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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示]


第三章

3.1

第 4 课时

一、选择题 1.对于向量 a,b,c 和实数 λ,下列命题中真命题是( A.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b [答案] B [解析] a· b=0?a⊥b,|a|2=|b|2?(a+b)· (a-b)=0?(a+b)⊥(a-b);

a· b=a· c?a⊥(b-c);故 A、C、D 均错. → → → → 2.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若AB=3i,AD=2j,AA1=5k,则AC1=( A.i+j+k C.3i+2j+5k [答案] C → → → → → → → [解析] AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=3i+2j+5k. → → → 3.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC 与 BD 的交点为 M.设A1B1=a,A1D1=b,A1A=c, → 则下列向量中与B1M相等的向量是( 1 1 A.- a+ b+c 2 2 1 1 C. a- b+c 2 2 [答案] A → → → → [解析] B1M=B1A1+A1A+AM → → 1→ =-A1B1+A1A+ AC 2 → → 1 → 1 → =-A1B1+A1A+ A1B1+ A1D1 2 2 1 1 =- a+ b+c. 2 2 4.给出下列命题: ①若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d 与 c 共线,d≠0,则{a,b,d}也可作为空 间的基底;②已知向量 a∥b,则 a,b 与任何向量都不能构成空间的一个基底;③A,B,M, → → → N 是空间四点,若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,那么 A,B,M,N 共面;④已 知向量组{a,b,c}是空间的一个基底,若 m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底.其 ) 1 1 B. a+ b+c 2 2 1 1 D.- a- b+c 2 2 1 1 1 B. i+ j+ k 3 2 5 D.3i+2j-5k ) )

B.若 λa=0,则 λ=0 或 a=0 D.若 a· b=a· c,则 b=c

中正确命题的个数是( A.1 C.3 [答案] D

) B.2 D.4

[解析] 根据基底的概念,空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底,否 → → → 则就不能构成空间的一个基底.显然②正确,③中由BA、BM、BN共面且过相同点 B,故 A、 B、M、N 共面. 下面证明①④正确. ①假设 d 与 a、b 共面,则存在实数 λ,μ,使 d=λa+μb,∵d 与 c 共线,c≠0, ∴存在实数 k,使 d=kc, λ μ ∵d≠0,∴k≠0,从而 c= a+ b, k k ∴c 与 a、b 共面与条件矛盾. ∴d 与 a,b 不共面. 同理可证④也是正确的. 5. 已知 a+b+c=0, |a|=2, |b|=3, |c|= 19, 则向量 a 与 b 之间的夹角 〈a, b〉 为( A.30° C.60° [答案] C [解析] 由题意 a+b=-c,两边平方得, |c|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos〈a,b〉 , 即 19=4+9+2×2×3cos〈a,b〉 , 1 所以 cos〈a,b〉= ,所以〈a,b〉=60° . 2 6.设{i,j,k}是单位正交基底,已知向量 p 在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量 p 在基底{i,j,k}下的坐标是( A.(12,14,10) C.(14,12,10) [答案] A [解析] 依题意知 p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k, 故向量 p 在基底{i,j,k}下的坐标是(12,14,10). 二、填空题 7.若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数 x,y,z 使得 xa+yb+zc=0,则 x,y, z 满足的条件是__________. [答案] x=y=z=0 B.(10,12,14) D.(4,3,2) ) B.45° D.以上都不对 )

y z [解析] 若 x≠0,则 a=- b- c,即 a 与 b,c 共面. x x 由{a,b,c}是空间向量的一个基底知 a,b,c 不共面,故 x=0,同理 y=z=0. 8.已知向量 p 在基底{a,b,c}下的坐标为(2,1,-1),则 p 在基底{a+b,a-b,c}下 的坐标为__________,在基底{2a,b,-c}下的坐标为__________. 3 1 [答案] ( , ,-1) (1,1,1) 2 2 [解析] 由条件 p=2a+b-c. 设 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则 p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc, ∵a、b、c 不共面, x+y=2 ? ? ∴?x-y=1 ? ?z=-1 x= ? ? 2 ,∴? 1 y= 2 ? ?z=-1 3



3 1 即 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为( , ,-1), 2 2 同理可求 p 在基底{2a,b,-c}下的坐标为(1,1,1). 9.(2013· 广东省中山二中期末)若 A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9) 三点共线,则 λ+μ=__________. [答案] 0 → → [解析] 由条件知AB∥AC, → → 由于AB=(λ-1,1,λ-2μ-3),AC=(2,-2,6), λ-1 1 λ-2μ-3 所以 =- = ,所以 λ=0,μ=0, 2 2 6 于是 λ+μ=0. 三、解答题 10.如图,已知正方体 ABCD-A′B′C′D′,点 E 是上底面 A′B′C′D′的中心, → → → 取向量AB、AD、AA′为基底的基向量,在下列条件下,分别求 x,y,z 的值.

→ → → → (1)BD′=xAD+yAB+zAA′; → → → → (2)AE=xAD+yAB+zAA′. → → → → → → [解析] (1)∵BD′=BD+DD′=BA+AD+DD′ → → → → → → → =-AB+AD+AA′,又BD′=xAD+yAB+zAA′, ∴x=1,y=-1,z=1. 1 → → → → → (2)∵AE=AA′+A′E=AA′+ A′C′ 2 1 → → → =AA′+ (A′B′+A′D′) 2 1 → 1→ → =AA′+ A′B′+ AD 2 2 1 → 1→ → = AD+ AB+AA′, 2 2 → → → → 又AE=xAD+yAB+zAA′, 1 1 ∴x= ,y= ,z=1. 2 2

一、选择题 11.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量 a 在基底 → → → {AB,AD,AA1}下的坐标为(2,1,-3).

→ → → 若分别以DA,DC,DD1的方向为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间直角坐标系,则 a 的 空间直角坐标为( A.(2,1,-3) C.(1,-8,9) [答案] D → → → → → → [解析] a=2AB+AD-3AA1=2DC-DA-3DD1=8j-i-9k=(-1,8,-9). 12.设 O-ABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上的一点,且 OG=3GG1, ) B.(-1,2,-3) D.(-1,8,-9)

→ → → → 若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为( 1 1 1? A.? ?4,4,4? 1 1 1? C.? ?3,3,3? [答案] A

) 3 3 3? B.? ?4,4,4? 2 2 2? D.? ?3,3,3?

[解析] 连 AG1 交 BC 于 E,则 E 为 BC 中点,

→ 1 → → 1 → → → AE= (AB+AC)= (OB-2OA+OC), 2 2 → 2→ 1 → → → AG1= AE= (OB-2OA+OC), 3 3 3 → → → → ∵OG=3GG1=3(OG1-OG),∴OG= OG1, 4 → 3→ 3 → → ∴OG= OG1= (OA+AG1) 4 4 3 → 1→ 2→ 1→ = (OA+ OB- OA+ OC) 4 3 3 3 1→ 1→ 1→ = OA+ OB+ OC,故选 A. 4 4 4 13.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是上底面 A1B1C1D1 的中心,则 AC1 与 CE 的位置 关系是( ) B.垂直 D.无法确定

A.重合 C.平行 [答案] B

→ → → → → → → → 1 → → [解析] AC1=AB+AD+AA1, CE=CC1+C1E=AA1- (AB+AD). 设正方体的棱长为 1, 2 1 1 → → → → → → 1→ 1 → → 于是AC1· CE=(AB+AD+AA1)· (AA1- AB- AD)=0- -0+0-0- +1-0-0=0,故AC1 2 2 2 2 → ⊥CE,即 AC1 与 CE 垂直. 二、填空题 14.三棱锥 P-ABC 中,∠ABC 为直角,PB⊥平面 ABC,AB=BC=PB=1,M 为 PC → → → → 的中点,N 为 AC 中点,以{BA,BC,BP}为基底,则MN的坐标为__________.

1 1 [答案] ( ,0,- ) 2 2 1 1 → → → 1 → → 1 → → 1→ 1→ → ,0,- ?. [解析] MN=BN-BM= (BA+BC)- (BP+BC)= BA- BP,即MN=? 2? ?2 2 2 2 2 → → → 15.空间四边形 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA, → N 为 BC 的中点,MN在基底{a,b,c}下的坐标为__________. 2 1 1 [答案] (- , , ) 3 2 2 2 [解析] ∵OM=2MA,点 M 在 OA 上,∴OM= OA, 3 → → → → 1 → → ∴MN=MO+ON=-OM+ (OB+OC) 2 2 1 1 2 1 1 =- a+ b+ c=(- , , ). 3 2 2 3 2 2 三、解答题 → → → 16.如图所示,正方体 OABC-O′A′B′C′,且OA=a,OC=b,OO′=c.

→ → (1)用 a,b,c 表示向量OB′,AC′; → (2)设 G、H 分别是侧面 BB′C′C 和 O′A′B′C′的中心,用 a、b、c 表示GH. → → → → → → [解析] (1)OB′=OB+BB′=OA+OC+OO′=a+b+c. → → → → → → AC′=AC+CC′=AB+AO+AA′ → → → =OC+OO′-OA=b+c-a. → → → → → (2)GH=GO+OH=-OG+OH 1 → 1 → → → =- (OB+OC′)+ (OB′+OO′) 2 2 1 1 =- (a+b+c+b)+ (a+b+c+c) 2 2

1 = (c-b). 2 17.如图所示,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别在 B1B 1 2 和 D1D 上,且 BE= BB1,DF= DD1. 3 3 (1)证明:A、E、C1、F 四点共面; → → → → (2)若EF=xAB+yAD+zAA1,求 x+y+z 的值. → → → → [解析] (1)证明:因为AC1=AB+AD+AA1 → → 1→ 2→ =AB+AD+ AA1+ AA1 3 3 → 1 → ? ?→ 2 → ? =? ?AB+3AA1?+?AD+3AA1? → → → → → → =(AB+BE)+(AD+DF)=AE+AF, 所以 A、E、C1、F 四点共面. → → → → → → → (2)解:因为EF=AF-AE=AD+DF-(AB+BE) → 2 → → 1→ =AD+ DD1-AB- BB1 3 3 → → 1→ =-AB+AD+ AA1, 3 1 所以 x=-1,y=1,z= , 3 1 所以 x+y+z= . 3


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