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2010-2014年文科数学高考题分类汇编——数列


数列 2010 4.已知数列{ an }为等比数列, S n 是它的前 n 项和.若 a2 * a3 =2a1,且 a4 与 2 a7 的等差中 项为

5 ,则 s5 = 4
B.33 C.31 D.29

A.35

解析:由 a2 * a3 =2a1 得 a1*q3=2,既 a4 =2,又 a4 +2 a

7 =2×

5 1 a 1 3 ,a7= , 7 ? q ? , 4 4 a4 8

1 q= ,a1=16, s5 = 2

1 16(1 ? ( ) 5 ) 2 ? 31,选 C 1 1? 2
3 5
C.

7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是

1 5 3 解析:由题意知,a+c=2b,且 a2=b2+c2 得 e= ,选 B 5
A. B. D. 21.(本小题满分 14 分) 已知曲线 Cn:y ? nx2 ,点 P n ( xn , yn )( xn ? 0, yn ? 0) 是曲线 Cn 上的点 (n ? 1, 2…). (1)试写出曲线 Cn 在点 P n 处的切线 l n 的方程,并求出 l n 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; (2)若原点 O (0, 0) 到 ln 的距离与线段 P nQn 的长度之比取得最大值,试求试点 P n 的坐标

4 5

2 5

( xn , yn );
(3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(2)中条件的点 P n 的坐标, 证明:

?
n ?1

s

(m ? 1) xn ? (k ? 1) yn ? 2

ms ? ks (s ? 1, 2,…)

2 解析:(1)y′=2nx, ln 的斜率为 2nxn, P n ( xn , yn )( xn ? 0, yn ? 0) yn= nxn ,

所以 ln 的方程为 y—n xn2=2nxn(x-xn)既 2nxnx-y- nxn2=0 令 x=0,得 y=- nxn2,所以 Qn(0,-nxn) (1) 原点到直线 ln 的距离为 d ?
2 2 2 xn ? 4n 2 x n ? x n 1 ? 4n 2 x n

2 nxn 2 4n 2 x n ?1

PnQn=

nxn d n ? ? 2 2 1 Pn Qn 1 ? 4n x n ? 4n 2 x n xn
1 1 ? 4n 2 xn ? 2 4n 2 ? 4n 当且仅当 xn= 时取等号 4n xn
此时 Pn(
[来源:Z&xx&k.Com]

1 1 , ) 4n 16 n

2011 11.已知 ?an ? 是递增等比数列, a2 ? 2, a4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比 q ? 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、数列的单调性,是容易题. 【解析】∵ a2 ? 2, a4 ? a3 ? 4 ,∴ 2q 2 ? 2q ? 4 ,解得 q =2 或-1(舍) ,故 q =2. 【答案】2 20 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 b ? 0 , 数 列 {an } 满 足 a1 ? b , .

an ?

nban ?1 (n ≥ 2) . an ?1 ? n ? 1

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对于一切正整数 n , 2an ≤ b
n ?1

? 1.

【命题意图】本题考查等比数列的定义、通项公式与前 n 项和公式、等差数列的定义与通项 公式、 构造法求简单递推数列的通项公式及不等式的证明等基本知识与方法, 考查转化与化 归能力、推理论证能力,综合性较强,难度较大. 【解析】(Ⅰ)∵ an ?

nban ?1 an ?1 ? n ? 1



an ban ?1 ? n an ?1 ? n ? 1 n 1 n ?1 1 ? ? ? an b an?1 b n n ?1 n ? ? 1 ,则 { } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列 an an?1 an



① 当 b ? 1 时,



n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,即 an ? 1 an n 1 1 n ?1 1 ? ? ( ? ) an 1 ? b b an?1 1 ? b

② 当 b ? 0 且 b ? 1 时,

当 n ? 1 时,

n 1 1 ? ? an 1 ? b b(1 ? b)

∴{

1 1 n 1 为首项, 为公比的等比数列 ? } 是以 b b(1 ? b) an 1 ? b



n 1 1 1 ? ? ? ( )n an 1 ? b 1 ? b b

n 1 1 1 ? bn ∴ ? ? ? an (1 ? b)bn 1 ? b (1 ? b)bn
n(1 ? b)b n ∴ an ? 1 ? bn

? n(1 ? b)b n ,  b ? 0且b ? 1 ? 综上所述 an ? ? 1 ? b n ?1,   b ? 1    ?
(Ⅱ)证明:① 当 b ? 1 时, 2an ? bn?1 ? 1 ? 2 ; ② 当 b ? 0 且 b ? 1 时, 1 ? b ? (1 ? b)(1 ? b ?
n

? bn?2 ? bn?1 )

要证 2an ? b 即证

n?1

2n(1 ? b)b n ? b n ?1 ? 1 , ? 1 ,只需证 n 1? b

2n(1 ? b) 1 ?b? n n 1? b b 2n 1 ?b? n 即证 n?2 n ?1 1? b ? ? b ? b b 1 n?2 n ?1 即证 (b ? n )(1 ? b ? ? b ? b ) ? 2n b 1 1 1 1 2 n ?1 n 即证 (b ? b ? ? b ? b ) ? ( n ? n ?1 ? ? 2 ? ) ? 2n b b b b 1 1 1 1 2 n ?1 n ∵ (b ? b ? ? b ? b ) ? ( n ? n ?1 ? ? 2 ? ) b b b b 1 1 1 1 ? (b ? ) ? (b 2 ? 2 ) ? ? (b n ?1 ? n ?1 ) ? (b n ? n ) b b b b

1 1 ? 2 b ? ? 2 b2 ? 2 ? b b

? 2 bn?1 ?
n ?1

1 1 ? 2 bn ? n ? 2n ,∴原不等式成立 n ?1 b b

∴对于一切正整数 n , 2an ≤ b 2012 12. 等比数列 {an } 满足 a2 a4 ?
2 【解析】 a1a3 a5 ? _____

? 1.

1 2 ,则 a1a3 a5 ? _____ 2

1 4 1 1 1 2 2 4 a2 a4 ? ? a3 ? , a1a3 a5 ? a3 ? 2 2 4

19.(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n2,n ? N * . (1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式。 【解析】 (1)在 Tn ? 2Sn ? n2,n ? N * 中,令 n ? 1 ? a1 ? 2a1 ?1 ? a1 ? 1 (2) Tn ? 2Sn ? n2,Tn?1 ? 2Sn?1 ? (n ? 1)2 ,相减得: Sn?1 ? 2Sn ? (2n ? 1)

Sn?1 ? 2Sn ? (2n ? 1) , Sn?2 ? 2Sn?1 ? (2n ? 3) ,相减得: an?2 ? 2an?1 ? 2 a1 ? 1 ? S2 ? 2S1 ? 3 ? a2 ? 4 ,得 an?1 ? 2an ? 2 an?1 ? 2an ? 2 ? an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) 得:数列 {an ? 2} 是以 a1 ? 2 ? 3 为首项,公比为 2 的等比数列

an ? 2 ? 3? 2n?1 ? an ? 3? 2n?1 ? 2
2013 11.设数列| an |是首项为 1,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |? ________。15 19. (本小题满分 14 分)
2 设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 | an | 的 前 n 项 和 为 Sn , 满 足 4Sn ? an n ? 1, n ? N ? ,且 ?1 ? 4

a2 , a5 , a14 构成等比数列.
(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 ? . an an ?1 2

解: (1)

2 2 4a1 ? a2 ? 4 ?1 ? a2 ? 5,

2 ?a2 ? 4a1 ? 5.又a2 >0,

a2 ? 4a1 ? 5.
(2)由题设条件,当 n≥2 时,

4an ? 4(Sn ? Sn?1 )
2 2 ? (an ?1 ? 4n ? 1) ? (an ? 4(n ? 1) ? 1) 2 2 ? an ?1 ? an ? 4,

整理得

(an?1 ? an ? 2)(an?1 ? an ? 2) ? 0. 注意到an >0 得 an?1 ? an ? 2, n ? 2.
a2 , a 5, a 1成等比数列, 4
2 ? a5 ? (a2 ? 6) 2 ? a2 (a2 ? 24).

解得a2 ? 3, ? an ? 3 ? 2(n ? 2) ? 2n ? 1, n ? 2. 又得(1)得a1 ? 1, 故对一切正整数n, 有an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? a1a2 a2 a3 an an ?1 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)
1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ... ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ? (1 ? )? . 2 2n ? 1 2 ?

2014 13.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1a5 ? 4 ,则

log2 a1 +log2 a2 +log2 a3 +log2 a4 +log2 a5 = ________.
答案 : 5 提示 : 设S ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? log 2 a3 ? log 2 a 4 ? log 2 a 5 , 则S ? log 2 a5 ? log 2 a4 ? log 2 a3 ? log 2 a 2 ? log 2 a1 , ? 2 S ? 5log 2 (a1a5 ) ? 5log 2 4 ? 10, ?S ? 5 .

2 19. 设各项均为正数的数列?an ?的前n项和为S n , 且S n满足S n ? (n 2 ? n ? 3) S n ? 3(n 2 ? n) ? 0, n ? N ? .

(1)求a1的值;

(2)求数列?an ?的通项公式;
(3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? . a1 ?a1 ? 1? a2 ?a2 ? 1? an ?an ? 1? 3

解 : (1)令n ? 1得 : S12 ? (?1) S1 ? 3 ? 2 ? 0, 即S12 ? S1 ? 6 ? 0,? ( S1 ? 3)( S1 ? 2) ? 0, S1 ? 0,? S1 ? 2, 即a1 ? 2.
2 2 (2)由S n ? (n 2 ? n ? 3) S n ? 3(n 2 ? n) ? 0, 得 : ( S n ? 3) ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ? 0,

an ? 0(n ? N ? ),? S n ? 0, 从而S n ? 3 ? 0,? S n ? n 2 ? n,
2 ?当n ? 2时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? ? ?(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 2n,

又a1 ? 2 ? 2 ? 1,? an ? 2n(n ? N ? ). (3)解法一 : 当k ? N ?时, k 2 ? k k 3 1 3 ? k 2 ? ? ? (k ? )(k ? ), 2 2 16 4 4 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ak (ak ? 1) 2k (2k ? 1) 4 k (k ? 1 ) 4 (k ? 1 )(k ? 3 ) 2 4 4 ? ? ? 1 1 1 ? 1 1 ? ? ? ?? ? 1 1? 1 ? 1? 4 ? 4 k? (k ? 1) ? ? (k ? ) ? ?(k ? 1) ? ? ? 4 4? 4 ? 4? 1 1 1 ? ? ? ? a1 (a1 ? 1) a2 (a2 ? 1) an (an ? 1)

? ? ? 1? 1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )?( ? )? ? ? 1 1 1 1? 4 ? 1? 1 2 ? 1 2? 3? n? (n ? 1) ? ? ? 4 4 4 4 4 4? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ? ? . 4 1 ? 1 (n ? 1) ? 1 3 4n ? 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 解法二 : ? ? ? ( ? ),以下略. ak (ak ? 1) 2k (2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) 2 2k ? 1 2k ? 1 (注 : 解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案)


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