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高考数学一轮总复习 第45讲 空间几何体的结构及三视图、直观图 课件 文 新课标


1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结 构特征,理解柱、锥、台、球的结构特征. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、 圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,会用斜 二测法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法,画出 简单空间图形的三视图与直观图,了解空间 图形的不同表示形式. 4.能识别三视图所表示的空间几何体;理解 三视图和直观图的联系,并能进行转化.

1 .柱、锥、台、球的结构特征
几何体 多面体 有两个面互相平行,其余 各面都是四边形,并且每 相邻两个四边形的公共边 都互相平行 有一个面是多边形,其余 各面都是有一个公共顶点 的三角形 用一个平行于棱锥底面的 平面去截棱锥,底面与截 面之间的部分,叫做棱台 几何特征 图形

棱柱

棱锥

棱台

几何体 旋转体 圆柱

几何特征 以矩形的一边所在的直线为旋转 轴,其余三边旋转形成的面所围 成的旋转体叫做圆柱 以直角三角形的一直角边所在的 直线为旋转轴,其余两边旋转形 成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用一个平行于圆锥底面的平面去 截圆锥,底面与截面之间的部分, 叫做圆台 以半圆的直径所在的直线为旋转 轴,半圆面旋转一周形成的旋转 体叫做球体

图形

圆锥

圆台



2.棱柱的分类

?1? 按侧棱与底面的位置关系可分为① _____ ,
侧棱垂直于底面的棱柱叫做② __________.

? 2 ? 按底面多边形的边数可分为:三棱柱、四棱柱??.
3.三视图与直观图

?1? 我们把光由一点向外散射形成的投影,叫做
③ ______ ;在一束平行光照射下形成的投影, 叫做④ ________ .在平行投影中,投影线正对 着投影面时,叫做正投影,否则叫做斜投影.

? 2 ? 空间几何体的三视图:
光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影 图叫做几何体的⑤ ________ ;光线从几何体的 左面向右面正投影得到的投影图叫做几何体的 ⑥ ________ ;光线从几何体的上面向下面正 投影得到的投影图叫做几何体的⑦ ________ .

? 3? 画三视图的基本要求是⑧ ______________
高度一样,⑨ ________ 长度一样, _______ 宽度一样.

? 4 ? 斜二测画法的规则
ⅰ在已知图中建立直角坐标系xOy,画直观 () 图时,它们分别对应x?轴和y?轴,两轴交于 点O?,使?x?O? y? ? 45?,它们确定的平面表 示水平面. (ⅱ已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直 ) 观图中分别画成 直观图中 _____________ . (ⅲ)已知图形中平行于x轴的线段的长度,在 ________ ;平行与y轴的线段的 __________. 长度,在直观图中,长度为

【要点指南】 ①直棱柱和斜棱柱;②直棱柱; ③中心投影;④平行投影; ⑤正视图;⑥侧视图;⑦俯视图; ⑧正视图和侧视图;⑨俯视图和正视图; 侧视图和俯视图; 平行于x?轴或y?轴; 长度不变; 原来的一半

1.下列说法中正确的是( 行四边形的几何体是棱柱

)

A.有两个面互相平行,其余各面都是平

B.用一个平面去截一个圆锥,可以得到 一个圆台和一个圆锥 C.有一个面是多边形,其余各面都是三 角形的几何体是棱锥 D.将一个直角三角形绕其一条直角边旋 转一周,所得圆锥的母线长等于斜边长

【解析】由棱柱、圆锥、棱锥的定义知,A、B、C 不正确,故选 D.

2.(2011· 江西卷)将长方体截去一个四棱锥,得到的 几何体如下图所示,则该几何体的左视图为( )

【解析】侧视图即是从正左方看,找特殊位置的可视点, 连起来就可以得到答案.

3.(2011· 山东卷)下图是长和宽分别相等的两个矩 形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、 俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图 如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其 中真命题的个数是( )

A.3 C.1

B.2 D.0

【解析】 底面是等腰直角三角形的三棱柱, 当它的一个矩形侧面放置在水平面上时,它的主 视图和俯视图可以是全等的矩形,因此①正确; 若长方体的高和宽相等,则存在满足题意的两个 相等的矩形, 因此②正确; 当圆柱侧放时(即左视 图为圆时), 它的主视图和俯视图可以是全等的矩 形,因此③正确.

4.已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为 6 2 16 a .

【解析】 如图,图①、图②所示的分别是实际图 形和直观图. 从图②可知,A′B′=AB=a,

1 3 6 O′C′=2OC= 4 a,所以 C′D′=O′C′sin45° 8 a, = 1 1 6 6 2 所以 S△A′B′C′=2A′B′· C′D′=2· 8 a= 16 a . a·

5.如图是一个空间几何体的三视图,若它的体 积是 3 3,则 a= 3 .

【解析】由三视图可知几何体为一个直三棱柱, 底面三角形中,边长为 2 的边上的高为 a, 1 则 V=3×2×2×a=3 3,所以 a= 3.

一 空间几何体的结构
【例 1】 平面内的一个四边形为平行四边形的充 要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个 充要条件: 充要条件①________________________; 充要条件②______________________.

【分析】 利用类比推理中“线?面”再验 证一下所给出的条件是否正确即可.

【解析】 平行六面体实质是把一个平行四 边形按某一方向平移所形成的几何体,因此“平 行 四 边 形”与 “平 行 六 面 体”有 着 性 质 上 的 “相似性”.

答案:两组相对侧面分别平行;一组相对侧 面平行且全等;对角线交于一点且互相平行;底 面是平行四边形(任选两个即可).

素材1

一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图 的展开图,则在原正方体中( A.AB∥CD B.AB∥EF C.CD∥GH D.AB∥GH )

【解析】 折回原正方体如图, 则 C 与 E 重合,D 与 B 重合. 显然 CD∥GH.

二 空间几何体的三视图
【例 2】 在一个几何体的三视图中, 正视图和俯视图如 下图所示,则相应的侧视图可以为( )

【解析】 由几何体的正视图和俯视图可知,该 几何体的底面为半圆和等腰三角形,其侧视图可以 是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图 形.故选 D.

素材2

如右图,△ABC 为正三角形,AA′∥BB′∥CC′, 3 CC′⊥平面 ABC,且 3AA′=2BB′=CC′=AB,则多 面体 ABC-A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )

【解析】 由题意知 A′A<B′B<C′C,故正视图为 选项 D.



空间几何体的直观图

【例 3】 如图是一个几何体的三视图,用斜二测 画法画出它的直观图.

【分析】 三视图→确定几何体结构→画直观 图.

【解析】 由三视图知该几何体是一个简单的组合体, 它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥.

画法: (1)画轴.如图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45° , ∠xOz=90° . (2)画底面.利用斜二测画法画出底面 ABCD,在 z 轴 上截取 O′使 OO′等于三视图中相应高度,过 O′作 Ox 的平行线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′画出底面 A′B′C′D′; (3)画正四棱锥顶点.在 Oz 上截取点 P,使 PO′等于 三视图中相应的高度;

(4)成图. 连接 PA′、 PB′、 PC′、 PD′、 AA′、 B′B、 C′C、D′D,整理得到三视图表示的几何体的直观图如图 ②所示.

素材3

如图,正方形 OABC 的边长为 1 cm,它是水平放置 的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( A.8 cm C.2(1+ 3) cm B.6 cm D.2(1+ 2) cm )

【解析】 将直观图还原为平面图形,如下图.

可知周长为 8 cm,故选 A.



空间几何体的简单组合

【例 4】(2011· 全国卷)已知两个圆锥有公共底面, 且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上. 若圆 3 锥底面面积是这个球面面积的16, 则这两个圆锥中, 体 积较小者的高与体积较大者的高的比值为__________.

【解析】 如右图,设圆锥底面圆半径为 r,球的半 3 3 2 2 2 径为 R,则由 πr =16×4πR ,知 r =4R .
2

根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心 O, 且 两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点, 因 此 PB⊥QB.

设 PO′=x,QO′=y,则 x+y=2R,① 又△PO′B∽△BO′Q,知 r2=O′B2=xy. 3 2 即 xy=r =4R .②
2

3 R 又①②及 x>y,可得 x=2R,y= 2 . 则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高 的比为 1∶3.

【点评】 本题考查球的表面积公式、球的截面的性 质、球的大圆的性质以及平面几何中的三角形相似等知 识,考查利用所学知识综合分析问题的能力、逻辑推理能 力及运算求解能力.

素材4

已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的长、宽、高分别为 3、 4、5.求该长方体外接球的面积.

【解析】如图是过棱 AA1、CC1 和球心 O 的截面圆, 所以球的直径 2R=AC1 = AC2+CC2= AB2+BC2+CC2 1 1 = 32+42+52=5 2 5 22 所以球的面积为 S=4πR =4π·( 2 ) =50π.
2

备选例题

有一根长为 3π cm, 底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管, 用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈,并使铁丝的两个端 点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度 为多少?

【分析】 把圆柱沿这条母线展开,将问题转化为 平面上两点间的最短距离.

【解析】 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上 得到矩形 ABCD(如图),

由题意知 BC=3π cm,AB=4π cm,点 A 与点 C 分 别是铁丝的起、止位置,故线段 AC 的长度即为铁丝的 最短长度. AC= AB2+BC2=5π cm, 故铁丝的最短长度为 5π cm.

1.理解柱、锥、台、球的概念及结构特征,并 能善于运用这些特征描述简单几何体的结构. 2.三视图的识别规则是“长对正,高平齐,宽相 等”.另外还要注意找出相邻几何体的分界线,若 分界线可见,则画成实线;若不可见,则画成虚线. 3.球的截面问题要抓住关系式R 2 ? r 2 ? d 2, 其中R是球的半径,r是截面圆的半径,d 是 球心与截面圆圆心的距离.

4.对于与球有关的接、切组合体问题,通过 画出它们的轴截面等平面图形去分析,从而 得出它们的几何特征,找到它们的元素之间 的关系,比如正方体、长方体内接于球,其 体对角线即为球的直径等. 5.将空间图形转化为平面图形问题是解决立 体几何问题的最基本、最常用的方法.


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