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专题五:万有引力与航天


专题五:万有引力与航天
一、选择题 1.(2012· 潍坊模考)a 是放置在地球赤道上的物体,b 是近地卫星,c 是地球同步卫星,a、 b、c 在同一平面内绕地心做逆时针方向的圆周运动,某时刻,它们运行到过地心的同一直线 上,如图甲所示。一段时间后,它们的位置可能是图乙中的( )

[答案] AC [解析] 地球同步卫星 c 的周期等于地球自转的周期

,放置在地球赤道上的物体 a 的周 期也等于地球自转的周期,初始时刻 c 在 a 的正上方,则 c 始终在 a 的正上方,即 c、a 与地 心在同一连线上;b 是近地卫星,转动的最快,当 a 转至某一位置时,b 可能在其前方,也可 能转了 n 圈后落在其后方。选项 AC 符合。 2. (2013· 湖北荆州)美国地球物理专家通过计算可知,因为日本的地震导致地球自转快了 1.6μs(1s 的百万分之一),通过理论分析下列说法正确的是( A.地球赤道上物体的重力会略变小 B.地球赤道上物体的重力会略变大 C.地球同步卫星的高度略调小 D.地球同步卫星的高度略调大 [答案] AC 2π GMm [解析] 对地球赤道上的物体,mg+m( )2R= 2 ,周期 T 略变小,g 会略变小,则 A T R 2π GMm 项正确;对地球同步卫星,m( )2(R+h)= ,周期 T 略变小,h 会略变小,则 C 项正 T ?R+h?2 确。 3.(2012· 山西四校联考)不可回收的航天器在使用后,将成为太空垃圾。如图所示是漂浮 在地球附近的太空垃圾示意图,对此有如下说法,正确的是( ) )

1

A.离地越低的太空垃圾运行周期越小 B.离地越高的太空垃圾运行角速度越小 C.由公式 v= gr得,离地越高的太空垃圾运行速率越大 D.太空垃圾一定能跟同一轨道上同向飞行的航天器相撞 [答案] AB GMm mv 4π2R [解析] 由 2 = =mω2R=m 2 =ma 可知,绕地球运行的卫星或者太空垃圾随着 R R T 离地面的高度的增大,它们的线速度、角速度、向心加速度均变小,而周期变大,故 AB 正 确,C 错误;在同一轨道的太空垃圾和航天器运行速度相等,又因为它们同向飞行,故不会 相撞,D 错误。 4. (2013· 江西上饶)宇宙中存在一些离其他星系较远的由三颗星组成的三星系统, 通常可 以忽略其他星系对它的作用,现已观察到的稳定的三星系统存在形式之一是:三颗星在同一 条直线上,两颗环绕星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行,设两颗环绕星的质量均 为 2M,中央星的质量为 M,则下列说法中正确的是( A.环绕星运动的线速度的大小为 v= B.环绕星运动的线速度的大小为 v= C.环绕星运动的周期为 T=2πR D.环绕星运动的周期为 T=4πR [答案] C [解析] 环绕星做匀速圆周运动,对环绕星由牛顿运动定律, G 3GM 和 T=2πR 2R 2R ,则 C 项正确。 3GM v2 2M2 4M2 2 +G 2 = 2M = R R ?2R? 2R 3GM R 2GM 2GM R 3GM R )
2

2π 2M( )2R,解得 v= T

5. (2012· 重庆理综)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统, 质量比约为 7 ∶1,

2

同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动,由此可知,冥王星绕 O 点运动的( 1 A.轨道半径约为卡戎的 7 1 B.角速度大小约为卡戎的 7 C.线速度大小约为卡戎的 7 倍 D.向心力大小约为卡戎的 7 倍 [答案] A [解析] 设两星轨道半径分别为 r1、r2,则 GMm =Mω2r1=mω2r2 L2

)

r1 ∶r2=m ∶M=

2π 1 ∶7,选项 A 正确;由于双星周期相同,由 ω= 知角速度相同,选项 B 错误;线速度 v T =ωr,知 v1 ∶v2=1 ∶7,选项 C 错误;根据 a=ω2r 知 a1 ∶a2=1 ∶7,选项 D 错误。 6.(2012· 浙江理综)如图所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行 星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )

A.太阳对各小行星的引力相同 B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 [答案] C GMm [解析] 各小行星距太阳远近不同,质量各异,太阳对小行星的引力 F 引= 2 ,A 错; r 地球绕日的轨道半径小于小行星绕日的轨道半径,由 GMm 4π2 2 =m 2 r 得 T=2π r T r3 ,显然轨 GM

道半径 r 越大, 绕日周期 T 也越大, 地球绕日周期 T 地=1 年, 所以小行星绕日周期大于 1 年, GMm GM B 错;由 2 =ma, a= 2 ,可见,内侧小行星向心加速度大于外侧小行星向心加速度,选 r r v GMm 项 C 正确;由 2 =m ,v= r r


2

GM ,小行星轨道半径 r 小大于地球绕日轨道半径 r 地,v 地>v r

,选项 D 错。 7.(2012· 广东名校质检)有 a、b、c、d 四颗地球卫星,a 还未发射,在地球赤道上随地

球表面一起转动,b 处于地面附近的近地轨道上正常运动,c 是地球同步卫星,d 是高空探测 3

卫星,各卫星排列位置如图,则有(

)

A.a 的向心加速度等于重力加速度 g B.b 在相同时间内转过的弧长最长 π C.c 在 4h 内转过的圆心角是 3 D.d 的运动周期有可能是 30h [答案] BCD [解析] a 受到万有引力和地面支持力,由于支持力等于重力,与万有引力大小接近,所 以向心加速度远小于重力加速度,选项 A 错误;由 v= GM 知 b 的线速度最大,则在相同 r

时间内 b 转过的弧长最长,选项 B 正确,c 为同步卫星,周期 Tc=24h,在 4h 内转过的圆心 4h π 角 θ= ·2π= ,选项 C 正确;由 T= Tc 3 能是 30h,选项 D 正确。 8.(2012· 新课标全国卷)假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 d。 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比 为( ) d d A.1- B.1+ R R C.? R-d?2 ? R ? R D. ?R-d?2 ? ? 4π2r3 知 d 的周期最大,Td>Tc=24h,则 d 的周期可 GM

[答案] A [解析]

4

如图所示,根据题意“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”,可知:地面处的 球壳对地面与矿井底部之间的环形部分的引力为零,设地面处的重力加速度为 g,地球质量 Mm1 为 M,由地球表面的物体 m1 受到的重力近似等于万有引力知 m1g=G 2 ,再将矿井底部所 R 在的球体抽取出来,设矿井底部处的重力加速度为 g′,该球体质量为 M′,半径 r=R-d, M′m2 4 同理可得矿井底部处的物体 m2 受到的重力 m2g′=G 2 , 且 M=ρV=ρ·πR3, M′=ρV′ r 3 g′ 4 d =ρ·π(R-d)3,联立解得 =1- ,A 对。 3 g R 二、非选择题 9.(2011· 海南)2011 年 4 月 10 日,我国成功发射第 8 颗北斗导航卫星。建成以后北斗导 航系统将包含多颗地球同步卫星, 这有助于减少我国对 GPS 导航系统的依赖。 GPS 由运行周 期为 12 小时的卫星群组成,设北斗导航系统的同步卫星和 GPS 导航卫星的轨道半径分别为 R1 和 R2,向心加速度分别为 a1 和 a2,则 R1 ∶R2=__________,a1 ∶a2=__________。(可 用根式表示) [答案] 3 4 ∶1 3 4 ∶4

3 242 3 4 Mm 2π 2 R3 R3 R 1 3 T2 1 2 1 [解析] ①由 G 2 =mR( ) 得: 2 = 2 ,则 = = = 。②由 a=Rω2= R T T 1 T2 R2 T2 122 1 2 3 2π a1 R1 T2 4 3 12 2 2 R( )2 得: = 2 · = 4· ( )= 。 T a2 T1 R2 24 4 10.(2012· 江西六校联考)我国已成功发射了探月卫星“嫦娥二号”,未来我国航天员可 登月。若航天员在月球表面附近某处以初速度 v0 水平抛出一小物块,测得小物块下落高度为 h 时,水平距离为 s。 (1)求月球表面的重力加速度 g。 (2)设月球半径为 R,求月球的第一宇宙速度 v1。 2hv2 0 [答案] (1) 2 s v0 (2) 2hR s

[解析] (1)设小物块做平抛运动的时间为 t,由运动学公式有 s=v0t 1 h= gt2 2
2 2hv0 解得 g= 2 s

(2)设小物块的质量为 m,根据牛顿第二定律和万有引力定律有 Mm mg=G 2 R 5

v2 Mm 1 G 2 =m R R v0 解得 v1= 2hR。 s 11.(2012· 武汉名校调研)据媒体报道,“神舟九号”飞船于 2012 年 6 月 24 日与“天宫 一号”目标飞行器展开手控交会对接。“天宫一号”目标飞行器,是我国自主研制的全新的 载人飞行器,计划在轨道上的工作运行时间为 2 年,它可以与载人飞船进行多次对接。已知 “天宫一号”飞行器质量为 m,运行高度为 h,地球半径为 R,地球表面的重力加速度为 g。 求: (1)“天宫一号”受到地球的万有引力大小; (2)“天宫一号”的运行周期。 2π?R+h? R 2 [答案] (1)( ) mg (2) R R+h R+h g

[解析] (1)由万有引力定律可知,地球对“天宫一号”的引力为 Mm F 引=G ?R+h?2 又 GMm′ =m′g R2

R 2 联立解得 F 引=( ) mg R+h (2)运行时因向心力由万有引力提供,有 4π2 F 引=m 2 (R+h) T 2π?R+h? 解得周期 T= R R +h 。 g

12.2008 年 9 月 25 日,载人航天宇宙飞船“神舟七号”发射成功,且中国人成功实现 了太空行走,并顺利返回地面。 (1)设飞船在太空环绕时轨道高度为 h,地球半径为 R,地面重力加速度为 g,飞船绕地 球遨游太空的总时间为 t,则“神舟七号”飞船绕地球运转多少圈?(用给定字母表示) (2)若 t=3 天,h=343km,R=6400km,g=10m/s2,则飞船绕地球运转的圈数为多少? tR g [答案] (1) · (2)48 圈 2π?R+h? R+h [解析] (1)在地球表面:g= GM ?GM=gR2 R2

GMm 4π2 在轨道上: = m ( R + h ) T2 ?R+h?2 ∴T=2π ?R+h?3 2π?R+h? R+h = · GM R g 6

t tR g 故 n= = · 。 T 2π?R+h? R+h (2)代入数据得:n≈48 圈。 13.(2012· 辽宁六校联考) “9· 11”恐怖事件发生后,美国为了找到本· 拉登的藏身地点, 使用了先进的侦察卫星。据报道:美国将多颗最先进的 KH-11,KH-12“锁眼”系列照相 侦察卫星调集到中亚地区上空。“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球沿椭圆轨道运动,近地点 265km(指卫星与地面的最近距离),远地点 650km(指卫星距地面最远距离),质量为 13.6~ 18.2t。这些照相侦察卫星上装有先进的 CCD 数字照相机,能够分辨出地面上 0.1m 大小的目 标,并自动地将照片传给地面接收站及指挥中心。 由开普勒定律知道: 如果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径跟椭圆轨道的半长轴相等, 那么,卫星沿圆轨道运动的周期跟卫星沿椭圆轨道运动的周期相同。请你由上述数据估算这 些“锁眼”系列侦察卫星绕地球运动的周期。要求保留一位有效数字,地球的半径为 R= 6400km,取 g=10m/s2。 [答案] 6×103s [解析] 卫星绕地球做匀速圆周运动 1 半径 r= (265+650+6400×2)km=6857.5km 2 Mm 4π2mr G 2 = 2 r T 物体在地球表面的重力等于万有引力,则 Mm0 G 2 =m0g R 2πr 得到 T= R r =6×103s。 g

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