x ? a 的零点个数为 3 ,则 a ?

14.函数 f ( x) ? log a (2 x ? 3) ?1 的图像恒过定点 P ,则点 P 的坐标是
2 15. 若函数 y ? log 2 ax ? 2ax ? 1 的定义域为 R ,则 a 的范围为__________。

?

?

三、解答题(共 50 分) 1 2 16(本题 8 分).已知函数 f(x)=(log 1 x) -log 1 x+5,x∈[ ,4] ,求 f(x)的最大值及最 4
4 4

小值. 17 (本题 10 分).设 A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,其中 x ? R ,如
2 2 2

果 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

18(本题 10 分).已知定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ,在定义域上为减函数 (1)求 f(0)的值 (2)若 f (1 ? a) ? f (1 ? 2a) ? 0 ,求实数 a 的取值范围。

a ? 2x ? 1 19(本题 10 分).设 f ( x ) ? 是 R 上的奇函数。 1 ? 2x
(1)求实数 a 的值; (2)判定 f ( x ) 在 R 上的单调性并用定义证明。

-2-

20(本题 12 分).设函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? a ?1, x ? ?0, 2? , a 为常数 (1)用 g (a ) 表示 f ? x ? 的最小值,求 g (a ) 的解析式 (2)在(1)中,是否存在最小的整数 m ,使得 g ( a) ? m ? 0 对于任意 a ? R 均成立,若存 在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由

-3-

西安市曲江第一中学 2014—2015 学年度第一学期 高一年级(数学必修 1)期中考试答题卷 一、 选择题(30 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、 填空题(20 分) 11. 14. 三、 解答题(50 分) 1 2 16(本题 8 分).已知函数 f(x)=(log 1 x) -log 1 x+5,x∈[ ,4] ,求 f(x)的最大值及最 4
4 4

; ;

12. 15.

; 13.

;

小值.

17 (本题 10 分) .设 A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,其中 x ? R ,如
2 2 2

果 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围。

-4-

18(本题 10 分).已知定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ,在定义域上为减函数 (1)求 f(0)的值 (2)若 f (1 ? a) ? f (1 ? 2a) ? 0 ,求实数 a 的取值范围。

a ? 2x ? 1 19(本题 10 分).设 f ( x ) ? 是 R 上的奇函数。 1 ? 2x
(1)求实数 a 的值; (2)判定 f ( x ) 在 R 上的单调性并用定义证明。

-5-

20(本题 12 分) .设函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? a ?1, x ? ?0, 2? , a 为常数
2

(1)用 g (a ) 表示 f ? x ? 的最小值,求 g (a ) 的解析式 (2)在(1)中,是否存在最小的整数 m ,使得 g ( a) ? m ? 0 对于任意 a ? R 均成立,若存 在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由

-6-

西安市曲江第一中学 2014—2015 学年度第一学期 高一年级(数学必修 1)期中试题答案 四、 选择题(30 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 C 5 B 6 A 7 B 8 A 9 D 10 B

五、 填空题(20 分)

11.

2 2
(2,1)

;

12.

40

;

13.

4

;

14.

;

15.

[0,1)

六、 解答题(50 分) 1 2 16(本题 8 分).已知函数 f(x)=(log 1 x) -log 1 x+5,x∈[ ,4] ,求 f(x)的最大值及最 4
4 4

小值. 【解】 令 t=log 1 x
4

1 ∵x∈[ ,4] ,t=log 1 x 在定义域递减,则有 4
4

log 1 4<log 1 x<log 1
4 4 4

1 , 4

∴t∈[-1,1]

1 2 19 2 ∴原函数转化为 y=t -t+5=(t- ) + ,t∈[-1,1] 2 4 1 对称轴为 t= ∈[-1,1] 。 2 1 19 ∴当 t= 时,f(x)取最小值 2 4 当 t=-1 时,f(x)取最大值 7. 17 (本题 10 分) .设 A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,其中 x ? R ,如
2 2 2

果 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围。
2 2 解:由 A ? B ? B得B ? A ,而 A ? ??4,0? , ? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 8a ? 8

当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B ? ? ,符合 B ? A ; 当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B ? ?0? ,符合 B ? A ; 当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B 中有两个元素,而 B ? A ? ??4,0? ;
-7-

∴ B ? ??4,0? 得 a ? 1 ∴ a ? 1或a ? ?1 。 18、(本题 10 分)已知定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ,在定义域上为减函数 (1) 求 f(0)的值 (2) 若 f (1 ? a) ? f (1 ? 2a) ? 0 ,求实数 a 的取值范围。 解:(1)由奇函数定义:f(0)=-f(-0),得 f(0)=0 (2)由已知条件有

f (1 ? a) ? f (1 ? 2a) ? 0 ? f (1 ? a) ? ? f (1 ? 2a)
? f ( x) 是奇函数?? f (1 ? 2a) ? f (2a ? 1) ? f (1 ? a) ? f (2a ?1) ? f ( x) 为其定义域上的减函数,

2 ? a? ? 1 ? a ? 2 a ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ??1 ? 1 ? a ? 1 ? ?0 ? a ? 2 ? ? a ? 1 3 ??1 ? 2a ? 1 ? 1 ?0 ? a ? 1 ? ? ?
2 ? 实数 a 的取值范围为 ( ,1) 3

a ? 2x ? 1 19. (本题满分 10 分)设 f ( x) ? 是 R 上的奇函数。 1 ? 2x
(1)求实数 a 的值; (2)判定 f ( x ) 在 R 上的单调性并用定义证明。 解 ( 1 ) 法 一 : 函 数 定 义 域 是 R , 因 为 f ( x) 是 奇 函 数 ,
?x x 1 ? a ? 2x a ? 2 ?1 a ? 2 ? ? ………………2 分 ?x x 1 ? 2x 1? 2 1 ? 2

所 以 f (? x) ? ? f ( x), 即

?1 ? a ? 2x ? a ? 2x 解得 a ? 1 …………………………………………4 分
法二:由 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,故 a ? 1 ,……………3 分

-8-

再由 f ( x) ?

2x ?1 ,验证此时 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 a ? 1 的符合题意……4 分 1 ? 2x

(2) f ( x ) 增函数…………………………………………………………5 分 证明:因为 f ( x) ?

2x ?1 x x ,设设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,得 2 1 ? ? 2 。 1 ? 2x

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? … ?

2(2 x1 ? 2 x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1)

所以 f ( x ) 说增函数。……………………………………………………10 分 20(本题 12 分) .设函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? a ?1, x ? ?0, 2? , a 为常数
2

(1)用 g (a ) 表示 f ? x ? 的最小值,求 g (a ) 的解析式 (2)在(1)中,是否存在最小的整数 m ,使得 g ( a) ? m ? 0 对于任意 a ? R 均成立,若存 在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由 解: (1)对称轴 x ? ?a ① 当 ?a ? 0 ? a ? 0 时 , f ? x ? 在 ? 0, 2? 上 是 增 函 数 , 当 x ? 0 时 有 最 小 值

f (0) ? ?a ? 1 …………2 分
② 当 ?a ? 2 ? a ? ?2 时 , f ? x ? 在 ? 0, 2? 上 是 减 函 数 , x ? 2 时 有 最 小 值

f (2) ? 3a ? 3 …………2 分
③当 0 ? ?a ? 2 ? ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, 2? 上是不单调,

x ? ?a 时有最小值 f (?a) ? ?a2 ? a ?1…………2 分
a?0 ??a ? 1 ? 2 ?, g ( a ) ? ? ? a ? a ?1 ?2 ? a ? 0 …………2 分 ? 3a ? 3 a ? ?2 ?
(2)存在, 由题知 g (a ) 在 ? -?, ? ? 是增函数,在 ? ? , +? ? 是减函数 2 2

? ?

1? ?

? 1 ?

? ?

1 3 a ? ? 时, g (a ) max ? ? ,…………2 分 2 4

-9-

3 g (a) ? m ? 0 恒成立 ? g (a)max ? m ,? m ? ? …………1 分, 4 ?m 为整数,?m 的最小值为 0 …………1 分

- 10 -


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