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导数练习 Microsoft Word 文档


基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答案 选修2-2 1.2.2 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 1.函数 y=(x+1)2(x-1)在 x=1处的导数等于( A.1 [答案] D [解析] y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′ =2(x+1)?(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1, ∴y′|x=1=4. 2.若对任意 x∈R,f′(x)=4x3,f(1)=-1,则 f(x)=( A.x4 [答案] B [解析] ∵f′(x)=4x3.∴f(x)=x4+c,又 f(1)=-1 ∴1+c=-1,∴c=-2,∴f(x)=x4-2. 3. 设函数 f(x)=xm+ax 的导数为 f′(x)=2x+1, 则数列{1f(n)}(n∈N*)的前 n 项和是( A.nn+1 [答案] A [解析] ∵f(x)=xm+ax 的导数为 f′(x)=2x+1, ∴m=2,a=1,∴f(x)=x2+x, 即 f(n)=n2+n=n(n+1), ∴数列{1f(n)}(n∈N*)的前 n 项和为: Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1) =1-12+12-13+…+1n-1n+1 B.n+2n+1 C.nn-1 D.n+1n ) B.x4-2 C.4x3-5 ) B.2 C.3 ) D.4

D.x4+2

=1-1n+1=nn+1, 故选 A. 4.二次函数 y=f(x)的图象过原点,且它的导函数 y=f′(x)的图象是过第一、二、三象限 的一条直线,则函数 y=f(x)的图象的顶点在( A.第一象限 [答案] C [解析] 由题意可设 f(x)=ax2+bx,f′(x)=2ax+b,由于 f′(x)的图象是过第一、二、 三象限的一条直线,故2a>0,b>0,则 f(x)=ax+b2a2-b24a, 顶点-b2a,-b24a 在第三象限,故选 C. 5.函数 y=(2+x3)2的导数为( A.6x5+12x2 [答案] A [解析] ∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6, ∴y′=6x5+12x2. 6.(2010?江西文,4)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=( A.-1 [答案] B [解析] 本题考查函数知识,求导运算及整体代换的思想,f′(x)=4ax3+2bx,f′(-1) =-4a-2b=-(4a+2b),f′(1)=4a+2b,∴f′(-1)=-f′(1)=-2 要善于观察,故选 B. 7.设函数 f(x)=(1-2x3)10,则 f′(1)=( A.0 B.-1 C.-60 ) D.60 B.-2 C.2 D.0 ) B.4+2x3 ) C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)?3x B.第二象限 ) D.第四象限

C.第三象限

[答案] D [解析] ∵f′(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)′=10(1-2x3)9?(-6x2)=-60x2(1-2x3)9, ∴f′(1)=60. 8.函数 y=sin2x-cos2x 的导数是( A.22cos2x-π 4 [答案] A [解析] y′=(sin2x-cos2x)′=(sin2x)′-(cos2x)′ =2cos2x+2sin2x=22cos2x-π 4. 9.(2010?高二潍坊检测)已知曲线 y=x24-3lnx 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐 标为( A.3 [答案] A [解析] 由 f′(x)=x2-3x=12得 x=3. 10. 设函数 f(x)是 R 上以5为周期的可导偶函数, 则曲线 y=f(x)在 x=5处的切线的斜率为 ( ) B.0 C.15 D.5 ) B.2 C.1 D.12 ) C.sin2x+cos2x D.22cos2x+π 4

B.cos2x-sin2x

A.-15 [答案] B

[解析] 由题设可知 f(x+5)=f(x) ∴f′(x+5)=f′(x),∴f′(5)=f′(0) 又 f(-x)=f(x),∴f′(-x)(-1)=f′(x) 即 f′(-x)=-f′(x),∴f′(0)=0 故 f′(5)=f′(0)=0.故应选 B.

二、填空题 11.若 f(x)=x,φ (x)=1+sin2x,则 f[φ (x)]=_______,φ [f(x)]=________. [答案] 2sinx+π 4,1+sin2x [解析] f[φ (x)]=1+sin2x=(sinx+cosx)2 =|sinx+cosx|=2sinx+π 4. φ [f(x)]=1+sin2x. 12.设函数 f(x)=cos(3x+φ )(0<φ <π ),若 f(x)+f′(x)是奇函数,则 φ =________. [答案] π 6 [解析] f′(x)=-3sin(3x+φ ), f(x)+f′(x)=cos(3x+φ )-3sin(3x+φ ) =2sin3x+φ +5π 6. 若 f(x)+f′(x)为奇函数,则 f(0)+f′(0)=0, 即0=2sinφ +5π 6,∴φ +5π 6=kπ (k∈Z). 又∵φ ∈(0,π ),∴φ =π 6. 13.函数 y=(1+2x2)8的导数为________. [答案] 32x(1+2x2)7 [解析] 令 u=1+2x2,则 y=u8, ∴y′x=y′u?u′x=8u7?4x=8(1+2x2)7?4x =32x(1+2x2)7. 14.函数 y=x1+x2的导数为________. [答案] (1+2x2)1+x21+x2 [解析] y′=(x1+x2)′=x′1+x2+x(1+x2)′=1+x2+x21+x2=(1+2x2)1+x21 +x2.

三、解答题 15.求下列函数的导数: (1)y=xsin2x; (2)y=ln(x+1+x2); (4)y=x+cosxx+sinx.

(3)y=ex+1ex-1;

[解析] (1)y′=(x)′sin2x+x(sin2x)′ =sin2x+x?2sinx?(sinx)′=sin2x+xsin2x. (2)y′=1x+1+x2?(x+1+x2)′ =1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2 . (3)y′=(ex+1)′(ex-1)-(ex+1)(ex-1)′(ex-1)2=-2ex(ex-1)2 . (4)y′=(x+cosx)′(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)′(x+sinx)2 =(1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx)(x+sinx)2 =-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1(x+sinx)2. 16.求下列函数的导数: (1)y=cos2(x2-x); (2)y=cosx?sin3x;

(3)y=xloga(x2+x-1); (4)y=log2x-1x+1. [解析] (1)y′=[cos2(x2-x)]′ =2cos(x2-x)[cos(x2-x)]′ =2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)′ =2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1) =(1-2x)sin2(x2-x). (2)y′=(cosx?sin3x)′=(cosx)′sin3x+cosx(sin3x)′ =-sinxsin3x+3cosxcos3x=3cosxcos3x-sinxsin3x. (3)y′=loga(x2+x-1)+x?1x2+x-1logae(x2+x-1)′=loga(x2+x-1)+2x2+

xx2+x-1logae. (4)y′=x+1x-1x-1x+1′log2e=x+1x-1log2ex+1-x+1(x+1)2 =2log2ex2-1. 17.设 f(x)=2sinx1+x2,如果 f′(x)=2(1+x2)2?g(x),求 g(x). [解析] ∵f′(x)=2cosx(1+x2)-2sinx?2x(1+x2)2 =2(1+x2)2[(1+x2)cosx-2x?sinx], 又 f′(x)=2(1+x2)2?g(x). ∴g(x)=(1+x2)cosx-2xsinx. 18.求下列函数的导数:(其中 f(x)是可导函数) (1)y=f1x;(2)y=f(x2+1). [解析] (1)解法1: 设 y=f(u), u=1x, 则 y′x=y′u?u′x=f′(u)?-1x2=-1x2f′1x. 解法2:y′=f1x′=f′1x?1x′=-1x2f′1x. (2)解法1:设 y=f(u),u=v,v=x2+1,


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