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2011年玉祁高中高二数学解题竞赛试卷


2011 年玉祁高中高二数学解题竞赛试卷
一、选择题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.每小题有且只有一个正确选 项) 1. 已知 a, b, c 为三条不同的直线,且 a ?平面 M , b ? 平面 N , M
N ? c.

(1) 若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a 、 b 中的一条相交; (2) 若 a 不

垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直; (3) 若 a ∥ b ,则必有 a ∥ c ; (4) 若 a ? b , a ? c ,则必有 M ? N . 其中正确的命题的个数是 1 3 (A) 0 (B) (C)2 (D) [答] ( C ) 2 . 已 知 A(a, a2 ), B(b, b2 )(a ? b) 两 点 的 坐 标 满 足 a2 s i ?n? a

? c? os ,1
B)

b2 sin ? ? b cos? ? 1 ,记原点到直线 AB 的距离为 d,则其的取值范围适合(

(A) d ? 1

(B) d ? 1

(C) d ? 1

(D)不能确定 C)

3.长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB1=2 2 ,AD1= 17 。则 AC 的取值范围是( (A) 17 ? 2 ? AC ? 5 (C) 3 ? AC ? 5 (B) 3 ? AC ? 17 ? 2 2 (D)

17 ? 2 2 ? AC ? 17 ? 2 2

4.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线与此抛物线交于 P,Q 两点。那么,线段 PQ 中 点的轨迹方程是 ( B). (A) y 2 ? 2 x ? 1 (B) y 2 ? 2x ? 2 (C) y 2 ? ?2 x ? 1 (D) y 2 ? ?2 x ? 2

5. 四面体 S-ABC 中,三组对棱的长分别相等,且分别为 34 、 41 、5,则 此四面体的体积为 (A) 20 (B) ( A )

10 7

(C)

20 3

(D) 30

6. 一圆台的上底半径为 1cm ,下底半径为 2cm ,母线 AB 为 4cm ,现有一蚂蚁 从下底面圆周的 A 点, 绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆 周的 B 点爬行的最短路线是 (A). 2? 4? 2? 4? (A) 4 3 ? (B) 4 3 ? (C) 2 3 ? (D) 2 3 ? 3 3 3 3

二、填空题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分)

-1-

7.过点 M (1,1) 的直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于3,这样的直线有 条. 8.已知点 P 为椭圆 9.设椭圆

4

x2 ? y 2 ? 1 在第一象限部分上的点,则 x ? y 的最大值等于 2 3

x2 y2 3 ? 3? ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,已知点 P? 0, ? 到椭圆上的点的最远距 2 2 a b ? 2?

7 1 离是 ,则短半轴之长 b= 4 4

10. 如图,正四面体 ABCD 的棱长为 8 cm ,在棱 AB 、 CD 上各有一点 E 、 F , 若 AE ? CF ? 3 cm ,则线段 EF 的长为 11 . 如 图 , 已 知 椭 圆

34

cm .
E

A

x2 ? y 2 ? 1, DA ? AB, CB ? AB, 且 2

DA ? 3 2, CB ? 2 ,动点 P 在 AB 上移动,则 ?PCD 的面积 B
的最小值是

D

4? 6



C

F

12 已知每条棱长都为 3 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,∠ BAD=60°,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动,另一个 端点 N 在底面 ABCD 上运动.则 MN 中点 P 的轨迹与直平行六面体的 表面所围成的较小的几何体的体积为_____

D1 A1 B1

C1

2? 9

______.
A

P D B C

三、解答题(共 4 小题,满分 48 分) 14. (本题满分 15 分) 如图, 已知三棱锥 P—ABC, ∠ ACB=90° , CB=4, AB=20, D 为 AB 中点,M 为 PB 的中点,且△PDB 是正三角形,PA⊥ PC. (I)求证: DM // 平面 PAC ; (II)求证:平面 PAC⊥ 平面 ABC; (Ⅲ)若 M 为 PB 的中点,求三棱锥 M—BCD 的体积.

(1) 【证明】∵ △ PAB 中, D 为 AB 中点,M 为 PB 中点,∴DM // PA ∵ DM ? 平面 PAC ,PA ? 平面 PAC ,∴DM // 平面 PAC
-2-

(2) 【证明】∵ D 是 AB 的中点,△PDB 是正三角形,AB=20, 1 ∴PD ? DB ? AD ? AB ? 10. 2 ∴ △ PAB 是直角三角形,且 AP⊥ PB, 又∵ AP⊥ PC, PB ? PC ? P. ∴ AP⊥ 平面 PBC. ∴ AP⊥ BC. 又∵ AC⊥ BC, AP∩AC=A, ∴ BC⊥ 平面 PAC. ∵BC ? 平面ABC. ∴ 平面 PAC⊥ 平面 ABC. (3) 【解】由(1)知 DM // PA ,由(2)知 PA⊥ 平面 PBC, ∴ DM⊥ 平面 PBC. ∵ 正三角形 PDB 中易求得 DM ? 5 3 , 1 1 1 1 S?BCM ? S?PBC ? ? BC ? PC ? ? 4 ? 102 ? 42 ? 2 21. 2 2 2 4 ∴VM ? BCD ? VD ? BCM ?

1 ? 5 3 ? 2 21 ? 10 7 . 3

已知椭圆

x2 y2 ? ? 1的左、 右焦点分别为 F1 、F2 , 过 F1 的直线交椭圆于 A 、B 两点, 9 5

过 F2 的直线交椭圆于 C 、 D 两点,且 AB ? CD ,垂足为 P . (1)设 P 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,求
2 x0 y2 ? 0 的最值; 9 5

(2)求四边形 ACBD 的面积的最小值. 解: (1)由已知得 F1 (-2,0) , F2 (2,0) ,P F1 ⊥P F2 ,
2 2 ∴P ( x0 , y0 ) 满足 x 0 ? y0 ? 22 ,
2 2 x0 y0 4 4 2 x0 , ? ∴ y ? 4 ? x , 且0 ? x ? 4 ,∴ = ? 5 45 9 5

2 0

2 0

2 0

∴它的最小值为

4 4 ,最大值为 . 9 5 (2)若直线 AB 的斜率 k 存在且不为0,因 AB ? CD ,∴直线 AB 的方程为 1 y ? k(x ? 2) ,直线 CD 的方程为 y ? - (x ? 2) . k
-3-

联立

x2 y2 ? ? 1和 y ? k(x ? 2) ,消去 y 得: (9k2 ? 5) x 2 ? 36k 2 x ? 36k 2 ? 45 ? 0 , 9 5

? ? 302 (k 2 ? 1) ? 0 ,
设 A(x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ? ?

36k 2 36k 2 ? 45 x x ? , , 1 2 9k 2 ? 5 9k 2 ? 5

30(k2 ? 1) AB = ; 9k 2 ? 5
联立

x2 y2 1 ? ? 1和 y ? - (x ? 2) ,消去 y 得: (5k2 ? 9) x 2 ? 36x ? 36 ? 45k 2 ? 0 , k 9 5
k 2 ?1 ) ? 0, k2
36 36 ? 45k 2 x x ? , , 3 4 9 ? 5k 2 9 ? 5k 2

? ? 302 (

设 C(x3 , y3 ) , D( x4 , y 4 ) ,则 x 3 ? x 4 ? ?

CD =

30(k2 ? 1) ; 9 ? 5k 2

450 1 450(k 2 ? 1) 2 450(k 2 ? 1) 2 AB ? CD ? ? = , 2 2 2 49 2 (9k ? 5)(9 ? 5k ) ? (9k 2 ? 5) ? (9 ? 5k 2 ) ? ? ? 2 ? ? 当 k ? ?1 时等号成立. 1 10 450 ? 10 ? 当 k 为 0 或不存在时, S ACBD ? ? 6 ? ; 2 3 49 450 综上,四边形 ACBD 的面积的最小值为 . 49

S ACBD ?

15. (本题满分 12 分)椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别 a 2 b2

为 F1 、 F2 ,右顶点为 A , P 为椭圆 C 上任意一点.已知 PF1 ? PF2 的最大值为 3 , 最小值为 2 . (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点( M 、 N 不是左右 顶点) ,且以 MN 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐
-4-

标. 解:(1)
P 是椭圆上任一点,? | PF1 | ? | PF2 |? 2a 且 a ? c ?| PF1 |? a ? c ,

y ? PF1 ? PF2 ?| PF1 | | PF2 | cos ?F1PF2
1 ? [| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?4c 2 ] 2 1 ? [| PF1 |2 ?(| 2a ? | PF1 |) 2 ? 4c 2 ] 2

? (| PF1 | ?a)2 ? a2 ? 2c2 .
当 | PF1 |? a 时, y 有最小值 a 2 ? 2c 2 ;当 | PF2 |? a ? c 或 a ? c 时, y 有最大值
a2 ? c2 .

? a2 ? c2 ? 3 , ?? 2 2 ?a ? 2c ? 2

?a 2 ? 4 , ? 2 ?c ?1

b2 ? a 2 ? c 2 ? 3.

x2 y 2 ? 1. ? 椭圆方程为 ? 4 3

(2) 设 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得

(4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 .
? x1 ? x2 ? ?8km 4m2 ? 12 , x x ? . 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , y1 y2 ? k 2 x1x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ,
MN 为直径的圆过点 A ? AM ? AN ? 0 ,?7m2 ? 16km ? 4k 2 ? 0 ,

2 ? m ? ? k 或 m ? ?2k 都满足 ? ? 0 , 7

若 m ? ?2k 直线 l 恒过定点 (2, 0) 不合题意舍去,
2 2 2 若 m ? ? k 直线 l : y ? k(x ? ) 恒过定点 ( ,0) . 7 7 7

17. (本题满分 13 分)
?,199}, A ? {a1 , a2 , a3 ,?, a100 } ? I ,且 A 中元素满足:对任何 设 I ? {1,2,3,

-5-

1 ? i ? j ? 100,恒有 ai ? a j ? 200.
(1)试说明:集合 A 的所有元素之和必为偶数;
2 2 2 2 (2)如果 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 10002,试求 a1 的值. ? a2 ? a3 ? ? ? a100

?,199}的所有元素分组为 {1,199} {2,198} {99,101} 解: (1) 将集合 I ? {1,2,3, 、 、 ……、 、 {100},共 100 组;由已知得,集合 A 的 100 个元素只能从以上 100 个集合中各取一个元
素组成. ∵以上 100 个集合中,奇数同时出现,且含奇数的集合共 50 个, ∴集合 A 的所有元素之和必为偶数. (2)不妨设 a1 , a2 ,?, a99 为依次从以上前 99 个集合中选取的元素, a100 ? 100, 且记各集合的落选元素分别为 b1 , b2 ,?, b99 ,则 ai ? bi ? 200, (i ? 1,2,?,99) , 由于 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n =
2 2 2 2

n( n ? 1)( 2n ? 1) 6


2

2 2 2 2 (a12 ? a2 ? a3 ? ? ? a120 0 ) + (b12 ? b2 ? ? ? b99 )
2 2 2

= 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 199 =

199 (199 ? 1)( 2 ? 199 ? 1) =2646700,……① 6

19800 , 而 (a1 ? a2 ? ? ? a99 ) + (b1 ? b2 ? ? ? b99 ) = 200 ? 99=

(a1 ? a2 ? ? ? a99 ) =10002-100=9902,
∴ ∴

(b1 ? b2 ? ? ? b99 ) =19800-9902=9898
2 2 2 2 (a12 ? a2 ? a3 ? ? ? a120 0 ) - (b12 ? b2 ? ? ? b99 )
2 2 2 2

2 2 2 = (a1 ? b1 ) + (a2 ? b2 ) +…+ (a99 ? b99 ) + a100 2 = (a1 ? b1 )(a1 ? b1 ) + (a2 ? b2 )(a2 ? b2 ) +…+ (a99 ? b99 )(a99 ? b99 ) + a100

=200 [(a1

? a2 ? ? ? a99 ) - (b1 ? b2 ? ? ? b99 )] )+10000
……②
2 2 2 2

(9902 ? 9898) ? 10000= 10800 = 200

由①②得: (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ) =1328750 .

-6-


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