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2014~2015学年度 最新 2015年全国高中数学联合竞赛湖北省高二预赛试卷及答案


2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 (高二年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题(本

大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1 . 3 2.将 5 名大学生村官分配到某乡镇的 3 个村就职,若每个村至少 1 名,则不同的分 配方案种数为 150 . 2 3 3.若 ( x ? x ? 2) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ? a5 x5 ? a6 x 6 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? -4 . 1.若对于任意实数 x , | x ? a | ? | x ? 1 |? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值为 4. 已知顶角为 20 ? 的等腰三角形的底边长为 a , 腰长为 b , 则 的值为 3 . ab2 5.设 an ? 2n , bn ? 5n ? 1(n ? N*, S ? {a1 , a2 ,?, a2015 } ? {b1 , b2 ,?, ba2015 } ,则集合 S 中的 元素的个数为 504 . 6 .已知点 P 在 Rt △ ABC 所在平面内, ?BAC ? 90? , ?CAP 为锐角, | AP |? 2 , 7 . AP ? AC ? 2 , AP ? AB ? 1 .当 | AB ? AC ? AP | 取得最小值时, tan ?CAP ? 2 7.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面的边长为 6,侧棱长为 21 ,则该三棱锥的内切球的 半径为 1 . 8.函数 f ( x) ? ( 1 ? x ? 1 ? x ? 2)( 1 ? x 2 ? 1) 的值域为 [2 ? 2 ,8] . x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点, A, B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点, 4 11 点 P 在线段 AB 上,则 PF . 1 ? PF2 的最小值为 ? 5 a3 ? b3 9.已知 F1 , F2 是椭圆 p ?1 p2 ?1 10.使得 和 都是完全平方数的最大质数 p 为 2 2 7 . 二、解答题(本大题共3小题,每小题20分,共60分.) 11 . 设 平 面 点 集 A ? {( x, y ) | ( y ? x) ? ( y ? 18 ) ? 0} 25 x , B ? {( x, y) | ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1} .若 ( x, y) ? A ? B ,求 2 x ? y 的最小值. 解 作出平面点集 A 、B 所表示的平面区域,A B 表 y P 示如图阴影部分 D . 令 z ? 2x ? y , 则 y ? 2x ? z , ?z 表示直线 y ? 2 x ? z 的 纵截距. 易 知 : 直 线 y ? 2x ? z 经 过 区 域 D 中 的 点 P 时 , O z ? 2x ? y 取 得 最 小 值. ……………(5 分) x 因为点 P 在圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1上,设它的坐标为 (1 ? cos ? ,1 ? sin ? ) ,结合图形可 ? 知? ? ( ,? ) . 2 18 18 又点 P 在曲线 y ? 上,所以有 (1 ? cos ? )(1 ? s

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