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2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析


高一数学竞赛训练试题(4)
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? .

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

m?

r />
.

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的 概率是 (结果用最简分数表示) .

1 4. 已知 cos4? ? ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5
5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ??



π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3 为邻边的平行四边形的面积为 . 6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3} 的前 n 项和等于 .
7. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * , 则 f [ f (2011)] ? . .

π α 9. 设锐角 α,β 满足:α+β< ,且 sin =kcosβ,则实数 k 的取值范围为_________ 2 2
10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 . 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) z1 11.设 z1,z2 为一对共轭复数,若|z1-z2| = 6,且 2 为实数,求|z1|

z2

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12.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ≥ 2 时, f ( x ) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最 大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值.

- 4-2 -

13.如图,P 是△ABC 内一点.

1 (1)若 P 是△ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是△ABC 的内心. 2 2
A

P

B

C

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14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数,证明:存在无穷多个正 整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

- 4-4 -

一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? 答案:-8 2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数 .

m?
答案: ?

.

3 2 3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的 概率是 (结果用最简分数表示) .
答案:

19 145


1 4. 已知 cos4? ? ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5
答案:

4 5 π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3 .

5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为 答案: 10 3

6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3} 的前 n 项和等于 .

1 答案: (8n ? 48) 7
7. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 答案:(0,2) 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * , 则 f [ f (2011)] ? 答案:6 . .

π α 9. 设锐角 α,β 满足:α+β< ,且 sin =kcosβ,则实数 k 的取值范围为_________ 2 2
答案:(0, 2 ) 2
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10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 . 答案:3,14,30 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) z1 11.设 z1,z2 为一对共轭复数,若|z1-z2| = 6,且 2 为实数,求|z1|

z2

答案: 2 12.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c( b, c?R ) .若 x ≥ 2 时, f ( x ) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最 大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值. 解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上单调递增, 故有 f (2) ≤ f (3) ? 1 ,从而 b ≥ ?5 且 c ? ?3b ? 8 . 若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c ≥ 0 ,
4 ? ? b≤? , ? ? f ( ?2) ≥ 0, ? 4 ? 2b ? c ≥ 0, 5 ? ? ? 在区间 ? ?2,2? 有 ? f (2) ≥ 0, 即 ? 4 ? 2b ? c ≥ 0, 消去 c,解出 ?b ≤ ?4, ? ? ?4 ≤ b ≤ 4, ? ?4 ≤ b ≤ 4, b ? ?2 ≤ ≤ 2, ? ? ? 2 ?

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 . 综上 ?5 ≤ b ≤ ?4 . 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减 故 (b2 ? c2 )min ? 32,(b2 ? c2 )max ? 74 . 13.如图,P 是△ABC 内一点.

1 (1)若 P 是△ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是△ABC 的内心. 2 2 1 1 1 证明: (1) ?BPC ? 180? ? (?ABC ? ?ACB) ? 180? ? (180? ? ?BAC) ? 90? ? ?BAC 2 2 2
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14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数. 证明:设 n0 ? ? ?
q q2 ,其中 p,q 为互质的正整数,则 n0 ? ? ? 2 . p p
2 2

A

P

B

C

设 k 为任意的正整数,构造 n ? p k ? 2qk ? n0 , 则 n ?? ?

p2 k 2 ? 2qk ? n0 ? ? ?

p 2 k 2 ? 2qk ?

q2 q ? pk ? ? Q . 2 p p

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