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理科2013届上海市杨浦区高三年级一模数学试卷


2013 届上海市高三数学一模系列卷——杨浦区(理科)

2013 届上海市杨浦区高三年级一模试卷——数学(理科)
2013 年 1 月 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 若函数 f ?x? ? 3 x 的反函数为 f 2.若复数 z ?
2 ?1

?x ? ,则 f ?1 ?1? ?
. .



1? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? i

3.抛物线 y ? 4 x 的焦点到准线的距离为

4. 若线性方程组的增广矩阵为 ? ?1 1 2 ? ,则该线性方程组的解是 ? ? ? 5.若直线 l : y ? 2 x ? 1 ? 0 ,则该直线 l 的倾斜角是 6. 若 ( x ? a) 的二项展开式中, x 的系数为 7 ,则实数 a ?
7
5 0

?1 2 3 ?



. .

7. 若圆椎的母线 l ? 10 cm ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,则该圆椎的侧面积为
2

cm2 .

8. 设数列 {an } ( n ? N* )是等差数列.若 a2 和 a2012 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则数列 {an } 的前 2013 项的和 S 2013 ? ______________. 9. 下列函数: f ( x) ? 3 , ② f ( x) ? x , ③ f ( x) ? ln ①
x
3

1 ?x 2 , ④ f ( x) ? cos ⑤ f ( x) ? ? x ? 1 中, 2 x
(写出符合要求的所有函数的序号).
2

既是偶函数,又是在区间 ?0, ? ?? 上单调递减函数为

10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次, 朝上的点数依次为 b 和 c , 则函数 f ( x) ? x ? 2bx ? c 图像与 x 轴 无公共点的概率是____
x

___ .

2 11.若函数 f ( x) ? loga (3 ? 2) ? 1 ( a ? 0 , a ? 1 )的图像过定点 P ,点 Q 在曲线 x ? y ? 2 ? 0 上运动,

则线段 PQ 中点 M 轨迹方程是



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A M F P D

E

12.如图,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀, 其中 AE ? 4 米, CD ? 6 米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上. 则矩形 BNPM 面积的最大值为____ 13 在 ?ABC 中,若 ?A ? 平方米 .

B

N

C

, tan(A ? B) ? 7 , AC ? 3 2 ,则 ?ABC 的面积为___________. 4 14 . 在 平 面 直 角坐 标 系 xOy 中 , 直 线 y ? 3x ? 2 m 与 圆 x 2 ? y 2 ? n 2 相 切 , 其中 m 、 n ? N* ,

?

0 ? m ? n ? 1.若函数 f ?x? ? m x?1 ? n 的零点 x0 ? ?k , k ? 1?, k ? Z ,则 k ? ________.
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编 号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 在区间 ?3,??? 内单调递增”的???( )

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

(B ) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.
3 ,且 lim S n ? a , n?? 2
???( )

16.若无穷等比数列 ? a n ?的前 n 项和为 S n ,首项为 1 ,公比为 a ? ( n ? N* ),则复数 z ?

1 在复平面上对应的点位于 a?i

( A) 第一象限.

(B ) 第二象限.

(C ) 第三象限.

(D) 第四象限.

17.若 F1 、 F2 为双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上, 4 ∠ F1 PF2 = 60 ? ,则 P 到 x 轴的距离为 ???(



( A)

5 . 5

(B )

15 . 5

(C )

2 15 . 5

(D)

15 . 20

18. 已知数列 ?an ? 是各项均为正数且公比不等于 1 的等比数列( n ? N* ). 对于函数 y ? f ( x) ,若数列

?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x) 为“保比差数列函数”.
① f ( x) ? 有序号为

现有定义在 (0, ??) 上的如下函数:

1 , x

② f ( x) ? x2 , ???(

③ f ( x) ? e x , )

④ f ( x) ?

x ,则为“保比差数列函数”的所

( A)

① . ②

(B )

③ . ④

(C )

① ④ ② .

(D) ② ④ . ③

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三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? AB , AP ? BC ? 4 , ?ABC ? 30? , P D 、E 分别是 BC 、 的中点, AP (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的值. E

A

B

C

D

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 已知 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 sin 2 x , (1)求 f (x) 的最小正周期和单调递减区间; (2)若 x ? ??

? ? ?? , ? ,求 f (x) 的最大值及取得最大值时对应的 x 的取值. ? 6 3?

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21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 椭圆 T 的中心为坐标原点 O ,右焦点为 F (2, 0) ,且椭圆 T 过点 E (2, 2) . 若 ?ABC 的三个顶点都在椭圆 T 上,设三条边的中点分别为 M 、 、 . N P (1)求椭圆 T 的方程; (2)设 ?ABC 的三条边所在直线的斜率分别为 k1 、 2 、k3 ,且 ki ? 0, i ? 1, 2,3 . k 若直线 OM 、 、OP 的斜率之和为 0,求证: ON

1 1 1 ? ? 为定值. k1 k2 k3

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

已知函数 f ( x) ?

x ?2

1 x 1

( x ? 0) 的值域为集合 A ,

(1)若全集 U ? R ,求 CU A ; (2)对任意 x ? ? 0 ,

? ?

1? ,不等式 f ?x ? ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; 2? ?

(3)设 P 是函数 f ?x ? 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足分别为 A 、 B , 求 PA ? PB 的值.

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23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用记号 x 表示,对于 实数 a ,无穷数列 ?an ? 满足如下条件:

a1 ? a , a n ?1

? 1 , an ? 0 , ? ? ? an ? 0 , a ? 0. n ?

其中 n ? 1 , 2 , 3,? ? ? .

(1)若 a ? (2)当 a ?

2 ,求数列 ?an ? ;
1 时,对任意的 n ? N* ,都有 an ? a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A . 4

(3)若 a 是有理数,设 a ?

p ( p 是整数, q 是正整数, p 、 q 互质) ,问对于大于 q 的任意正整数 n , q

是否都有 an ? 0 成立,并证明你的结论.

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