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高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固)


高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固
知识网络

目标认知 考试大纲要求: 使学生能灵活应用圆锥曲线的有关知识解决相关问题,培养数学理解能力及分析问题、 解决问题的能力; 重点: 圆锥曲线的定义的应用及直线与圆锥曲线的位置关系 难点: 直线与圆锥曲线的位置关系 知识要点梳理 知识点一:圆锥曲线的统一定义 椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。 平面内,到

一定点的距离与它到一条定直线(不经过定点)的距离之比是常数 e 的点的 轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率。 ①e∈(0,1)时轨迹是椭圆; ②e=1 时轨迹是抛物线; ③e∈(1,+∞)时轨迹是双曲线。 知识点二:圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.椭圆: (1)定义: 平面内到两个定点 F1、 F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭 圆,这两个定点叫焦点. (2)标准方程

当焦点在 轴上时, 椭圆的标准方程:

, 其中



当焦点在

轴上时, 椭圆的标准方程:

, 其中



(3)椭圆 范围: 焦点 ,顶点 , 、

的的简单几何性质: , ,长轴长= ,短轴长= ,焦距= ,

2.双曲线 (1)定义: 平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的 轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点. (2)标准方程

当焦点在 ;

轴上时,双曲线的标准方程:

,其中

当焦点在 .

轴上时,双曲线的标准方程:

,其中

(3)双曲线 范围: 焦点 ,顶点 ,

的简单几何性质 ; ,虚轴长= ,焦距= ;

,实轴长=

离心率是

,准线方程是



渐近线:

.

3.抛物线 (1)定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. (2)标准方程 四种形式: , , , 。

(3)抛物线标准方程 范围: 顶点:坐标原点 离心率: . , ,

的几何性质

对称性:关于 x 轴对称

知识点三:直线和圆锥曲线的位置关系

1.直线 Ax+By+C=0 和椭圆

的位置关系:

将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程,其判别式为Δ。 (1)若Δ>0,则直线和椭圆相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和椭圆相切,有一个切点(或一个公共点); (3)若Δ<0,则直线和椭圆相离,无公共点.

2.直线 Ax+By+C=0 和双曲线

的位置关系:

将直线方程代入双曲线方程后化简方程 ①若为一元一次方程,则直线和双曲线的渐近线平行,直线和双曲线只有一个交点,但 不相切不是切点; ②若为一元二次方程,则 (1)若Δ>0,则直线和双曲线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和双曲线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和双曲线相离,无公共点. 注意:如说直线和双曲线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点 3.直线 Ax+By+C=0 和抛物线 y2=2px(p>0)的位置关系: 将直线方程代入抛物线方程后化简后方程: ①若为一元一次方程,则直线和抛物线的对称轴平行,直线和抛物线有一个交点,但不 相切不是切点; ②若为一元二次方程,则 (1)若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个交点(或两个公共点); (2)若Δ=0,则直线和抛物线相切,有一个切点; (3)若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点。 注意:如说直线和抛物线有一个公共点,则要考虑两种情况:一个切点和一个交点 4.直线被圆锥曲线截得的弦长公式: 当直线的斜率 k 存在时,直线 y=kx+b 与圆锥曲线相交于 , 两点,

弦长公式:

当 k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成: 知识点四:曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 上的点与一个二元方程 (1)曲线 (2)以方程 那么,方程 知识点五:求曲线的方程 1. 定义:在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨 迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程 间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法. 2. 坐标法求曲线方程的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素,将平 面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 通过坐标法,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一. 用坐标法解决几何问题时, 先用坐标和方程表示相应的几何对象, 然后对坐标和方程进 行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面 几何问题的“三步曲” 。 3.求轨迹方程的常用方法:直接法、定义法、代入法、参数法等。 规律方法指导 1.圆锥曲线在解析几何中占主导地位,在整个高中数学中也扮演着主要角色,充分展 示了数学思想的精华部分, 与其它数学知识相连----平面几何、 函数、 三角、 不等式、 复数, 有层次地训练和提高了学生的素质与能力. 对于圆锥曲线的综合题的解决, 要有良好的逻辑 推理能力和计算能力,能准确、灵活运用等价转化思想、数形结合思想,对于二次方程、二 次函数、 解不等式和不等式组的知识要在较高层次上落实. 圆锥曲线综合题是历年数学高考 的热点及难点. 表示曲线,通过研究方程的性质 (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)

的实数解建立了如下的关系: 的解; 上. 叫做方程 的曲线.

上所有点的坐标都是方程 的解为坐标的点都在曲线 叫做曲线 的方程;曲线

2.解析几何图形结构、问题结构多,且易于发散,一旦形成为图形或知识点的综合, 往往最具运算量、最为繁难复杂.因此,有时即便是明确了解法甚至较细的步骤,解题过程 当中也常常被卡住, 算不到底、 算不出正确结果也是常有的事。 因此, 如何解决运算量问题, 对于解题成功与否至关重要.解决运算问题,可以有以下措施: (1)不断提高运算和恒等变形能力。注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问 题的能力,避免思维定势,提高思维灵活性;具体审题中多收集些信息,综观全局,权衡利 弊,再决定解题策略;加强训练运算基本功,不断提高恒等变形的能力. (2)善于运用平面几何性质来解题问题。解题处理方式不同,可能繁简大相径庭,若考 虑问题的几何特征,充分利用图形几何性质,对于解决运算量会大有裨益,这一点对于圆锥 曲线综合题的处理很重要. (3)注意解析法与各种数学方法结合。当所求点的坐标直接解决有困难时,往往引进参 数或参数方程起到解决问题的桥梁作用,引进合适的参数,进行设而不求的计算方式,在解 析几何中是普遍的,但应注意不断积累消参经验;相应元替换法也是常用的策略. 3.圆锥曲线综合题类型 (1)用待定系数法求圆锥曲线方程 ①数形结合:先定型,再定量,注意区分解析条件与纯几何条件,如果位置不确定时, 考虑是否两解.在图形上标出已知条件,检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确; ②方程思想:n 个未知数,列够 n 个独立的方程,并注意韦达定理的使用: ③注意“点在线上”条件的使用. (2)求轨迹方程 基本方法:定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数). 注意: ①注意限制; ②求轨迹方程与求轨迹的区别。 求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的 曲线类型及相应的几何特征; ③n 个未知数,列够 n-1 个独立方程,特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程. (3)求取值范围或最值 ①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数,注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n 个未知数,列够 n 个独立方程或不等式,注意归纳总结列不等 式的方法: ③利用几何性质求参数范围; ④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.


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