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第二章 点、直线、平面之间的位置关系 章末检测(人教A版必修2)


第二章 点、直线、平面之间的位置关系 章末检测
一、选择题 1.下列推理错误的是 A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB C.l?α,A∈l?A?α D.A∈l,l?α?A∈α 答案 C 解析 若直线 l∩α=A,显然有 l?α,A∈l,但 A∈α. 2.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 AB,A1D

1 所成的角等于 A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 D 解析 由于 AD∥A1D1,则∠BAD 是异面直线 AB,A1D1 所成的角,很明显∠BAD=90° . 3.下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 答案 C 解析 利用线面位置关系的判定和性质解答. A 错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但两条母线相交; B 错误,△ABC 的三个顶点中,A、B 在 α 的同侧,而点 C 在 α 的另一侧,且 AB 平行于 α,此时可有 A、B、C 三点到平面 α 距离相等,但两平面相交; D 错误,如教室中两个相邻墙面都与地面垂直,但这两个面相交,故选 C. 4.在空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EF,GH 交于一点 P,则 A.P 一定在直线 BD 上 B.P 一定在直线 AC 上 C.P 一定在直线 AC 或 BD 上 D.P 既不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上 答案 B ( ) ( ) ( ) ( )

解析

(如图),∵P∈HG,HG?面 ACD,

∴P∈面 ACD, 同理 P∈面 BAC, 面 BAC∩面 ACD=AC; ∴P∈AC,选 B. 5.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A.①和② C.③和④ 答案 D 解析 当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对;由 平面与平面垂直的判定定理可知②正确; 空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也 可以异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与 另一个平面垂直,故④正确. 6. 已知平面 α⊥平面 β, α∩β=l, 点 A∈α, A?l, 直线 AB∥l, 直线 AC⊥l, 直线 m∥α, m∥β, 则下列四种位置关系中,不一定成立的是 A.AB∥m C.AB∥β 答案 D 解析 ∵m∥α,m∥β,α∩β=l, ∴m∥l. ∵AB∥l,∴AB∥m.故 A 一定正确. ∵AC⊥l,m∥l,∴AC⊥m. 从而 B 一定正确. ∵A∈α,AB∥l,l?α,∴B∈α. ∴AB?β,l?β.∴AB∥β. 故 C 也正确. B.AC⊥m D.AC⊥β ( ) B.②和③ D.②和④ ( )

∵AC⊥l,当点 C 在平面 α 内时,AC⊥β 成立, 当点 C 不在平面 α 内时,AC⊥β 不成立. 故 D 不一定成立. 7.如图(1)所示,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点,D 是 EF 的中点, 现在沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1,G2,G3 三点重合,重合后 的点记为 G,如图(2)所示,那么,在四面体 S-EFG 中必有 ( )

A.SG⊥△EFG 所在平面 B.SD⊥△EFG 所在平面 C.GF⊥△SEF 所在平面 D.GD⊥△SEF 所在平面 答案 A 解析 ∵四边形 SG1G2G3 是正方形,∴SG1⊥G1E,EG1⊥G2F,FG3⊥SG3.当正方形折成 四面体之后,上述三个垂直关系仍保持不变,EG,GF 成为四面体的面 EGF 的相邻两条 边,因此,在四面体 S-EFG 中侧棱 SG⊥GE,SG⊥GF,∴SG⊥平面 EFG. 8. 如图所示, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 若 E 是 A1C1 的中点, 则直线 CE 垂直于 ( )

A.AC 答案 B

B.BD

C.A1D

D.A1D1

解析 证 BD⊥面 CC1E,则 BD⊥CE.

9. 如图所示, 将等腰直角△ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角, 此时∠B′AC=60° , 那么这个二面角大小是 ( )

A.90° C.45° 答案 A

B.60° D.30°

解析 连接 B′C,则△AB′C 为等边三角形,设 AD=a,

则 B′C=AC= 2a,B′D=DC=a,所以∠B′DC=90° .

10.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是 A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 答案 D 解析

(

)

由于 BD∥B1D1,易知 BD∥平面 CB1D1;连接 AC,易证 BD⊥面 ACC1,所以

AC1⊥BD;同理可证 AC1⊥B1C,因 BD∥B1D1,所以 AC1⊥B1D1,所以 AC1⊥平面 CB1D1; 对于选项 D,∵BC∥AD,∴∠B1CB 即为 AD 与 CB1 所成的角,此角为 45° ,故 D 错.

11.如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A. C. 6 3 15 5 2 6 B. 5 D. 10 5 ( )

答案 D 解析

连接 A1C1 交 B1D1 于点 O1, 由 AB=BC, 得 A1C1⊥B1D1, 又 A1C1⊥BB1, 故 A1C1⊥面 BB1D1D, 连接 O1B,则∠O1BC1 即为 BC1 与面 BB1D1D 所成的角, 1 2 O1C1= A1C1= 2,BC1= BB2 1+B1C1= 5, 2 O1C1 2 10 ∴sin∠O1BC1= = = . BC1 5 5 12.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A.2 答案 D 解析 方法一 利用转化法求解. 如图, B. 3 C. 2 D.1 ( )

连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OE. ∵O,E 分别为 AC,CC1 的中点, ∴OE∥AC1. 而 AC1?平面 BED,OE?平面 BED, ∴AC1∥平面 BED. 又由正四棱柱的性质知 BD⊥AC,BD⊥CC1, 而 AC∩CC1=C,∴BD⊥平面 ACC1.

又 BD?平面 BED,∴平面 BED⊥平面 ACC1. ∴直线 OE 与 AC1 间的距离即为直线 AC1 与平面 BED 的距离. 1 分别过 C,E 作 AC1 的垂线,垂足为 F,P,则 EP 即为所求,且 EP 平行且等于 CF. 2 在 Rt△ABC 中,AC= AB2+BC2=2 2. 在 Rt△ACC1 中,
2 2 AC1= AC2+CC2 1= ?2 2? +?2 2? =4.

1 1 由 AC1· CF= AC· CC1 得 CF=2, 2 2 1 ∴EP= CF=1. 2 即直线 AC1 与平面 BED 的距离为 1. 方法二 利用转化法及等体积法求解. 如图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OE.

∵O,E 分别为 AC,CC1 的中点, ∴OE∥AC1. 而 AC1?平面 BED,OE?平面 BED, ∴AC1∥平面 BED. 又由正四棱柱的性质知 BD⊥AC,BD⊥CC1, 而 AC∩CC1=C,∴BD⊥平面 ACC1. 又 BD?平面 BED,∴平面 BED⊥平面 ACC1. ∴直线 AC1 与平面 BED 的距离即为点 A 与平面 BED 的距离,设此距离为 h, 由 VA-BED=VE-ADB 得 1 1 S · h= S△ADB· EC. 3 △BED 3 1 由题意知 AB=AD=2,∴S△ADB= ×2×2=2. 2 又 BC=2,CE= 2,∴BE= 22+? 2?2= 6. 同理可求得 DE= 6,∴OE⊥BD. 在 Rt△ABD 中,BD= AB2+AD2=2 2,∴OB= 2.

在 Rt△BOE 中,OE= BE2-OB2=2. 1 1 ∴S△BED= BD· OE= ×2 2×2=2 2. 2 2 1 1 ∴由 S△BED· h= S△ADB· EC,得 h=1. 3 3 ∴直线 AC1 与平面 BED 的距离为 1. 二、填空题 13.设平面 α∥平面 β,A、C∈α,B、D∈β,直线 AB 与 CD 交于点 S,且点 S 位于平面 α, β 之间,AS=8,BS=6,CS=12,则 SD=________. 答案 9 AS CS 解析 由面面平行的性质得 AC∥BD, = , BS SD 解得 SD=9. 14.下列四个命题:①若 a∥b,a∥α,则 b∥α;②若 a∥α,b?α,则 a∥b;③若 a∥α,则 a 平行于 α 内所有的直线;④若 a∥α,a∥b,b?α,则 b∥α. 其中正确命题的序号是________. 答案 ④ 解析 ①中 b 可能在 α 内;②a 与 b 可能异面;③a 可能与 α 内的直线异面.

15.如图所示,在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,当底面四边形 A1B1C1D1 满足条件________ 时,有 A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况). 答案 B1D1⊥A1C1(答案不唯一) 解析 由直四棱柱可知 CC1⊥面 A1B1C1D1, 所以 CC1⊥B1D1, 要使 B1D1⊥A1C, 只要 B1D1⊥ 平面 A1CC1,所以只要 B1D1⊥A1C1,还可以填写四边形 A1B1C1D1 是菱形,正方形等条件.

16.如图所示,已知矩形 ABCD 中,AB=3,BC=a,若 PA⊥平面 AC,在 BC 边上取点 E, 使 PE⊥DE,则满足条件的 E 点有两个时,a 的取值范围是________. 答案 a>6 解析 由题意知:PA⊥DE, 又 PE⊥DE,PA∩PE=P,

所以 DE⊥面 PAE, ∴DE⊥AE. 易证△ABE∽△ECD. 设 BE=x, 则 即 AB BE = , CE CD 3 x = . 3 a-x

∴x2-ax+9=0,由 Δ>0, 解得 a>6. 三、解答题 17.如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 AB、A1D1 的中点,判断 MN 与平 面 A1BC1 的位置关系,为什么?



直线 MN∥平面 A1BC1,M 为 AB 的中点,

证明如下: ∵M ? 平面 A1BC1,N ? 平面 A1BC1. ∴MN?平面 A1BC1.

如图,取 A1C1 的中点 O1, 连接 NO1、BO1. 1 ∵NO1 平行且等于 D1C1, 2 1 MB 平行且等于 D1C1, 2 ∴NO1 平行且等于 MB. ∴四边形 NO1BM 为平行四边形.∴MN∥BO1. 又∵BO1?平面 A1BC1, ∴MN∥平面 A1BC1.

18.ABCD 与 ABEF 是两个全等正方形,AM=FN,其中 M∈AC,N∈BF.求证:MN∥平面 BCE. 证明 方法一 如图所示,连接 AN,延长交 BE 的延长线于 P,连接 CP.

FN AN ∵BE∥AF,∴ = , NB NP 由 AC=BF,AM=FN 得 MC=NB. ∴ FN AM AM AN = .∴ = , NB MC MC NP

∴MN∥PC,又 PC?平面 BCE. ∴MN∥平面 BCE.

方法二 如图,作 MG⊥AB 于 G,连接 GN,转证面 MNG∥面 CEB. ∵MG∥BC,只需证 GN∥BE. AM MC ∵MG∥BC,∴ = . AG GB 又 AM=FN,AC=BF, ∴ AM FN NB = = . AG AG GB

∴GN∥AF∥BE.∴面 MNG∥面 BCE. 又 MN?面 MNG,∴MN∥面 BCE.

19.如图,

在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB =2,AD=2 2,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小. 解 (1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD.

又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. 因为 PD= 22+?2 2?2=2 3,CD=2, 1 所以三角形 PCD 的面积为 ×2×2 3=2 3. 2 (2)如图,

取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角. 在△AEF 中,由 EF= 2,AF= 2,AE=2 知△AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF=45° . 因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 45° .

20.如图所示,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO⊥底面 ABCD,底面边长为 a,E 是 PC 的中点. (1)求证:PA∥面 BDE; (2)求证:平面 PAC⊥平面 BDE; (3)若二面角 E-BD-C 为 30° ,求四棱锥 P-ABCD 的体积. (1)证明 连接 OE,如图所示.

∵O、E 分别为 AC、PC 的中点,∴OE∥PA. ∵OE?面 BDE,PA?面 BDE,∴PA∥面 BDE. (2)证明 ∵PO⊥面 ABCD,∴PO⊥BD. 在正方形 ABCD 中,BD⊥AC, 又∵PO∩AC=O,∴BD⊥面 PAC. 又∵BD?面 BDE,∴面 PAC⊥面 BDE. (3)解 取 OC 中点 F,连接 EF.∵E 为 PC 中点, ∴EF 为△POC 的中位线,∴EF∥PO. 又∵PO⊥面 ABCD,∴EF⊥面 ABCD. ∵OF⊥BD,∴OE⊥BD. ∴∠EOF 为二面角 E-BD-C 的平面角,∴∠EOF=30° . 1 1 2 在 Rt△OEF 中,OF= OC= AC= a, 2 4 4 ∴EF=OF· tan 30° = ∴OP=2EF= 6 a. 6 6 a, 12

1 6 6 ∴VP-ABCD= ×a2× a= a3. 3 6 18 21.如图,

四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD,AC=2 2,PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC. (1)证明:PC⊥平面 BED; (2)设二面角 A-PB-C 为 90° ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. (1)证明 因为底面 ABCD 为菱形, 所以 BD⊥AC.

又 PA⊥底面 ABCD,所以 PC⊥BD. 如图,

设 AC∩BD=F,连接 EF. 因为 AC=2 2,PA=2,PE=2EC, 2 3 故 PC=2 3,EC= ,FC= 2, 3 PC AC 从而 = 6, = 6. FC EC PC AC 因为 = ,∠FCE=∠PCA, FC EC 所以△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90° . 由此知 PC⊥EF. 因为 PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直, 所以 PC⊥平面 BED. (2)解 在平面 PAB 内过点 A 作 AG⊥PB,G 为垂足.

因为二面角 A-PB-C 为 90° , 所以平面 PAB⊥平面 PBC. 又平面 PAB∩平面 PBC=PB, 故 AG⊥平面 PBC,AG⊥BC. 因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA,AG 都垂直, 故 BC⊥平面 PAB,于是 BC⊥AB, 所以底面 ABCD 为正方形,AD=2, PD= PA2+AD2=2 2. 设 D 到平面 PBC 的距离为 d. 因为 AD∥BC,且 AD?平面 PBC,BC?平面 PBC, 故 AD∥平面 PBC,A、D 两点到平面 PBC 的距离相等, 即 d=AG= 2. d 1 设 PD 与平面 PBC 所成的角为 α,则 sin α= = . PD 2 所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30° .


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