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吉林省延边二中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析


吉林省延边二中 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,每题只有一个选项正确) 1.已知角 θ 为第四象限角,且 A. B. ,则 sinθ+cosθ=() C. D.

2.已知函数 f(x)=sin(ωx+ A.1 B.

) (ω>0)的最小正周期为 π,则

f( C.﹣1

)=()

D.﹣

3.已知点 P(sin π,cos π)落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π) ,则 θ 的值为() A. B. C. D.

4.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为()

A.

B.

C. 0

D.

5.已知 k 进制数 44(k) 转化为十进数为 36,则把 67(k)转化为十进数为() A.45 B.56 C.53 D.55 6.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是() A.“至少有一个红球”与“都是黑球”

B. “至少有一个黑球”与“都是黑球” C. “至少有一个黑球”与“至少有 1 个红球” D.“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球” 7.下表是一位母亲给儿子作的成长记录: 年龄/周岁3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.1 根据以上样本数据, 她建立了身高 y (cm) 与年龄 x (周岁) 的线性回归方程为 =7.19x+73.93, 给出下列结论: ①y 与 x 具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本的中心点(42,117.1) ; ③儿子 10 岁时的身高是 145.83cm; ④儿子年龄增加 1 周岁,身高约增加 7.19cm. 其中,正确结论的个数是() A.1 B. 2 C. 3
2

D.4
2

8.设集合 A={(x,y)||x|+|y|≤1},若动点 P(x,y)∈A,则 x +(y﹣1) ≤2 的概率是() A. B. C. D.π

9.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③若 sinα=sinβ,则 α 与 β 的终边相同; ④若 cosθ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是() A.0 B. 1 C. 2

D.3

10.设函数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(其中 a,b,α,β 为非零实数) ,若 f=5, 则 f 的值为() A.5 B. 3 C. 8 D.不能确定 11.若点 P(sinα﹣cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π)内 α 的取值范围是() A. C. * B. D.

12.若 x∈A,且 ∈A,则称 A 是“伙伴关系集合”.在集合 M={﹣1,0, , , ,1,2,3, 4}的所有非空子集中任选一个集合,则该集合是“伙伴关系集合”的概率为() A. B. C. D.

二、填空题(共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,请将答案写在答题纸上) 5 4 3 2 13.用秦九韶算法计算 f(x)=3x +5x +6x ﹣8x +35x+12,当 x=﹣2 时,v4=. 14.已知 <θ<π,cos θ=﹣ ,则 tan(π﹣θ)的值为.

15.为了测算如图阴影部分的面积,作一个边为 6 的正方形将其包含在内,并向正方形内随 即投掷 800 个点,已知恰有 200 个点落在阴影部分内,据此,可估计阴影部分的面积是.

16.如图,△ ABC 的 3 个顶点都在 5×5 的网格(每个小正方形的边长均为 1 个单位长度) 的格点上,将△ ABC 绕点 B 顺时针旋转到△ A′BC′的位置,且点 A′、C′仍落在格点上,则线 段 AB 扫过的图形面积是平方单位.

三、解答题(17,18,19 题 8 分,20,21 题 10 分,22 题 12 分.请写出必要的解答过程) 17.已知 sin(3π+θ)= , (1)求 cos θ 的值 (2)求 值. + 的
2

18.已知函数 y=a﹣bcos(2x+ (1)求 a,b 的值;

) (b>0)的最大值为 3,最小值为﹣1.

(2)当求 x∈[

, π]时,函数 g(x)=4asin(bx﹣

)的值域.

19.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生 产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据 x 3 4 5 6 t 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y= x+ ; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 92 吨标准煤.试根据(2)求出的回归方 程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数据: 3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 20.某校 100 名学生期 2015 届中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间 如下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] (Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生期 2015 届中考试数学成绩的平均分; (Ⅲ)现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生,将该样本看成一个总体, 从中随机抽取 2 名,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率?

21.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三各代表队人数分别为 120 人、120 人、n 人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程 中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 20 人在前排就坐,其中 2014-2015 学年高二代表队有 6 人. (1)求 n 的值; (2)把在前排就坐的 2014-2015 学年高二代表队 6 人分别记为 a,b,c,d,e,f,现随机 从中抽取 2 人上台抽奖.求 a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率. (3) 抽奖活动的规则是: 代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0, 1]之间的均匀随机数 x, y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”, 则不中奖,求该代表中奖的概率.

22.已知函数 f(x)=sin(2ωx+ 对称轴,且|x1﹣x2|的最小值为

) (ω>0) ,直线 x=x1,x=x2 是 y=f(x)图象的任意两条 .

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若关于 x 的方程 的取值. +mcosx+2=0 在 x∈(0, )有实数解,求实数 m

四、附加题(共 20 分) 23.设角 α 的终边在第一象限,函数 f(x)的定义域为[0,1],且 f(0)=0,f(1)=1,当 x≥y 时,有 f( 为.
2

)=f(x)sinα+(1﹣sinα)f(y) ,则使等式 f( )= 成立的 α 的集合

24.已知函数 f(x)=2x ﹣3x+1,g(x)=ksin(x﹣

) , (k≠0) .

(1)问 α 取何值时,方程 f(sinx)=α﹣sinx 在[0,2π]上有两解; (2)若对任意的 x1∈[0,3],总存在 x2∈[0,3],使 f(x1)=g(x2)成立,求实数 k 的取值 范围?

吉林省延边二中 2014-2015 学年高一下学期期中数学试 卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,每题只有一个选项正确)

1.已知角 θ 为第四象限角,且 A. B.

,则 sinθ+cosθ=() C. D.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由同角三角函数基本关系式分别求出 sinθ,cosθ 再相加即可. 解答: 解:∴ ∴sinθ=﹣ cosθ. 由于 sin θ+cos θ=1,得出 cos θ= ∵角 θ 是第四象限角, ∴cosθ= ,sinθ=﹣ . ∴sinθ+cosθ= . 故选 A. 点评: 本题考查同角三角函数间的基本关系,考查学生的计算能力,属于基础题.
2 2 2





2.已知函数 f(x)=sin(ωx+ A.1 B.

) (ω>0)的最小正周期为 π,则 f( C.﹣1

)=()

D.﹣

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的周期公式求出 ω 即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=sin(ωx+ ∴周期 T= =π,解得 ω=2, ) , + )=sin( + )=sin =1, ) (ω>0)的最小正周期为 π,

即 f(x)=sin(2x+ 则 f( )=sin(2×

故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数值的求解,根据函数的周期求出 ω 是解决本题的关键. 3.已知点 P(sin π,cos π)落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π) ,则 θ 的值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 解出点 P 的具体坐标,即可求解 θ 的值. 解答: 解:点 P(sin π,cos π) 即 P 它落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π) , ∴ 故选 D. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,是基础题. 4.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为() ;

A.

B.

C. 0

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:当 i=1 时,执行完循环体后:S= 当 i=2 时,执行完循环体后:S= 当 i=3 时,执行完循环体后:S= 当 i=4 时,执行完循环体后:S= ,满足继续循环的条件,故 i=2;

,满足继续循环的条件,故 i=3; ,满足继续循环的条件,故 i=3; ,满足继续循环的条件,故 i=5;

当 i=5 时,执行完循环体后:S=0,满足继续循环的条件,故 i=6;

当 i=6 时,执行完循环体后:S=0,满足继续循环的条件,故 i=7; 当 i=7 时,执行完循环体后:S= ,满足继续循环的条件,故 i=8;

当 i=8 时,执行完循环体后:S= ,满足继续循环的条件,故 i=9; 当 i=9 时,执行完循环体后:S= ,不满足继续循环的条件, 故输出结果为 , 故选:A 点评: 本题考查了程序框图的应用问题, 解题时应模拟程序框图的运行过程, 以便得出正 确的结论,是基础题. 5.已知 k 进制数 44(k) 转化为十进数为 36,则把 67(k)转化为十进数为() A.45 B.56 C.53 D.55 考点: 进位制. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 用所给的 k 进制的数字从最后一个数字开始乘以 k 的 0 次方,1 次方,累加求和得 到 36,从而解得 k 的值,即可得解. 解答: 解:∵44(k)=36, 1 0 ∴4×k +4×k =36,可解得:k=8, 1 0 ∴6×8 +7×8 =55, 即 67(8)转化为十进数为 55. 故选:D. 点评: 本题考查算法的概念, 以及进位制的运算, 本题解题的关键是理解进位制之间的转 化原则,属于基本知识的考查. 6.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是() A.“至少有一个红球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“都是黑球” C. “至少有一个黑球”与“至少有 1 个红球” D.“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球” 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 列举每个事件所包含的基本事件, 结合互斥事件和对立事件的定义, 依次验证即可 解答: 解:对于 A:事件:“至少有一个红球”与事件:“都是黑球”,这两个事件是对立事 件,∴A 不正确 对于 B:事件:“至少有一个黑球”与事件:“都是黑球”可以同时发生,如:一个红球一个黑 球,∴B 不正确 对于 C:事件:“至少有一个黑球”与事件:“至少有 1 个红球”可以同时发生,如:一个红球 一个黑球,∴C 不正确 对于 D:事件:“恰有一个黑球”与“恰有 2 个黑球”不能同时发生, ∴这两个事件是互斥事件, 又由从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球, 得到所有事件为“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球”以及“恰有 2 个红球”三种情况,故这两个 事件是不是对立事件,

∴D 正确 故选 D 点评: 本题考查互斥事件与对立事件. 首先要求理解互斥事件和对立事件的定义, 理解互 斥事件与对立事件的联系与区别. 同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件. 属简单 题 7.下表是一位母亲给儿子作的成长记录: 年龄/周岁3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.1 根据以上样本数据, 她建立了身高 y (cm) 与年龄 x (周岁) 的线性回归方程为 =7.19x+73.93, 给出下列结论: ①y 与 x 具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本的中心点(42,117.1) ; ③儿子 10 岁时的身高是 145.83cm; ④儿子年龄增加 1 周岁,身高约增加 7.19cm. 其中,正确结论的个数是() A.1 B. 2 C. 3

D.4

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 概率与统计. 分析: 本题考察统计中的线性回归分析, 在根据题目给出的回归方程条件下做出分析, 然 后逐条判断正误. 解答: 解;线性回归方程为 =7.19x+73.93, ①7.19>0,即 y 随 x 的增大而增大,y 与 x 具有正的线性相关关系,①正确; ②回归直线过样本的中心点为(6,117.1) ,②错误; ③当 x=10 时, =145.83,此为估计值,所以儿子 10 岁时的身高的估计值是 145.83cm 而不 一定是实际值,③错误; ④回归方程的斜率为 7.19,则儿子年龄增加 1 周岁,身高约增加 7.19cm,④正确, 故应选:B 点评: 本题考察回归分析的基本概念,属于基础题,容易忽略估计值和实际值的区别. 8.设集合 A={(x,y)||x|+|y|≤1},若动点 P(x,y)∈A,则 x +(y﹣1) ≤2 的概率是() A. B. C. D.π
2 2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 本题是几何概型,集合 A 对应的区域是边长为 的正方形,动点 P(x,y)∈A, 2 2 则 x +(y﹣1) ≤2 的区域为以(0,1)为圆心, 为半径的圆,利用面积比求概率.

解答: 解:由题意,本题是几何概型,集合 A 对应的区域是边长为 的正方形,面积为 2 2 2,在此条件下,动点 P(x,y)∈A,则 x +(y﹣1) ≤2 的区域为以(0,1)为圆心, 为 半径的 圆,面积为 ,如图

由几何概型公式得到 x +(y﹣1) ≤2 的概率是 故选 B.

2

2



点评: 本题考查了几何概型概率的求法; 根据明确集合 A 对应的区域以及 x + (y﹣1) ≤2 对应的区域,利用几何概型公式解答. 9.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③若 sinα=sinβ,则 α 与 β 的终边相同; ④若 cosθ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是() A.0 B. 1 C. 2

2

2

D.3

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的求值;简易逻辑. 分析: 直接利用特殊角判断①的正误;利用直角判断②的正误;反例判断③的正误;特 例判断④的正误. 解答: 解:①第二象限角大于第一象限角;如 120°是第二象限角,390°是第一象限角, 显然①的说法是错误的.①不正确. ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;如果有一个角是 90°,则 90°不是第一象限角 或第二象限角.②不正确. ③若 sinα=sinβ,则 α 与 β 的终边相同;利用 α=30°,β=150°,满足 sinα=sinβ,则 α 与 β 的 终边不相同, ③不正确. ④若 cosθ<0,则 θ 是第二或第三象限的角.利如 θ=180°,cosθ=﹣1<0,则 θ 不是第二或 第三象限的角,④不正确. 故选:A. 点评: 本题考查命题的真假的判断,象限角以及终边相同角的判断,基本知识的考查.

10.设函数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(其中 a,b,α,β 为非零实数) ,若 f=5, 则 f 的值为() A.5 B. 3 C. 8 D.不能确定 考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式化简所给式子的值,可得结果. 解答: 解:由函数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4,可得 f=asin+bcos+4=a=﹣asinα ﹣bcosβ+4=5, ∴asinα+bcosβ=﹣1. 故 f=asin+bcos+4=a=asinα+bcosβ+4=3, 故选:B. 点评: 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式, 要特别注意符号的选取, 这是解题的 易错点,体现了“整体代换”的数学思想,属于基础题. 11.若点 P(sinα﹣cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π)内 α 的取值范围是() A. C. * B. D.

考点: 正弦函数的单调性;象限角、轴线角;正切函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 先根据点 P(sinα﹣cosα,tanα)在第一象限,得到 sinα﹣cosα>0,tanα>0,进而 可解出 α 的范围,确定答案. 解答: 解:



故选 B. 点评: 本题主要考查正弦、正切函数值的求法.考查基础知识的简单应用. 12.若 x∈A,且 ∈A,则称 A 是“伙伴关系集合”.在集合 M={﹣1,0, , , ,1,2,3, 4}的所有非空子集中任选一个集合,则该集合是“伙伴关系集合”的概率为() A. B. C. D.

考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 本题可先对集合 M 的所有非空子集的个数,再研究出符合条件的“伙伴关系集合” 的个数,从而求出本题的概率,得到本题结论. 解答: 解:∵集合 M={﹣1,0, , , ,1,2,3,4}, ∴集合 M 的所有非空子集的个数为:2 ﹣1=511. ∵若 x∈A,且 ∈A,则称 A 是“伙伴关系集合, ∴若﹣1∈A,则 若 1∈A,则 ∈A; ∈A;
9

若 2∈A,则 ∈A,2 与 一起成对出现; 若 3∈A,则 ∈A,3 与 一起成对出现; 若 4∈A,则 ∈A,4 与 一起成对出现. ∴集合 M 的所有非空子集中,“伙伴关系集合”可能有:2 ﹣1=31 个. ∴在集合 M={﹣1,0, , , ,1,2,3,4}的所有非空子集中任选一个集合,则该集合 是“伙伴关系集合”的概率为: .
5

故选 C. 点评: 本题考查了集合的子集个数和新定义的概念,本题难度不大,属于基础题. 二、填空题(共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,请将答案写在答题纸上) 5 4 3 2 13.用秦九韶算法计算 f(x)=3x +5x +6x ﹣8x +35x+12,当 x=﹣2 时,v4=83. 考点: 中国古代数学瑰宝. 专题: 算法和程序框图. 分析: 用秦九韶算法计算 f(x)=( ( ( (3x+5)x+6)x﹣8)x+35)x+12,进而得出答案. 5 4 3 2 解答: 解:用秦九韶算法计算 f(x)=3x +5x +6x ﹣8x +35x+12=( ( ( (3x+5)x+6)x﹣8) x+35)x+12, 当 x=﹣2 时,v0=3,v1=3×(﹣2)+5=﹣1,v2=(﹣1)×(﹣2)+6=8,v3=8×(﹣2)﹣8= ﹣24, v4=(﹣24)×(﹣2)+35=83. 故答案为:83. 点评: 本题考查了秦九韶算法,属于基础题.

14.已知

<θ<π,cos θ=﹣ ,则 tan(π﹣θ)的值为 .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值.

分析: 利用同角三角函数间的关系与诱导公式可求得答案 解答: 解:∵cos θ=﹣ , ∴sinθ= = , = , <θ<π,

∴tan(π﹣θ)=﹣tanθ=﹣ 故答案为: .

点评: 本题考查同角三角函数间的关系与诱导公式的应用,属于基本知识的考查. 15.为了测算如图阴影部分的面积,作一个边为 6 的正方形将其包含在内,并向正方形内随 即投掷 800 个点,已知恰有 200 个点落在阴影部分内,据此,可估计阴影部分的面积是 9.

考点: 模拟方法估计概率;几何概型. 专题: 计算题. 分析: 根据几何概率的计算公式可求, 向正方形内随机投掷点, 落在阴影部分的概率 P (A) = ,根据公式 = 可求.

解答: 解:本题中向正方形内随机投掷 800 个点,相当于 800 个点均匀分布在正方形内, 而有 200 个点落在阴影部分,可知阴影部分的面= .

故答案为:9. 点评: 本题考查的是一个关于几何概型的创新题, 属于基础题. 解决此类问题的关键是读 懂题目意思,然后与学过的知识相联系转化为熟悉的问题. 16.如图,△ ABC 的 3 个顶点都在 5×5 的网格(每个小正方形的边长均为 1 个单位长度) 的格点上,将△ ABC 绕点 B 顺时针旋转到△ A′BC′的位置,且点 A′、C′仍落在格点上,则线 段 AB 扫过的图形面积是 平方单位.

考点: 弧度制的应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 在直角△ ABC 中,利用勾股定理求出线段 AB 的长度,代入扇形面积公式,可得 线段 AB 扫过的图形面积. 解答: 解:直角△ ABC 中,AC=3,BC=2, 故 AB= = , 的扇形,

线段 AB 扫过的图形是一个以 AB 为半径 r,圆心角为:α= 故面积 S= 故答案为: = . ,

点评: 本题考查的知识点是勾股定理和扇形面积公式,难度不大,属于基础题. 三、解答题(17,18,19 题 8 分,20,21 题 10 分,22 题 12 分.请写出必要的解答过程) 17.已知 sin(3π+θ)= , (1)求 cos θ 的值 (2)求 值. 考点: 三角函数的化简求值;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由已知求出 isnθ,然后了基本关系式以及诱导公式求值. 解答: 解:由已知 sin(3π+θ)= ,所以 sinθ=﹣ , (1)cos θ=﹣1sin θ=1﹣ (2) =
2 2 2

+



=

; +

= = = =32.

点评: 本题考查了三角函数的诱导公式以及基本关系式的混合运用; 注意三角函数的名称 以及符号.

18.已知函数 y=a﹣bcos(2x+ (1)求 a,b 的值; (2)当求 x∈[

) (b>0)的最大值为 3,最小值为﹣1.

, π]时,函数 g(x)=4asin(bx﹣

)的值域.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;余弦函数的定义域和值域. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由题意可得 ,由此求得 a、b 的值. ) ,根据 x∈[ , π],利用正弦函数的定义

(2)由(1)可得函数 g(x)=4cos(2x﹣ 域和值域求得函数 g(x)的值域. 解答: 解: (1)∵函数 y=a﹣bcos(2x+ ∴ ,解得 .

) (b>0)的最大值为 3,最小值为﹣1,

(2)由(1)可得函数 g(x)=4cos(2x﹣ ∵x∈[ , π],∴2x﹣ )∈[﹣ ∈[ ,1], , ],

) ,

∴sin(2x﹣

故函数 g(x)的值域为: . 点评: 本题主要考查正弦函数、余弦函数定义域和值域,属于中档题. 19.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生 产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据 x 3 4 5 6 t 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y= x+ ; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 92 吨标准煤.试根据(2)求出的回归方 程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数据: 3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (1)建立坐标系,由表中数据画出散点图; (2)利用线性回归方程公式,分别求出 , ,即得方程; (3)由(2)的结论代入,即可得出结论. 解答: 解(1)散点图如下:

(2) =
2 2 2

=4.5, =
2

=3.5

=3 +4 +5 +6 =86

=

=

=0.7

= ﹣

=3.5﹣0.7×4.5=0.35

故线性回归方程为 y=0.7x+0.35 (3) 根据回归方程的预测, 现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7×100+0.35=70.35 故耗能减少了 90﹣70.35=19.65(吨) 点评: 中档题,近几年 2015 届高考题目中, 出现此类题目较多, 多为选择题、填空题.解 的思路比较明确,公式不要求记忆,计算要细心.回归系数越大表示 x 对 y 影响越大,正 回归系数表示 y 随 x 增大而增大,负回归系数表示 y 随 x 增大而减小. 20.某校 100 名学生期 2015 届中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间 如下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] (Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生期 2015 届中考试数学成绩的平均分; (Ⅲ)现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生,将该样本看成一个总体, 从中随机抽取 2 名,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率?

考点: 分层抽样方法;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据所以概率的和为 1,即所求矩形的面积和为 1,建立等式关系,可求出所 求; (2)均值为各组组中值与该组频率之积的和; (3)先分别求出 3,4,5 组的人数,再利用古典概型知识求解. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得 10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1,所以 a=0.005.… (Ⅱ)由直方图分数在[50,60]的频率为 0.05,[60,70]的频率为 0.35,[70,80]的频率为 0.30, [80,90]的频率为 0.20,[90,100]的频率为 0.10,所以这 100 名学生期 2015 届中考试数学 成绩的平均分的估计值为:55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5 … (Ⅲ)由直方图,得: 第 3 组人数为 0.3×100=30, 第 4 组人数为 0.2×100=20 人, 第 5 组人数为 0.1×100=10 人. 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生, 每组分别为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组: 人, 人, =1 人.

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人.… 设第 3 组的 3 位同学为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 位同学为 B1,B2,第 5 组的 1 位同学为 C1,则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,A3) , (A2,A3) , (A1,B1) , ( (A1,B2) , (A2,B1) , (A2, B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A1,C1) , (A2,C1) , (A3,C1) , (B1,C1) , (B2,C1) , 其中恰有 1 人的分数不低于 9(0 分)的情形有: (A1,C1) , (A2,C1) , (A3,C1) , (B1, C1) , (B2,C1) ,共 5 种.… 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 …

点评: 本题主要考查频率分布直方图,平均数的求法和古典概率. 21.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三各代表队人数分别为 120 人、120 人、n 人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程 中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 20 人在前排就坐,其中 2014-2015 学年高二代表队有 6 人. (1)求 n 的值; (2)把在前排就坐的 2014-2015 学年高二代表队 6 人分别记为 a,b,c,d,e,f,现随机 从中抽取 2 人上台抽奖.求 a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率. (3) 抽奖活动的规则是: 代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0, 1]之间的均匀随机数 x, y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”, 则不中奖,求该代表中奖的概率.

考点: 程序框图;古典概型及其概率计算公式;几何概型. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: (1)根据分层抽样可得 ,故可求 n 的值;

(2)求出 2014-2015 学年高二代表队 6 人,从中抽取 2 人上台抽奖的基本事件,确定 a 和 b 至少有一人上台抽奖的基本事件, 根据古典概型的概率公式,可得 a 和 b 至少有一人上台抽 奖的概率;

(3)确定满足 0≤x≤1,0≤y≤1 点的区域,由条件

得到的区域为图中的阴影

部分,计算面积,可求该代表中奖的概率. 解答: 解: (1)由题意可得 ,∴n=160;

(2) 2014-2015 学年高二代表队 6 人, 从中抽取 2 人上台抽奖的基本事件有 (a, b) , (a, c) , (a,d) , (a,e) , (a,f) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (b.f) , (c,d) , (c,e) , (c,f) , (d,e) , (d,f) , (e,f)共 15 种,其中 a 和 b 至少有一人上台抽奖的基本事件有 9 种, ∴a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率为 = ;

(3)由已知 0≤x≤1,0≤y≤1,点(x,y)在如图所示的正方形 OABC 内,

由条件

得到的区域为图中的阴影部分

由 2x﹣y﹣1=0,令 y=0 可得 x= ,令 y=1 可得 x=1 ∴在 x,y∈[0,1]时满足 2x﹣y﹣1≤0 的区域的面积为 =

∴该代表中奖的概率为 = . 点评: 本题考查概率与统计知识,考查分层抽样,考查概率的计算,确定概率的类型是关 键.

22.已知函数 f(x)=sin(2ωx+ 对称轴,且|x1﹣x2|的最小值为

) (ω>0) ,直线 x=x1,x=x2 是 y=f(x)图象的任意两条 .

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若关于 x 的方程 的取值. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. +mcosx+2=0 在 x∈(0, )有实数解,求实数 m

分析: (1)根据是三角函数的性质求出 ω 的值,即可求函数 f(x)的单调递增区间; (2)利用参数分离法转化为求三角函数的取值范围即可. 解答: 解: (1)由题意得 T=π,则 ∴ 由 解得 故 f(x)的单调增区间是 (2)原方程可化为 2cos x+mcosx+2=0,在 参变分离可得 令 cosx=t,t∈(0,1) ,可得 显然当 t∈(0,1)时, ∴ , , , ,
2

,解得 ω=1,

. , . ; 有解,

即 m<﹣4. 点评: 本题主要考查三角函数解析式以及三角函数性质的考查, 利用三角函数的图象和性 质是解决本题的关键. 四、附加题(共 20 分) 23.设角 α 的终边在第一象限,函数 f(x)的定义域为[0,1],且 f(0)=0,f(1)=1,当 x≥y 时,有 f( 为 )=f(x)sinα+(1﹣sinα)f(y) ,则使等式 f( )= 成立的 α 的集合 .

考点: 基本不等式. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值. 分析: 令 x= ,y=0,可得 y=0,则 ,即可得出. 解答: 解:令 x= ,y=0,则 = , = ;再令 x=1, ,利用 f(0)=0,f(1)=1,

再令 x=1,y=0,则 ∵f(0)=0,f(1)=1, ∴ =sin α, ∵角 α 的终边在第一象限, ∴ ,∴ .
2

, ,

∴使等式 f( )= 成立的 α 的集合为 故答案为: ;



点评: 本题考查了函数的性质、三角函数的求值,属于中档题.
2

24.已知函数 f(x)=2x ﹣3x+1,g(x)=ksin(x﹣

) , (k≠0) .

(1)问 α 取何值时,方程 f(sinx)=α﹣sinx 在[0,2π]上有两解; (2)若对任意的 x1∈[0,3],总存在 x2∈[0,3],使 f(x1)=g(x2)成立,求实数 k 的取值 范围? 考点: 复合三角函数的单调性;函数最值的应用. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: (1)2sin x﹣3sinx+1=a﹣sinx 化为 2sin x﹣2sinx+1=a 在[0,2π]上有两解令 t=sinx 2 则 2t ﹣2t+1=a 在[﹣1,1]上解的情况可结合两函数图象的交点情况讨论; (2)据题意有 f(x1)的值域是 g(x2)值域的子集,先求 f(x1)值域,然后分类讨论, 求出 g(x2)值域,建立关于 k 的不等式,可求 k 的范围. 2 2 解答: 解: (1)2sin x﹣3sinx+1=a﹣sinx 化为 2sin x﹣2sinx+1﹣a=0 在[0,2π]上有两解, 2 令 sinx=t,h(t)=2t ﹣2t+1﹣a, 则方程 f(sinx)=α﹣sinx 在[0,2π]上有两解相当于: h(t)=2t ﹣2t+1﹣α 在[﹣1,1]上有两解或一解, 两解的情况是:h(﹣1)=h(1)=0;当 t∈(﹣1,1)时,h(t)=0 有一个解; 则有:
2

,解得: <α≤1,

故 α 的取值范围为( ,1]. (2)当 x1∈[0,3]时,f(x1)值域为[ 当 x2∈[0,3]时,x2﹣ ∈[﹣ ,3﹣ ], ],有 sin(x2﹣ )∈[﹣ ,1]

①当 k>0 时,g(x2)值域为[﹣

,k] ]

②当 k<0 时,g(x2)值域为[k,﹣

而依据题意有 f(x1)的值域是 g(x2)值域的子集





∴k≥10 或 k≤﹣20. 点评: 本题考查复合函数的单调性, 考查学生分析解决问题的能力, 体现了化归与转化思 想的应用,方程与函数的思想的应用.


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