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2006年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学试题及答案(WORD版)


2006 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 150 分, 共 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 10 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘 贴考试用条形码. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

如果事件 A 、 B 相互独立,那么
P ( A B ) ? P ( A· P ( B ) 。 · )

一、选择题:在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ? x | ? 3 ≤ x ≤ 1? , B ? ? x x ≤ 2 ? ,则 A ? B ? ( A. ? x | ? 2 ≤ x ≤ 1? C. ? x | ? 3 ≤ x ≤ 2 ? B. ? x | 0 ≤ x ≤ 1? D. ? x | 1 ≤ x ≤ 2 ? ) )

2.设 ? a n ? 是等差数列, a1 ? a 3 ? a 5 ? 9 , a 6 ? 9 ,则这个数列的前 6 项和等于( A.12 B.24 C.36 D.48

?y≤ x ? 3.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 2 ,则目标函数 Z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ≥ 3x ? 6 ?



A.2

B.3

C.4

D.9 ) D. R ? P ? Q

4.设 P ? log 2 3 , Q ? lo g 3 2 , R ? log 2 (log 3 2) ,则( A. R ? Q ? P B. P ? R ? Q C. Q ? R ? P

5.设 ? 、 ? ? ? ?
?

?

π π? , ? ,那么“ ? ? ? ”是“ tan ? ? tan ? ”的( 2 2?



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6.函数 y ? A. y ? C. y ?
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
2

x ? 1 ? 1( x ? 0 ) 的反函数是(
2

x ? 2x x ? 2x
2

( x ? 0) ( x ? 2)

B. y ? ? x ? 2 x D. y ? ? x ? 2 x
2

( x ? 0) (x ? 2 )

7.若 l 为一条直线, ? , ? , ? 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ① ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ;② ? ? ? , ? ∥ ? ? ? ? ? ;③ l ∥ ? , l ? ? ? ? ? ? . 其中正确的命题有( ) A.0 个 B.1 个

C.2 个

D.3 个

, 0 8.椭圆的中心为点 E ( ? 1 0 ) ,它的一个焦点为 F ( ? 3, ) ,相应于焦点 F 的准线方程为

x ? ?

7 2

,则这个椭圆的方程是(
2


2 ( x ? 1) 21 ( x ? 1) 5
2 2

A.

2 ( x ? 1) 21 ( x ? 1) 5
2

?

2y 3

2

?1

B.

?

2y 3

2

?1

C.

? y ?1
2

D.

? y ?1
2

9. 已知函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x ( a, b 为常数,a ? 0, x ? R ) 的图象关于直线 x ? 对称,则函数 y ? f (
3π 4
0 A.偶函数且它的图象关于点 ( π , ) 对称

π 4

? x ) 是(



B.偶函数且它的图象关于点 ?

? 3π

? , ? 对称 0 ? 2 ? ? 3π ? , ? 对称 0 ? 2 ?

C.奇函数且它的图象关于点 ?

0 D.奇函数且它的图象关于点 ( π , ) 对称

? 10.如果函数 f ( x ) ? a ( a ? 3 a ? 1) ( a ? 0 且 a ? 1) 在区间 ? 0, ∞ ? 上是增函数,那么实
x x 2

数 a 的取值范围是(



A. ? 0, ? 3
? ?

?

2?

B. ?

?

? ,? 1 ? ? 3 ? 3

C. 1, 3 ?
?

?

? D. ? , ∞ ? ?2 ?

?3

?

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(文史类)
第Ⅱ卷

注意事项: 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上. 3.本卷共 12 小题,共 100 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 11. ? x ?
? ? 1 ? ? 的二项展开式中 x 的系数是 x ?
7

(用数字作答) .
? ?

3) 1) 12.设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (3, , 2 b ? a ? ( ? 1, ,则 co s ? ?

?

?

?


?

13.如图,在正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A B ? 1 .若二面角 C ? A B ? C 1 的大小为 6 0 , 则点 C 1 到直线 A B 的距离为 .
A1 C1

B1

A

C

B

14.若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 y ?

3 3

x ( x ≥ 0 ) 相切,则这个圆的方程

为 . 15.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储 费用为 4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? 吨. 16.用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数,则其中数字 1,2 相邻的偶数有 个(用数字作答) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 tan ? ? co t ? ?
5 2

,? ? ?

?π π , ?4 2

π ? ? .求 cos 2? 和 sin ( 2 ? ? ) 的值. 4 ?

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲机床产品的正品率是 0.9,乙机床产品的 正品率是 0.95. (Ⅰ)从甲机床生产的产品中任取 3 件,求其中恰有 2 件正品的概率(用数字作答) ; (Ⅱ)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件,求其中至少有 1 件正品的概率(用数字 作答) .

19. (本小题满分 12 分) 如图,在五面体 A B C D E F 中,点 O 是矩形 A B C D 的对角线的交点,面 C D E 是等边三角 形,棱 E F


1 2

BC .
F E

(Ⅰ)证明 F O ∥ 平面 C D E ; (Ⅱ)设 B C ?
3 C D ,证明 E O ? 平面 C D F .
A D

O
B

C

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 4 x ? 3 x co s ? ?
3 2

1 32

,其中 x ? R , ? 为参数,且 0 ≤ ? ≤

π 2



(Ⅰ)当 cos ? ? 0 时,判断函数 f ( x ) 是否有极值; (Ⅱ)要使函数 f ( x ) 的极小值大于零,求参数 ? 的取值范围; (Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数 ? ,函数 f ( x ) 在区间 (2 a ? 1, a ) 内都是 增函数,求实数 a 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分)

已知数列 ? x n ? 满足 x1 ? x 2 ? 1 ,并且

x n ?1 xn

??

xn x n ?1

34 … . ( ? 为非零参数, n ? 2,,, )

(Ⅰ)若 x1, x 3, x 5 成等比数列,求参数 ? 的值; (Ⅱ)设 0 ? ? ? 1 ,常数 k ? N 且 k ≥ 3 .证明
?

x1 ? k x1

?

x2? k x2

?… ?

xn? k xn

?

?

k k

1? ?

(n ? N ) .

?

22. (本小题满分 14 分) 如图,双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的离心率为

5 2

. F1, F 2 分别为左、右焦点, M
1 4

为左准线与渐近线在第二象限内的交点,且 F1 M· F 2 M ? ? y

????? ?????




C M
F1

l B O A
F2

x

D

(Ⅰ)求双曲线的方程;
, 0 )(0 ? m ? 1) 是 x 轴上的两点,过点 A 作斜率不为 0 的直线 l , m 使得 l 交双曲线于 C, D 两点, 作直线 B C 交双曲线于另一点 E . 证明直线 D E 垂直于 x 轴.
0 (Ⅱ)设 A ( m, ) 和 B (

1

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(文史类)参考解答
一. 选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 (1)A (2)B (3)B (4)A (5)C (6)D (7)C (8)D (9)D (10)B 二. 填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 24 分。 (11)35 (12)
3 10 10

(13) 3

(14) ( x ? 1) ? ( y ?
2

3) ? 1
2

(15)20

(16)24

三. 解答题 (17)本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识,考查基本运算能 力. 满分 12 分。 解法一:由 tan a ? co t a ?
2 sin 2 a ? 5 2 5 2

,得

sin a co s a

?

co s a sin a

?

5 2

,则

, sin 2 a ?
,

4 5


?
2 ,? ) ,

因为 a ? (

? ?
4 2

) ,所以 2 a ? (
2

co s 2 a ? ? 1 ? sin 2 a ? ? sin ( 2 a ?

3 5


?
4

?
4

) ? sin 2 a ? co s

?
4

? co s 2 a ? sin

?

4 5

?

2 2

?

3 5

?

2 2

?

2 10


5 2

解法二:由 tan ? ? co t ? ?
tan ? ? 1 tan ? ? 5 2 1 2
tan ? ? 2 .

,得

,

解得 tan ? ? 2 或 tan ? ?

.由已知 ? ? (

? ?
, 4 2

), 故舍去 tan ? ?

1 2

,得

因此, sin ? ?
2

2 5 5

, co s ? ?

5 5.

那么

co s 2 ? ? co s ? ? sin ? ? ?
2

3 5

,

且 co s 2 ? ? 2 sin ? co s ? ?
sin ( 2 ? ?

4 5


? co s 2 ? . sin

?
4

) ? sin 2 ? . co s

?
4

?
4

?

4 5

?

2 2

?

3 5

?

2 2

?

2 10

.

(18)本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识,及分析和解决实际问题的能 力。满分 12 分。 (Ⅰ) 解:任取甲机床的 3 件产品中恰有的 2 件正品的概率为
P3 (2) ? C 3 ? 0.9 ? 0.1 ? 0.243.
2 2

(Ⅱ)解法一: 记“任何甲机床的 1 件产品是正品”为事件 A , “任取乙机床的 1 件产品 是正品”为事件 B .则任取甲、乙两台机床的产品各 1 件,其中至少 1 件正品的概率为
P ( A ?B ) ? P ( A ?B ) ? P ( A ?B ) ? 0 .9 ? 0 .9 5 ? 0 .9 ? 0 .0 5 ? 0 .1 ? 0 .9 5
? 0 .9 9 5 。
? ?

(19)本小题考查直线与平面平行、直线与平民垂直等基础知识,考察空间想象能力和推理 论证能力。满分 12 分。 (Ⅰ)证明: 取 C D 中点 M ,连接 O M 。 在矩形 A B C D 中,
O M // B C ,又 E F //

1 2

BC ,

则 E F //O M 。连接 E M ,于是四边形 E F O M 为平行 四边形。
? F O // E M 。

又? F O ? 平面 C D E ,且 E M ? 平面 C D E ,? F O // 平面 C D E 。 (Ⅱ)证明:连结 F M 。由(Ⅰ)和已知条件,在等边 ? C D E 中,C M ? D M , E M ? C D 且 EM ?
3 2 CD ? 1 2 BC ? EF 。

因此平行四边形 E F O M 为菱形,从而 E O ? F M 。 ? C D ? O M , C D ? E M ,? C D ? 平面 E O M 。从而 C D ? E O 。 而 F M ? C D ? M ,所以 E O ? 平面 C D F 。 (20)本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基本知识,考查综合 分析和解决问题的能力。满分 12 分。 (Ⅰ)解:当 cos ? ? 0 时, f ? x ? ? 4 x ?
3

1 32

,则函数 f ? x ? 在 ? ? ? , ? ? ? 上是增函数,故

无极值。 (Ⅱ)解: f
x1 ? 0, x 2 ?
'

? x ? ? 12 x 2

2

? 6 x co s ? ,令 f

'

? x ? ? 0 ,得

co s ?

由0 ? ? ?

?
2

及(Ⅰ) ,只考虑 cos ? ? 0 的情况。
'

当 x 变化时, f

? x ? 的符号及 f ? x ? 的变化情况如下表:

x

? ?? , 0 ?
+

0

? cos ? ? ? 0, ? 2 ? ?

co s ? 2

? co s ? ? , ?? ? ? ? 2 ?

f

'

?x?

0 极大值
co s ? 2 1 32

-

0 极小值

+

f

?x?

因此,函数 f ? x ? 在 x ?
f( co s ? 2 )? ? 1 4 co s ? ?
3

处取得极小值 f (

co s ? 2

) ,且



要使 f ?
?
3

1 1 1 ? co s ? ? 3 ? 0 ,可得 0 ? co s ? ? ,所以 ? ? 0 ,必有 ? co s ? ? 4 32 2 ? 2 ?

?? ?

?
2


co s ? 2 , ? ? ) 内都是增函数。

(Ⅲ)解:由 (Ⅱ)知,函数 f ? x ? 在区间 ? ? ? , 0 ? 与 (

f 由题设,函数 ( x)在 ( 2 a ? 1, a ) 内是增函数,则 a 须满足不等式组

?2a ? 1 ? a ? ?a ? 0

?2a ? 1 ? a ? 或? 1 ? 2 a ? 1 ? co s ? ? 2

由 (Ⅱ) 参数 ? ? ( 必有 2 a ? 1 ?
1 4

? ?
, 3 2

)时 , 0 < co s ? <

1 2

. 要 使 不 等 式 2a ? 1 ?

1 2

co s ? 关于参数 ? 恒成立,

综上,解得 a ? 0 或

5 8

? a ? 1 . 所以 a 的取值范围 ( ? ? , 0 ? ? ?

5 8

,1) 。

(21)本小题以数列的递推关系为载体,主要考查等比数列的等比中项及前 n 项和公式、等差 列前 n 项和公式、不等式的性质及证明等基础知识,考查运算能力和推理论证能力.满分 14 分. (Ⅰ)解:由已知 x1 ? x 2 ? 1 ,且
x3 x2 ?? x2 x3 ? x 3 ? ? ?,? x4 x3 ?? x3 x2 ? x 4 ? ? ,?
3

x5 x4

??

x4 x3

? x5 ? ? .
6

若 x1 、 x 3 、 x 5 、成等比数列,则 x 3 ? x1 x 5 ,即 ? ? ? 。而 ? ? 0 ,解得 ? ? ? 1 。
2

2

6

(Ⅱ)证明:设 a n ?

x n ?1 xn

,由已知,数列 ? a n ? 是 以

x2 x1

? 1 为首项、 ? 为公比的等比

数列,故

x n ?1 xn

? ?

n ?1

,则

xn? k xn

?

xn? k

?

x n ? k ?1

???

x n ?1 xn

??

n????

??

n????

????

n ?1

??

?n ?

k (k ?3) 2

x n ? k ?1 x n ? k ? 2

因此,对任意 n ? N ,

*

x1? k x1
??
k? 2

?

x2? k x2
??
k
2k?

? ??? ?
k (k ?3) 2 kn ?

xn ? k xn
k (k ?3) 2

k (k ?3)

?…?

k (k ?3)

??
??

2

(? ? ?
k

2k

?……?
)

nk

)

k (k ?3) 2

? (1 ? ?
1? ?
k

nk

k (k ?3)

当 k ? 3 且 0 ? ? ? 1 时, 0 ? ?
x1 ? k x1 ? x2? k x2 ?… ? xn? k xn ?

2

? 1, 0 ? 1 ? ?
*

nk

? 1 ,所以

?

k k

1? ?

(n ? N )

(22)本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的 关系等解析集合的基础知识和基本思想方法,考查推理和运算能力。满分 14 分。 (Ⅰ)解:根据题设条件, F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) ,设点 M ( x , y ) ,则 x , y 满足
2 ? a x? ? ? ? c ? ?y ? ? b x ? a ?

因e ?

c a

?

5 2

,解得 M ( ?

2a 5

,

2b 5

) ,故

????? ????? 2a 2b 2a 2b F1 M ? F 2 M ? ( ? ? c, ) ?( ? ? c, ) 5 5 5 5

?

4 5

a ?c ?
2 2

4 5

b ?
2

1 4


2

利用 a ? b ? c ,得 c ?
2 2 2

5 4

,于是 a ? 1, b ?
2 2

1 4

,因此,所求双曲线方程为

x ? 4y ?1
2 2

(Ⅱ)解:设点 C ( x1 , y1 ) , D ( x 2 , y 2 ) , E ( x 3 , y 3 ) ,则直线 l 的方程为

y ?

y1 x1 ? m

(x ? m) 。

于是 C ( x1 , y1 ) 、 D ( x 2 , y 2 ) 两点坐标满足
y1 ? (x ? m) ?y ? x1 ? m ? 2 ? 2 ?x ? 4y ? 1
2 2

(1 ) (2)
2 2 2 2 2 2 2 2

将①代入②得 ( x1 ? 2 x1 m ? m ? 4 y1 ) x ? 8 m y1 m ? 4 y1 m ? x1 ? 2 m x1 ? m ? 0 由 x1 ? 4 y1 ? 1 (点 C 在双曲线上) ,上面方程可化简为
2 2

( m ? 2 x1 m ? 1) x ? 8 m y1 x ? ( x1 ? 2 m x1 ? m x1 ) ? 0
2 2 2 2 2 2

由 已 知 , 显 然 m ? 2 x1 m ? 1 ? 0 . 于 是 x 1 x 2 ? ?
2

x1 ? 2 m x 1 ? m x
2 2

2 1

m ? 2 x1 m ? 1
2

. 因 为 x1 ? 0 , 得

x2 ? ?

x1 ? 2 m ? m x1
2

m ? 2 x1 m ? 1
2

同理, C ( x1 , y1 ) 、 E ( x 3 , y 3 ) 两点坐标满足
y1 1 ? (x ? ) ?y ? 1 m ? x1 ? ? m ? 2 2 ?x ? 4y ? 1 ?
x1 ? 2 ( 1 m
2

1 m

?(

1 m 1 m

可解得 x 3 ? ?

) x1 ?1

2

? ?

m x1 ? 2 m ? x1
2

) ? 2 x1

1 ? 2 x1 m ? m

2



所以 x 2 ? x 3 ,故直线 D E 垂直于 x 轴。


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