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2012年江西省高中数学联赛预赛试题


2012 年江西省高中数学联赛预赛试题 一、 1. 椭圆52 + 32 = 1的内接正方形面积是____________。 填空题(共 8 小题,每小题 8 分,计 64 分)
2 2

2. 如 果 两个 锐角, 满 足(sin + cos )(sin + cos ) = 2, 则(sin 2 + cos 3)2 + (sin 2 + c

os 3)2 =___________.

5. 函数 = (1 + √1 ? 2 )的最大值是_________. 6. 三个互异正整数, , 构成等比数列,其和为 111,则{, , } =_________. 7. 将各位数字之和为 5 的正整数按自小到大的顺序排成一个数列, 2012 是其中的第 则 ___________项。 8. 我们注意到,182 = 324, 242 = 576,它们分别由三个连续数码2,3,4以及5,6,7经适当 排列而成;而662 = 4356则是由四个连续数码3,4,5,6适当排列而成;那么下一个这 种平方数是:____________. y 二、 解答题(共 4 题,合计 86 分) 9. (18 分) 如图, 抛物线 = 2 的顶点为, 是 A 过焦点的一条长度为2的弦,是的中垂线 D 与轴的交点;求四边形的面积。 C 10. (18 分)数列{ }定义如下:1 = 1,对于每 F 个 ∈ , 4+1 , 4+2 , 4+3 , 构成等差数列, 其 B 公差为 2,而4+3 , 4+4 , 4+5 构成等比数列, 最小上界。 11. (25 分) 证明: 对每个正整数, 存在正整数(), 使 得 能 将 前 () 个 正 整 数 所 排 成 的 数 列 1,2, ? , ()顺次分成为这样的段,其中每一段 的各数之和皆为平方数。 12. (25 分)如图,锐角△中,是高线上的 任意一点, 交于, 交于, 交于 ,过点的一直线与, , , 相交,交点 分别为, , , ,证明:∠ = ∠. 其公比为2。证明:{ }为有界数列,并求出其
1

3. 正三棱锥 ? 的底面△的边长皆为 6, 各侧棱长皆为 5, 点是侧面△的 内心,则四面体 ? 的体积是____________. 4. 若实数, , 满足 + + = 2 + 2 + 2 ,则 + + 的最大值是_________.

O

x

A

F G M Q T N E P

B

D

C


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