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2014高考数学“拿分题”训练(知识整合+方法技巧+例题分析):函数与方程


2014 高考数学“拿分题”训练:函数与方程的思想方法 一、知识整合 函数与方 程是两个不同的 概念,但它们之间有着密切的联系,方程 f(x)=0 的解就是函数 y=f(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标,函数 y=f(x)也可以看作二 元方程 f(x)-y=0 通过方程进行研究。 就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助 有关初等函数的性质,解有关求值

、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值 范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所 研究的 问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有 关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用 方程的方法 来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。 1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建 立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使 问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解 题就是善于利用 函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。 2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组, 或者构造方 程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题, 使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于 利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等 量关系. 3.(1) 函数和方程是密切相关的,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为 方程 f(x)=0,也可以把函数式 y=f(x)看做二元方程 y-f(x)=0。函数问题(例 如求反函数,求函数的值域等)可以转化 为方程问题来求解,方程问题也可以转 化为函数问题来求解,如解方程 f(x)=0,就是求函数 y=f(x)的零点。 (2) 函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为 不等式 f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离 不开解不等式。 (3) 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数 列问题十分重要。 [来源:学+科+网] (4) 函数 f(x)= (ax ? b) n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函 数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。 (5) 解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程 组才能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论。 [来源:学科网] (6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表 达式的方法加以解决。 二、例题解析 Ⅰ.运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。 例 1 已知 5b ? c (a、b、c∈R) ,则有( ? 1, 5a b 2 ? 4ac (B) ) (A) b 2 ? 4ac (C) b 2 ? 4ac (D) b 2 ? 4ac 解析 法一:依题设有 a·5-b· 5 +c=0 ∴ 5 是实系数一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的一个实根; ∴△= b 2 ? 4ac ≥0 ∴ b 2 ? 4ac 法二:去分母,移项,两边平方得: 故选(B) 5b 2 ? 25a 2 ? 10ac ? c 2 ≥10ac+2·5a·c=20ac ∴ b 2 ? 4ac 故选(B) [来源:Z.xx.k.Com][

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