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解析几何综合题解题思路案例分析


解析几何综合题解题思路案例分析

解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体, 综 合函数、不等式、三角、数列等知识,所涉及到的知识点较多,对解题能力考查的层次要求 较高,考生在解答时,常常表现为无从下手,或者半途而废。据此笔者认为:解决这一类问 题的关键在于:通观全局,局部入手,整体思维. 即在掌握通性通法的同时,不应只形成一

个一个的解题套路,解题时不加分析,跟着感觉走,做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把 握,从微观上去突破,在审题和解题思路的整体设计上下功夫,不断克服解题征途中的道道 运算难关. 1 判别式----解题时时显神功 案例 1 已知双曲线 C :

y2 x2 ? ? 1, 直线 l 过点 A 2 ,0 , 斜率为 k , 当 0 ? k ? 1 时, 2 2

?

?

双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标。 分析 1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研 究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点 B 作与 l 平行的直线, 必与双曲线 C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 ? ? 0 . 由此出发,可设计如下解题思路:

l : y ? k(x ? 2)

?0 ? k ? 1?
2

直线 l’在 l 的上方且到直线 l 的距离为

l ': y ? kx ? 2k 2 ? 2 ? 2k
把直线 l’的方程代入双曲线方程,消去 y,令判别式 ?

?0

解得k的值
解题过程略. 分析 2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅 有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ” ,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:
问题

kx ? 2 ? x 2 ? 2 k
关于 x 的方程

k 2 ?1

? 2

?0 ? k ? 1? 有唯一解

转化为一元二次方程根的问题 求解 1

简解:设点 M ( x, 2 ? x 2 ) 为双曲线 C 上支上任一点,则点 M 到直线 l 的距离为:

kx ? 2 ? x 2 ? 2k k 2 ?1
2

? 2

?0 ? k ? 1?

???

于是,问题即可转化为如上关于 x 的方程. 由于 0 ? k ? 1 ,所以 2 ? x ? x ? kx ,从而有

kx ? 2 ? x 2 ? 2k ? ?kx ? 2 ? x 2 ? 2k.
于是关于 x 的方程 ???

? ? kx ? 2 ? x 2 ? 2k ? 2(k 2 ? 1)
? 2 ? x 2 2 ? ( 2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx) 2 , ? ?? 2 ? ? 2(k ? 1) ? 2k ? kx ? 0 ? k 2 ? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ? ? ?? 2 ? ? 2(k ? 1) ? 2k ? kx ? 0.
由 0 ? k ? 1 可知: 方程 k ? 1 x ? 2k
2 2

?

?

?

?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0,

?

2

?

?

? 2(k ?

2

? 1) ? 2k x ?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0 的二根同正,

?

2

2 故 2( k ? 1) ? 2k ? kx ? 0 恒成立,于是 ??? 等价于

?k

2

? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0 .

?

2

由如上关于 x 的方程有唯一解,得其判别式 ? ? 0 ,就可解得

k?

2 5 . 5

点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的 优越性. 2 判别式与韦达定理-----二者联用显奇效

案例 2

2 y? 8 已知椭圆 C: x ? 和点 P(4,1) ,过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点,
2 2

在线段 AB 上取点 Q,使

AP AQ ?? ,求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程. PB QB

分析: 这是一个轨迹问题, 解题困难在于多动点的困扰, 学生往往不知从何入手。 其实, 应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此, 首先是选定参数, 然后想方设法将点 Q 的横、

2

纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的. 由于点 Q( x, y ) 的变化是由直线 AB 的变化引起的,自然可选择直线 AB 的斜率 k 作为参 数, 如何将 x , y 与 k 联系起来?一方面利用点 Q 在直线 AB 上; 另一方面就是运用题目条件:

AP AQ 4( x A ? x B ) ? 2 x A x B 来转化.由 A、B、P、Q 四点共线,不难得到 x ? ,要建 ?? PB QB 8 ? ( x A ? xB )
立 x 与 k 的关系,只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程,利用韦达定理即可. 通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做 到心中有数.

AP PB

??

AQ QB

x?

4( x A ? x B ) ? 2 x A x B 8 ? ( x A ? xB )
将直线方程代入椭圆方程,消去 y,利用韦达定理

x ? f ?k ?
利用点 Q 满足直线 AB 的方程:y = k (x—4)+1,消去参数 k

点 Q 的轨迹方程 在得到 x ? f ?k ? 之后,如果能够从整体上把握,认识到:所谓消参,目的不过是得到 关于 x , y 的方程(不含 k) ,则可由 y ? k ( x ? 4) ? 1 解得 k ? 可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 简解:设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y 2 ), Q( x, y) ,则由

y ?1 ,直接代入 x ? f ?k ? 即 x?4

4 ? x1 x ? x1 AP AQ ?? 可得: , ? PB QB x2 ? 4 x2 ? x
(1)

解之得: x ?

4( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 8 ? ( x1 ? x2 )

设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 4) ? 1 ,代入椭圆 C 的方程,消去 y 得出关于 x 的一 元二次方程:

?2k

2

? 1 x 2 ? 4k (1 ? 4k ) x ? 2(1 ? 4k ) 2 ? 8 ? 0

?

(2)

3



4k (4k ? 1) ? x1 ? x 2 ? , ? ? 2k 2 ? 1 ? 2 ? x x ? 2(1 ? 4k ) ? 8 . 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
4k ? 3 . k?2
(3)

代入(1) ,化简得: x ?

与 y ? k ( x ? 4) ? 1 联立,消去 k 得: ?2 x ? y ? 4?( x ? 4) ? 0. 在(2)中,由 ? ? ?64k ? 64k ? 24 ? 0 ,解得
2

2 ? 10 2 ? 10 ,结合(3) ?k? 4 4

可求得

16 ? 2 10 16 ? 2 10 ?x? . 9 9


故知点 Q 的轨迹方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0

16 ? 2 10 16 ? 2 10 ). ?x? 9 9

点评:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、 韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而 “引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 3 求根公式-----呼之欲出亦显灵 设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆

案例 3 取值范围.

x2 y2 AP 的 ? ? 1 顺次交于 A、B 两点,试求 PB 9 4
AP x = ? A ,但从此后却一筹莫展, 问题的 PB xB

分析:本题中,绝大多数同学不难得到:

根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所 求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程) ,这只需利用对应的思想实施; 其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 分析 1: 从第一条想法入手,

AP x = ? A 已经是一个关系式,但由于有两个变量 PB xB

x A , x B ,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第 3 个变量——直线 AB 的斜
率 k. 问题就转化为如何将 x A , x B 转化为关于 k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆 方程,消去 y 得出关于 x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.

4

把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 求根公式 xA= f(k) ,xB = g(k)

AP/PB = —(xA / xB)
得到所求量关于 k 的函数关系式 由判别式得出 k 的取值范围 所求量的取值范围

简解 1:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得

AP 1 ?? ; PB 5

当 l 与 x 轴不垂直时,设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y2 ) ,直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭 圆方程,消去 y 得

?9k
解之得

2

? 4 x 2 ? 54kx ? 45 ? 0

?

x1, 2

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 ? . 9k 2 ? 4

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k ? 0 的情形. 当 k ? 0 时, x1 ?

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 ? 27k ? 6 9k 2 ? 5 , , x ? 2 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4
.

所以

x ? 9k ? 2 9k 2 ? 5 18k 18 AP =1 ? =1 ? ?? 1 = PB x 2 9k ? 2 9k 2 ? 5 9k ? 2 9 k 2 ? 5 9?2 9? 5

k2

由 所以

? ? (?54k ) 2 ? 180 9k 2 ? 4 ? 0 , 解得 k 2 ?
?1 ? 1? 18 9?2 9? 5 k2 1 ?? , 5

?

?

5 , 9

综上

?1 ?

AP 1 ?? . PB 5

分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根 源. 由判别式值的非负性可以很快确定 k 的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与 k 联 系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原

5

因在于

x AP ? ? 1 不是关于 x1 , x 2 的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有 PB x2

了,即我们可以构造关于 x1 , x 2 的对称关系式.
把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程, 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f(k) ,xA xB = g(k) AP/PB = —(xA / xB) 构造所求量与 k 的关系式 由判别式得出 k 的取值范围 关于所求量的不等式

简解 2:设直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆方程,消去 y 得

?9k


2

? 4 x 2 ? 54kx ? 45 ? 0

?

(*)

? 54k ? x1 ? x 2 ? 2 , ? ? 9k ? 4 ? ? x x ? 45 . 1 2 ? 9k 2 ? 4 ?



x1 1 324k 2 . ? ? ,则, ? ? ? 2 ? ? x2 45k 2 ? 20
2

在(*)中,由判别式 ? ? 0, 可得 k ?

5 , 9

从而有

4?

324k 2 36 ? , 2 45k ? 20 5
1

所以 解得

4???

?

?2?

36 , 5

1 ? ? ? 5. 5 1 结合 0 ? ? ? 1 得 ? ? ? 1 . 5 AP 1 ?? . 综上, ? 1 ? PB 5
6

点评:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界 性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解 法. 解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会 被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运 筹帷幄,方能决胜千里.

7


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