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高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.3知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

一、学习任务 认识和理解空间中线面垂直的有关判定定理和性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定 理,并能证明有关性质定理;能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命 题. 二、知识清单
空间

的垂直关系 点面距离

三、知识讲解
1.空间的垂直关系 描述: 直线与平面垂直的判定 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直.记作 l ⊥ α.直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯 一的公共点 P 叫做垂足.

直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面 垂直.用符号表示:a ,b ? α,a ∩ b = P ,l ⊥ a,l ⊥ b ? l ⊥ α.

平面与平面垂直的判定 定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.用符号表示:l ⊥ α, l ? β ? α ⊥ β.

直线与平面垂直的性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.用符号表示:a ⊥ α,b ⊥ α ? a||b.

平面与平面垂直的性质 定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号来表示: α ⊥ β ,α ∩ β = CD ,AB ? α,AB ⊥ CD ? AB ⊥ β.

例题: 下列命题中,正确的序号是______. ①若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l ⊥ α; ②若直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l ⊥ α; ③若直线 l 不垂直于平面 α ,则 α 内没有与 l 垂直的直线; ④若直线 l 不垂直于平面 α,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直; ⑤过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条. 解:④⑤ 当直线 l 与平面 α 内的无数条平行直线垂直时,l 与 α 不一定垂直,所以①不正确;当 l 与 α 内的一条直线垂直时,不能保证 l 与平面 α 垂直,所以②不正确;当 l 与 α 不垂直时,l 可能与 α 内的无数条平行直线垂直,所以③不正确,④正确;过一点有且只有一条直线垂直于 已知平面,所以⑤正确.故填④⑤. 如图,三棱锥 P ? ABC 中,P A ⊥ 平面 ABC,底面 Rt△ABC 的斜边为 AB ,F 为 P C 上一点.求证: BC ⊥ AF .

证明:因为 P A ⊥ 平面 ABC,BC ? 平面 ABC ,所以 P A ⊥ BC . 又 AC ⊥ BC ,AC ∩ P A = A,所以 BC ⊥ 平面 P AC . 又 AF ? 平面 P AC ,所以 BC ⊥ AF . 如图,已知四棱锥 P ? ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠DAB = 60?,P D ⊥ 平面 ABCD, P D = AD,点 E 为 AB 的中点.求证:平面 P ED ⊥ 平面 P AB.

P ED ⊥

P AB

证明:如图,连接 BD ,因为 AB = AD,∠DAB = 60?,所以 △ADB 为等边三角形. 因为 E 是 AB 的中点,所以 AB ⊥ DE. 因为 P D ⊥ 面 ABCD,AB ? 平面 ABCD,所以 AB ⊥ P D. 因为 DE ? 平面 P ED,P D ? 平面 P ED,DE ∩ P D = D,所以 AB ⊥ 平面 P ED. 又 AB ? 平面 P AB,所以 平面 P ED ⊥ 平面 P AB.

2.点面距离 描述: 从平面 α 外一点 P 引平面的垂线,垂足设为 H ,则点 P 和点 H 之间的距离称为 P 到平 面 α 的距离. 例题: 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中,求点 A 到平面 A 1 BD 的距离 d . 解:在三棱锥 A 1 ? ABD 中,AB = AD = AA 1 = a ,A 1 B = BD = A 1 D = √2 a,点 A 1 到平面 ABD 的距离即为 A 1 A = a . 因为 VA1 ?ABD = VA?A1 BD ,所以

1 1 1 1 √3 × a2 × a = × × √2 a × × √2 a × d. 3 2 3 2 2
所以 d =

√3 √3 ,即点 A 到平面 A 1 BD 的距离为 . 3 3 π , 4

如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠ABC =

OA ⊥ 底面 ABCD,OA = 2.求点 B 到平面 OCD 的距离.

AB ∥

OCD

解:因为 AB ∥ 平面 OCD,所以点 B 和点 A 到平面 OCD 的距离相等.作 AP ⊥ CD 于 点 P ,连接 OP ,过点 A 作 AQ ⊥ OP 于点 Q.因为 AP ⊥ CD ,OA ⊥ CD,所以 CD ⊥ 平面 OAP ,所以 AQ ⊥ CD.又因为 AQ ⊥ OP ,所以 AQ ⊥ 平面 OCD,线段 AQ 的长就是 A 到平面 OCD 的距离.因为

? ?? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 √2 , OP = √OD 2 ? DP 2 = √OA 2 + AD 2 ? DP 2 = √4 + 1 ? = 2 2 √2 2? OA ? AP √2 2 = 2 .所以点 B 到平面 OCD 的距离 ,所以 AQ = AP = DP = = 2 3 OP 3√2 2 为 . 3 2

如图,在三棱锥 P ? ABC 中,AC = BC = 2 ,∠ACB = 90? ,AP = BP = AB, P C ⊥ AC ,求点 C 到平面 AP B 的距离.

解: 法一:取 AB 中点 D ,连接 P D ,CD . 因为 AP = BP ,所以 P D ⊥ AB.因为 AC = BC ,所以 CD ⊥ AB. 因为 P D ∩ CD = D,所以 AB ⊥ 平面P CD .所以 平面 AP B ⊥ 平面 P CD. 过 C 作 CH ⊥ P D,垂足为 H . 因为 平面 AP B ∩ 平面 P CD = P D,所以 CH ⊥ 平面AP B . 再结合 AB ⊥ 面 P CD 知, P C ⊥ AB ,又 P C ⊥ AC ,且 AB ∩ AC = A,所以 P C ⊥ 平面 ABC . 因此 P C ⊥ CD ,所以

CH =

P C ? CD 2√3 . = PD 3

PC ⊥

ABC

法二:由法一可知 P C ⊥ 平面 ABC ,又 ∠ACB = 90? ,可得,四面体 A ? P BC 的体积

1 1 4 ? AC ? ? P C ? P B = . 3 2 3 1 设点 C 到平面 AP B 的距离为 d ,则 VC?APB = ? d ? S △APB ,由法一可知 AB = 2√2,且 3 △P AB 为等边三角形,所以 S △APB = 2√3 . 2√3 2√3 再结合 VA?PBC = VC?PAB ,解得 d = ,所以点 C 到平面 AP B 的距离为 . 3 3 VA?PBC =

四、课后作业

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1. 若 m, n 是两条不同的直线, α, β, γ 是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是 ( A.若 m ? β, α⊥β ,则 m⊥α B.若 α ∩ γ = m, β ∩ γ = n, m ∥ n ,则 α ∥ β C.若 m⊥β, m ∥ α ,则 α ∥ β D.若 α⊥γ, α⊥β ,则 β⊥γ
答案: C

)

2. 已知两个平面垂直,下列命题中: ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线; ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线; ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有 ( A.1
答案: A

)
B.2 C.3 D.4

3. 如图,P A ⊥ 矩形 ABCD,下列结论中不正确的是 (

).

A.P D ⊥ BD
答案: A

B.P D ⊥ CD

C.P B ⊥ BC

D.P A ⊥ BD

4. 如图,四边形 ABCD 中,AD ∥ BC,AD = AB,∠BCD = 45? ,∠BAD = 90?.将 △ADB 沿

ABD ⊥

A ? BCD

A ? BCD

BD 折起,使平面 ABD ⊥ 平面 BCD,构成三棱锥 A ? BCD.则在三棱锥 A ? BCD 中,下列命
题正确的是 (

)

A.平面 ABD ⊥ 平面 ABC
答案: D

C.平面 ABC ⊥ 平面 BDC
解析: 在四边形

B.平面 ADC ⊥ 平面 BDC D.平面 ADC ⊥ 平面 ABC

ABCD 中,AD ∥ BC,AD = AB,∠BCD = 45? ,∠BAD = 90?,所以 BD ⊥ CD,又平面 ABD ⊥ 平面 BCD,且平面 ABD ∩ 平面 BCD = BD,故 CD ⊥ 平面 ABD,则 CD ⊥ AB,又 AD ⊥ AB,故 AB ⊥ 平面 ADC ,所以平面 ABC ⊥ 平面 ADC .

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