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湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案


华中师大一附中 2014—2015 学年度第二学期期中检测 高一年级数学试题
考试限时:120 分钟 卷面满分:150 分 命题人:黄倩 审题人:黄进林

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的 1.数列

5 9 3 7 , ? , , ? ,?的一个

通项公式为 2 8 4 16
2n ? 1 2n

2n ? 1 2n 2n ? 1 2n ? 1 C. an ? (?1) n ?1 ? n D. an ? (?1)n ?1 ? n 2 2 2.等差数列{an}中,a2 + a8 =16,则{an}的前 9 项和为 A.56 B.96 C.80 D.72 3.下列命题中正确的是 A.两两相交的三条直线共面 B.两条相交直线上的三个点可以确定一个平面 C.梯形是平面图形 D.一条直线和一个点可以确定一个平面
A. an ? ( ?1) n ? B. an ? (?1)n ? 4.数列{an}满足 a1=0, an ?1 ?
an ? 2 ,则 a2015 ? 5 an ? 2 4

A.0

B.

4 3

C.1

D.2

5.下列命题中正确的个数是 (1)空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等 (2)若直线 l 与平面 ? 平行,则直线 l 与平面 ? 内的直线平行或异面 (3)夹在两个平行平面间的平行线段相等 (4)垂直于同一条直线的两条直线平行 A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知 a ? 0 ,不等式 42x 2 ? ax ? a 2 ? 0 的解集为

a a A. ( , ? ) 7 6
①BM 与 ED 平行 ③CN 与 BM 成 60? 角 A.①②③

a a B. ( ? , ) 6 7

a 2a C. ( , ? ) 7 7
N D

D. ?

7.如右图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中 ②CN 与 BE 是异面直线 ④DM 与 BN 是异面直线
E

C

M

以上四个结论中,正确结论的序号是 B.②④ C.③④

A

B F D.①③④

-1-

8.已知 x ? 0 ,则 y ? x 2 ? A.12

16 的最小值为 x B.16

C.20

D.10

9.关于 x 的不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? a 2 ? 3a 的解集为非空数集,则实数 a 的取值范围是 A. 1 ? a ? 2 C. a ? 1 或 a ? 2
3 ? 17 3 ? 17 ?a? 2 2 D. a ? 1 或 a ? 2

B.

1 1 1 1 1 1 10. 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ? ? ? 10 ) 的值为 2 2 4 2 4 2
A. 18 ?

1 29

B. 20 ?

1 210

C. 22 ?

1 211

D. 18 ?

1 210

11.正项数列{an},a1=1,前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 2 Sn ? Sn ?1 (n ? 2) ,则 a10 ? C.90 1? z 12.已知正数 x, y, z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,则 s ? 的最小值为 2 xyz A.3 B. A.72 B.80 D.82

3( 3 ? 1) C.4 D. 2( 2 ? 1) 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知实数 x, y 满足 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则 2 x ? 3 y 的取值范围是 .

14.等差数列{an}中, | a3 |?| a9 | ,公差 d ? 0 ,则使前 n 项和 Sn 取得最大值的正整数 n 的值是 .
2 1 . (a ? 2) , n ? 22 ?b (b ? 0) ,则 m, n 之间的大小关系为 a?2 16.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那 么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。已知数列 {an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,则数列{an}的前 n 项和 Sn ? .

15.已知 m ? a ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 已知 a , b ? R+, a ? 2b ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值. a b
D1 A1 H G C1

18. (本小题满分 12 分) 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,G 是 C1D1 的中点,H 是 A1B1 的中点 (1)求异面直线 AH 与 BC1 所成角的余弦值; (2)求证:BC1∥平面 B1DG.

B1

D

C B

19. (本小题满分 12 分) 已知等比数列{an}满足 a3 ? a4 ? 12 , a1 ? a6 ? 32 且公比 q ? 1 , (1)求{an}的通项公式;
-2-

A

(2)若 bn ?

n ,求{bn}的前 n 项和 Tn. an

20. (本小题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建 筑 物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的 能源 消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系: C( x) ? 若不 建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ( x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之 和. (1)求 k 的值及 f ( x) 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x) 达到最小,并求最小值.

k (0 ? x ? 10) , 3x ? 5

21. (本小题满分 12 分) 数列{an}满足 a1 ? 3 , an ?1 ? (1)求证: {
2 , an ? 1

an ? 1 } 成等比数列; an ? 2

(2)若 an ? t 2 ? mt ? 0 对一切 n ? N*及 m ? [?1,1] 恒成立,求实数 t 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)

1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? an ? 1 , 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{an}中的任意三项不可能成等差数列; an (3)设 bn ? ,Tn 为{bn}的前 n 项和,求证 Tn ? 3 . (an ? 1) 2

-3-

华中师大一附中 2014—2015 学年度下学期高一期中检测
数学试题答案
一. 二. 选择题 DDCBCA 填空题 CABBAC

13.

?3,8?

14. 5 或 6

15. m ? n

? 5 n, n为偶数 ? ? 2 16. S n ? ? ? 5 n ? 1 , n为奇数 ? ?2 2

三.解答题 17.解:

1 1 1 1 a 2b ? ? (a ? 2b)( ? ) ? 3 ? ? ?3 ?2 2 a b a b b a

……………….7 分

当且仅当 a ? 所以

2b 且 a ? 2b ? 1 即 b ? 1 ?

2 , a ? 2 ? 1 时取“=”……………..9 分 2
……………………………………………10 分

1 1 ? 的最小值为 3 ? 2 2 a b

(说明:若没有求出 a , b 的具体值,本题最多给 8 分) 18.解:(1)连结 AD1 , HD1 , ∵AB∥C1D1 AB=C1D1
A1 D1 H G C1

∴四边形 ABC1D1 为平行四边形, ∴AD1∥BC1, ∴ ?D1 AH 为异面直线 AH 与 BC1 所成的角,…….….2 分 设正方体棱长为 1, 在 ?AD1H 中, AD1 ? 2 , AH ? D1 H ?

B1

D A B

C

5 , 2
……………..….5 分

∴ cos ?D1 AH ?

D1 A2 ? AH 2 ? D1H 2 10 ? 2D1 A ? AH 5
10 5

∴异面直线 AH 与 BC1 所成角的余弦值为 (2)连结 BD1 交 B1D 于点 O , 连结 OG ,易知 O 为 BD1 的中点,

…………….6 分
D1 A1 H G C1

B1

O

-4A

D B

C

在 ?BC1D1 中, OG 为中位线,∴OG∥BC1 又 OG ? 平面 B1DG 且 BC1 ? 平面 B1DG ∴BC1∥平面 B1DG 19.解: (1) ………………….12 分

a1 ? a6 ? 32?a3 ? a4 ? 32 又 a3 ? a4 ? 12, q ? 1?a3 ? 4, a4 ? 8
………………………………………5 分

?q ? 2?an ? a3 ? qn?3 ? 2n?1, n ? N *
(2)由(1)知 bn ?

n

2 n ?1 1 2 3 n Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? ??? ? n ?1 (1) 2 2 2 2 1 1 2 n? 1 n Tn ? ? 2 ? ??? ? n ? 1? n ( 2 ) 1 2 2 2 2 2
(1) ? (2) 得

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 n 2 ? n ? 2? n?2 Tn ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n ?1 ? n ? 1 2 2 2 2 2 2n 2n 1? 2 n?2 ? Tn ? 4 ? n ?1 ……………………………12 分 2
(说明:第(2)问如果结果错误不给分) 20.解: (1)设隔热层厚度为 x cm , 再由 C (0) ? 8 ,得 k ? 40 , 因此 C ( x ) ? ………………..2 分

40 . 3x ? 5
40 800 ? 6x ? ? 6 x(0 ? x ? 10) ……….6 分 3x ? 5 3x ? 5

隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

f ( x) ? 20C ( x) ? C1 ( x) ? 20 ?
(2) f ( x) ?

800 1600 ? 6x ? ? (6 x ? 10) ? 10 ? 2 1600 ? 10 ? 70 3x ? 5 6 x ? 10
2

当且仅当 (6 x ? 10) ? 1600 即 x ? 5 时取 " ? " 所以当隔热层修建 5cm 厚时, 总费用达到最小值为 70 万元

……………….11 分 ………………..12 分

a ?1 ?an ? 1 2 ? n a ?1 a ? 1 an ? 1 a ?1 1 a ?1 ? n ? n ?? ? n 21.解: (1)证明: n ?1 2 a ? 2 2 a ? 4 2 an ?1 ? 2 2 an ? 2 n ? n an ? 1 an ? 1 an ? 1
?{
2 1 an ? 1 } 是等比数列,首项为 ,公比为 ? ……………………….5 分 5 2 an ? 2

-5-

(2)由 1)知

an ? 1 2 1 ? ? (? )n ?1 得 an ? an ? 2 5 2

3 ? 2 …………………..6 分 2 1 n?1 1 ? ? (? ) 5 2

? 2 单减 ?1 ? an ? 3 4 1 n 1? ? ( ) 5 2 1 3 当 n 为偶数时, an ? ? 2 单增? ? an ? 1 4 1 2 1 ? ? ( )n 5 2 1 所以 an ? (当 n ? 2 时取等号) …………………………9 分 2 1 2 由题 t ? mt ? 对 m ? [?1,1] 恒成立 2 1 记 g (m) ? tm ? t 2 , m ?[?1,1] ,要使 g (m) ? 2
当 n 为奇数时, an ?

3

1 ? g (?1) ? ? ? 2 需 ? ? g (1) ? 1 ? ? 2



1? 3 3 ?1 ?t ? 2 2

……………………………..12 分

(说明:第(2)问中如果不讨论 n 的奇偶性,即使最终答案正确,最多给 9 分)

22. 解: (1)

1 1 Sn ? an ? 1(1) S n ?1 ? an ?1 ? 1(2) , 2 2
(1) ? (2) 得

an ? 2(n ? 2) 又 a1 ? 2 an?1

?{an } 为等比数列,首项为 2 ,公比为 2 ,?an ? 2n , n ? N * ……………..3 分
(2)假设 {an } 中存在三项 ar , as , at (r ? s ? t ) 按某种顺序成等差数列

an ? 2n 单增 ? ar ? as ? at ? 2as ? ar ? at 即 2 ? 2s ? 2r ? 2t
同除以 2 得 2 ? 2
r s ?r

? 1 ? 2t ?r

s ? r ? 1, t ? r ? 1 ? 左端为偶数,右端为奇数,矛盾
所以任意三项不可能成等差数列 (3) bn ? ……………………7 分

2n (2n ? 1)2
………………………8 分

当 n ? 1 时, T1 ? b1 ? 2 ? 3 ,不等式成立

-6-

当 n ? 2 时, bn ?

2n 2n 2n?1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ? 1)(2n ?1 ? 1)
1
n ?1

1 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? 2 ? [( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ??? ? ( n ?1 ? n )] 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 ? 2 ?1? n ? 3? n ?3 2 ?1 2 ?1 ? ?
n

综上 ,对于一切 n ? N * 有 Tn ? 3 成立

…………………………12 分

版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)

-7-


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