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平面几何讲义(1)


讲义
1.设 D 是 ?ABC 的边 BC 上一点,但不是中点, O1 , O2 分别是 ?ABD, ?ADC 的外心, 求证 ?ABC 的中线 AK 的中垂线过线段 O1O2 的中点。 2.设 A, B 是圆 O 上的两个不同的点, P 是 AB 的中点,圆 O1 与 AB 切于点 P ,且与圆

O 相切。过点 A 作圆 O1 的不同于 AB 的

切线,与圆 O 交于点 C ,Q 是 BC 的中点,圆 O2 与 BC 切于点 Q ,且与 CA 相切,证明圆 O2 与圆 O 相切。
3.设 ?ABC 是锐角三角形,线段 MN 是平行于 BC 的中位线, P 是 N 在 BC 边上的投 影。设 A 是线段 MP 的中点,且同理定义 B1 , C1 ,若 AA , BB1 , CC 共点,则 ?ABC 是等腰 1 1 1 三角形。 4.已知依次两两相切的六个圆 ? O1 , ? O2 , ? O3 , ? O4 , ? O5 , ? O6 均与 ? O 相内切,切点 分别为 A , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 ,证明 A1 A4 , A2 A5 , A3 A6 三线交于一点。 1 5.梯形 ABCD 内接于圆 O ,两底 BC, AD 满足 BC ? AD ,过点 C 的切线与 AD 交于 点 P ,过 P 的切线与圆 O 切于不同于 C 的点 E , BP 与圆 O 交于点 K ,过 C 作 AB 的平行 线,分别与 AK , AE 交于点 M , N ,证明 M 为 CN 的中点。 6.已知直线上的三个定点依次为 A, B, C , O 过 A, C 且圆心不在 AC 上, 圆 分别过 A, C

PB 两点, 且与圆 O 相切的直线交于点 P , 与圆 O 交于点 Q , 证明 ?AQC 的角平分线与 AC
的交点不依赖于圆 O 的选取。 7.已知点 D 是 ?ABC 的边 BC 的延长线上一点,满足 CD ? AC ,?ACD 的外接圆与以

BC 为直径的圆的第二个交点为 P ,直线 BP 与 AC 交于点 E ,直线 CP 与 AB 交于点 F ,
证明 D, E, F 三点共线。 8.设 D, E, F 分别是 ?ABC 的边 BC , CA, AB 上的点,且满足 AD ? BE ? CF ,若

AD, BE , CF 不交于一点,且围出一个正三角形,问 ?ABC 是否一定是正三角形?
9.已知凸四边形 ABCD , AB, DC 交于点 P , AD, BC 交于点 Q ,O 为四边形 ABCD 内一点,且有 ?BOP ? ?DOQ ,证明 ?AOB ? ?COD ? 180? 。

1

10.已知 O, H 分别是 ?ABC 的外心和垂心, E , F 分别是边 AC, AB 上的点,证明

?BOF ? ?COE ? 180? 的充分必要条件是 ?BHF ? ?CHE ? 180? 。 11.已知梯形 ABCD 满足 AB // CD ,在 CB 的延长线上有一点 E ,在线段 AD 上有一 点F , 使得 ?DAE ? ?CBF , 设直线 CD 与 BF 交于点 I ,AB 与 EF 交于点 J , 线段 EF 的中点为 K ,且 K 不在直线 AB 上,证明 I 在 ?ABK 的外接圆上的充分必要条件是 K 在 ?CDJ 的外接圆上。
12.已知 ?ABC 的外心为 O , A? 是 BC 的中点, AA? 与外接圆 O 交于点 A?? ,过 A?? 作 圆 O 的切线,与过 A? 作 AO 的垂线交于点 P 。类似的定义 P , Pc 。证明 P , P , P 三点共线。 a b a b c 13.已知两个半径不等的圆 O1 , O2 相交于 M , N 两点,且圆 O1 , O2 分别与圆 O 内切于

S , T 两点,求证 OM ? MN 的充分必要条件是 S , N , T 三点共线。
14.已知 P, Q 是凸四边形 ABCD 内的两点,且满足 PQDA 和 QPBC 均为圆内接四边 形,若在线段 PQ 上存在一点 E ,使得 ?PAE ? ?QDE, ?PBE ? ?QCE ,证明四边形

ABCD 为圆内接四边形。
15.设 ?ABC 的外接圆为圆 O ,过点 A, C 的圆分别与 BC, BA 交于点 D, E 。直线

AD, CE 分别与圆 O 交于不同于 A, C 的点 G , H ,过 A, C 分别作圆 O 的切线,与直线 DE
分别交于点 L, M ,证明 LH , MG 的交点在圆 O 上。 16.在等腰 ?ABC 中, AC ? BC , I 为其内心,设 P 是 ?ABC 的外接圆在 ?ABC 内部 的圆弧上一点,过 P 分别平行于 CA 和 CB 的直线交 AB 于点 D 和 E ,过 P 平行于 AB 的 直线交 CA 于点 F ,交 CB 于点 G ,证明直线 DF 与直线 EG 的交点在 ?ABC 的外接圆上。 17. 已知梯形 ABCD 的对角线 AC , BD 交于点 P ,点 Q 在平行线 BC , AD 之间,且满 足 ?AQD ? ?CQB , P, Q 在直线 CD 的两侧,证明 ?BQP ? ?DAQ 。 18. 设 ?ABC 中 ? A 内的旁切圆为 ? I1 ,与 BC 平行的动直线 l 分别与线段 AB, AC 交 于点 D, E , ?ADE 的内切圆为 ? I ,分别过 D, E 且与 ? I1 相切的直线(不过点 A )交于 点 P ,分别过 B, C 且与 ? I 相切的直线(不过点 A )交于点 Q ,证明 PQ 过一个定点。 19. 在 ?ABC 中 , ?B A C ? ? A C B D, E 分 别 是 边 A C, A B上 的 点 , 且 满 足 ,

?A C B ? ? B E ,F 是四边形 BCDE 内一点, D 且满足 ?BCF 的外接圆与 ?DEF 的外接圆
相切, ?BEF 的外接圆与 ?CDF 的外接圆相切,证明 A, C , E , F 四点共圆。

2

, ? 20. 已 知 锐 角 ?A B C O, A O B O C

A M6 0? 外 心 为 O , OA, OB, OC 与 边 ?N 的

BC , CA, AB 的交点分别为 M , N , P ,且 ?NMP ? 90? 。 (1)证明 ?AMB 和 ?AMC 的角
分线分别为 MP 和 MN ; (2)若 ?ABC 中有一个角为 60? ,求 ?ABC 的其它角的度数。

, 21. 设 M , N 分 别 是 ?ABC 的 边 A C B C 的 点 , K 是 线 段 MN 的 中 点 , 上 ?CAN , ?BCM 的外接圆的第二个交点为 D ,证明 CD 经过 ?ABC 的外心的充分必要条件
是 AB 的中垂线经过点 K 。

? ? AB 22.已知 ?ABC 外接圆 BC, CA, ? 的中点分别为 D, E, F , EF 分别与 AB, CA 交于点
C1, B2 ; FD 分 别 与 BC, AB 交 于 点 A1, C2 , DE 分 别 与 CA, BC 交 于 点 B1, A2 , 证 明 A1 A2 ? B1B2 ? C1C2 的充分必要条件是 ?ABC 为正三角形。
23. ?ABC 的边 AB 上有两个点 P, Q ,证明 ?APC 与 ?QBC 的内切圆半径相等的充分 必要条件是 ?AQC 与 ?PBC 的内切圆半径也相等。

? 24.凸五边形 ABCDE 是圆内接五边形, ?ABC 与 ?AED 的内切圆半径相等, ABD 若 与 ?AEC 的内切圆半径也相等,证明 ?ABC ? ?AED 。
25. ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的角平分线分别与外接圆交于点 A1 , B1 , C1 ,证明(1) (2) L?A1B1C1 ? L?ABC ; (3) r?A1B1C1 ? r?ABC ,其中 S , L, r 分别表示相应的三 S?A1B1C1 ? S?ABC ; 角形的面积,周长和内切圆半径。 26. 已 知 M , L, K 为 ?ABC 的 边 BC 上 的 点 , 次 序 为 B, M , L, K , C , 且

BM ? ML ? LK ? KC , ?ACB ? ?MAB ,证明(1) ?KAL ?
中的系数

3 ?CAK 。 (2)在(1) 2

3 是最大的。 2

27.设 D, E, F 分别是 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 上的点, AD, BE , CF 分别与 ?ABC

的外接圆交于点 P, Q, R ,证明

AD BE CF ? ? ? 9 ,并确定等号成立的条件。 PD QE RF

28.已知锐角 ?ABC 内接于圆 O ,作 ?ABC 的边 BC 上的高,CA 上的中线和 ?C 的角 平分线,并延长分别交圆 O 于点 A?, B?, C ? ,求证 S?ABC ? S?A?BC ? S?AB?C ? S?ABC? 。 29.证明双心四边形外接圆半径与内切圆半径的比不小于 2 。 30.已知凸四边形内接于一个半径为 1 的圆, 证明它的周长与对角线的和之差大于 0, 小

3

于 2。 31.







a













使









?? 2 2 ? ? ?? sin 2? ? 2 2 ? a 2 sin ? ? ? ? ? ? ?3 ? 2a 对于任意 ? ? ?0, ? 恒成立。 ?? 4? ? ? 2? ? cos ? ? ? ? 4? ?

?

?

32. ?1? 对于 0 ? x ? 1 ,求函数 h ? x ? ?

?

1? x ? 1? x ? 2

??

1 ? x2 ? 1 的取值范围;
x?
成立的最小正

?

? 2 ? 证明当 0 ? x ? 1 时,存在正数 ? ,使得不等式 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ?
数 ? ? 2 ,并求此时的最小正数 ? 。

?

33.设正实数 x1 , x2 ,?, xn , y1 , y2 ,?, yn 满足 ?1? 0 ? x1 y1 ? x2 y 2 ? ? ? xn yn ; ? 2 ? 对于 每 一 个

k ? 1, 2,?, n



x1 ? x2 ? ? ? xk ? y1 ? y2 ? ? ? yk







1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? 。 x1 x2 xn y1 y2 yn
34.设 a1 , a2 ,?, an , b1, b2 ,?, bn 是实数,证明使得对于任意满足 x1 ? x2 ? ? ? xn 的实数

x1 , x2 ,?, xn , 不 等 式
k k

? ai xi ? ? bi xi 恒 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是
i ?1 i ?1 n n i ?1 i i ?1 i

n

n

? a ? ? b ? k ? 1, 2,?, n ? 1? ,且 ? a ? ? b 。
i ?1 i i ?1 i

35.设实数 a1 , a2 ,?, an ? n ? 3? 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? n, a12 ? a22 ? ?? an2 ? n2 , 证明

max ?a1, a2 ,?, an ? ? 2 。
2 2 2 36.设 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 , a1 ? a2 ? ? ? an ? 3n , a1 ? a2 ? ? ? an ? n 2 。求证

a1 ? a2 ? a3 ? n 。
37. 已 知 正 数 数 列

?an ?

满 足 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? , a1 ?

1 , 2k

a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ? 1,证明从数列中可以找出 k 个数,使得其中的最小的数超过最大
的数的一半。 38.已知非负实数列 ?an ? 满足 an ? 2an?1 ? an?2 ? 0 ,

?a
k ?1

n

k

,证明 ? 1( n ? 1,2,? )

4

0 ? an ? an ?1 ?

2 ( n ? 1,2,? ) 。 n2

39.动点 M 从原点出发,沿斜率为 k 的直线 l 前进,若 k 为无理数,证明 ?1? l 上除 一定存在整点 ? m, n ? , 使得 l 与这点的距离小于 ? 。 O ? 0, 0? 外无有理点;? 2 ? 对任给正数 ? , 40. 已 知 函 数 f ? x ? ? sin x ? sin ? x 及 正 数 d , 求 证 存 在 实 数 p , 使 得

f

?

x? ? ? p

?f ?

x ? 对一切实数 x 成立,且 p 的值可以任意大。 d

41. 设 a1 , a2 ,?, a2012 为 非 负 整 数 , 对 于 任 意 正 整 数 i , j , 且 i ? j ? 2012 , 有

ai ? a j ? ai j ? a i ? a j1 , 证 明 存 在 实 数 x , 使 得 对 于 所 有 的 n ? 1, 2,?, 2012 , 有 ? ?

an ? ? nx? 。
42. 已 知 ? 为 正 整 数 集 , 对 所 有 正 整 数 k , n , 函 数 f : ? ? ? 满 足

k f? ? ? n

n k ? f ?k? ? ? f ?

n? k 1。

?1? 求证对于任意正整数 a, b ,有 f ? a ? ? f ?b? ? f ? a ? b? ? f ? a ? ? f ?b? ?1;
? 2 ? 求证对于任意正整数 n ,如果函数 f 满足 f ? 2007n? ? 2007 f ? n? ? 2005,则存
在正整数 c ,使得 f ? 2007c ? ? 2007 f ? c ? 。 43. 已知正实数 a, b, c 满足 abc ? 1 ,求 围。 44. 给 定 一 个 正 整 数 n ? n ? 2? , 试 求 出 所 有 的 正 整 数 m , 使 得 对 于 满 足 条 件 :

1 1 1 的取值范 ? 3 ? 3 a ?b ? c ? b ?c ? a ? c ? a ? b ?
3

a1 ? 2 ? an ? 1 的任何一组正实数 a1 , a2 ,?, an ,都有下列不等式成立: a ??
m m a1m ? a2 ? ? ? an ?

1 1 1 ? ??? 。 a1 a2 an

45. 求 c 的最小值, 使得 x1 ?

x2 ? ? ? xn ? c x1 ? x2 ? ? ? xn 对一切正整数 n 及

满足 x1 ? x2 ? ?? xi ? xi ?1 ?i ? 1,2,?n ?1? 的正数 x1 , x2 ,?, xn 均成立。
3 2 2 3 2 2 46.求不定方程 x ? x y ? xy ? y ? 8 x ? xy ? y ? 1 的所有整数解 ?x, y? 。

?

?

47. 求不定方程 a ? b
2

?

?? a ? b ? ? ? a ? b ?
2

2

的所有整数解 ?a, b? 。

5

d 48. 设 a, b, c, d 为 奇 数 , 0 ? a ? b ? c ? , 且 a d?

b, 试 证 如 果 c

a ? d ? 2k , b ? c ? 2 m ,其中 k, m 为整数,则 a ? 1 。
49.求所有的正整数 n ? n ? 2? ,在十进制中,一切由 n ? 1 个 1 及 1 个 7 构成的 n 位数都 是素数。 50.整数 9 可以表示为两个连续正整数的和 9 ? 4 ? 5 ,同时它恰可用两种不同的方法表 示成连续正整数的和 9 ? 4 ? 5 ? 2 ? 3 ? 4 。问是否存在这样的正整数 m ,它可以表示成 1990 个连续正整数的和,并恰有 1990 种不同的方法表示成连续正整数的和。 51.证明每个正有理数都能被表示成

a 3 ? b3 的形式,其中 a, b, c, d 是正整数。 c3 ? d 3

52.是否存在函数 f : ? ? ? ? ? ,使得对所有的正整数 n ,有 f

? f ? n?? ? 2n 。

53.如果一个正整数的十进制表示是由一个不从 0 开始的数字块及紧接在它后面的一个 完全相同的数字块组成,则称这个数为二重数。例如 360360 是二重数,36036 不是二重数, 证明有无穷多个二重数是完全平方数。 54. 已 知 整 数 a1 , a2 , , a1 0 证 明 存 在 不 全 为 零 的 数 组 ? x1 , x2 ,?, x10 ? , 使 得 , ?

xi ???1,0,1? , ? xi ai 能被 1001 整除。
i ?1

10

? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0, ? a x ? a x ? ? ? a x ? 0, ? 21 1 22 2 2n n 55.考虑方程组 ? 其中系数 aij 为不全为 0 的整数, 证明当 ? ? ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0, ?
n ? 2 m 时,有一组整数解 ? x1, x2 ,?, xn ? 满足 0 ? man x j ? n max
1? j ? n 1?i ? m,1? j ? n

aij 。

56.证明对任意正整数 m, n , Sm,n ? 1 ?

? ? ?1?
k ?1

m

k

? n ? k ? 1?! 能被 m ! 整除,但是存在正 n!? n ? k ?

整数 m, n ,使得 Sm,n 不能被 m!? n ?1? 整除。 57. 定 义 d ? n m ( m, n 为 整 数 , 且 0 ? m ? n ) 对 于 所 有 的 非 负 整 数 n , : , ?

d ? n,0? ? d ? n, n? ? 1 m











m, n ? 0 ? m ? n ?





?

,d

??

n

?

m ?? 1

?

m ??d ,

?

2 n?

m ?1 d , 均为整数。 ? ,证明所有的 n, ? n?m?m 1 d
p a r ? ? ,证明 b ? q ? s 。 q b s

n

m

58.设 a, b, p, q, r , s 是正整数,满足 qr ? ps ? 1,

6

59.设 M 是正整数,考虑集合 S ? n ? N M ? n ? ( M ? 1)
2

?

2

? ,证明所有形如 ab 的正

整数互不相同,其中 a, b ? S 。 60.设 a, b, c 是正整数, ab c c ? c ? 1 , c ? 1 a ? b ,证明 a , b 中有一个数等于 c ,另
2 2

?

?

一个等于 c ? c ? 1 。
2

7


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