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三角函数综合测试题(含答案)


三角函数综合测试题
一.选择题 1、若点 P 在 A. (1,

10.在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 ,
?

AB ? 5 , BC ? 7 ,则 ?ABC 的面积 S=_________
_______.

王新敞
奎屯

新疆

/>2? 3

的终边上,且 OP=2,则点 P 的坐标( B. (



11.已知 sin? D. (?1,

1 ? , cos(? ? ? ) ? ?1, 则 sin(2? ? ? ) ? 3

3)

3,?1)

C. (?1,?

3)

3)

12. ΔABC 的三内角 角 C 的大小为 13.函数

? ? ? ? ? ? A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则
_______. __________.

2、已知 sin ?

5 ? cos ? ? ? , 则 sin ? cos ? ? ( 4
B. ?



A.

7 4

9 16

C. ?

9 32

D.

9 32

y ? cos( ? 2 x) ? cos 2 x 的最小正周期为 3
? sin x 与 y ? sin x 的图像关于 y 轴对称;

?

14.关于三角函数的图像,有下列命题: ①y ③y ②y

? 3、下列函数中,最小正周期为 的是( ) 2 ? ? ? A. y ? sin( 2 x ? ) B. y ? tan( 2 x ? ) C. y ? cos( 2 x ? ) 3 3 6 1 4、 cos ? ? ,? ? (0, ? ), 则 cos( ? ? 2? )等于 ( ) 3
A. ?

? cos(? x) 与 y ? cos x 的图像相同;

D.

y ? tan( 4 x ?

?
6

? sin x 与 y ? sin(? x) 的图像关于 y 轴对称;④ y ? cos x 与 y ? cos(? x) 的图像关于轴对称;
___________.

)

其中正确命题的序号是

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 15. 已知一扇形的中心角为 ? ,其所在的圆的半径为 R. (1)若 ?

4 2 9

B.

4 2 9

C. ?

7 9

D.

7 9
)

? 600 ,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;

(2)若扇形的周长为定值 16. 已知函数

p ,当 ? 为多少弧度时,该扇形有最大的面积?这一最大面积是多少?
3 1 ,最小值为 ? ,求函数 y ? ?4a sin 3bx 的单调区间、最 2 2

5、将函数 A. ?

y ? sin 4 x 的图象向左平移

? 12
?

B. ?

?
3

? 个单位,得到 y ? sin(4 x ? ? ) 的图象,则 ? 等于( 12 ? ? C. D. 3 12
)

y ? a ? b cos 3x(b ? 0) 的最大值为

大值和最小正周期. 17. 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? )

?

?

?

6、 tan70

? tan50? ? 3 tan70? tan50? 的值等于(
B.

(1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? D. ?

?

?

?

? ? ) 的值;

A.

3

3 3

C. ?

3 3

3

? ? (2)求 | b ? c | 的最大值;
(3)若 tan ?

7.在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. ?ABC 中, A. 4

? ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥b .
c 1 ? ? 3 ,求 ? A 和 tan B 的值. b 2

18. 在 ?ABC 中, ?A、?B、?C 所对的边长分别为 a、b、c , 设 a、b、c 满足条件 b
2

A?

?

3

,BC=3,则 ?ABC 的周长为( B. 4

) D. 6 sin? B ?

? c 2 ? bc ? a 2 和

? 3 sin ? B ? ? ? 3 3? ?
?
4

??

?? ?? ? ? 3 sin ? B ? ? ? 3 C. 6 sin? B ? ? ? 3 6? 3? ? ?

? ?

??

??3 6?

19. 在 ΔABC 中,已知 AB ? 20. 设锐角三角形

4 6 6 , cos B ? ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sinA 的值. 3 6

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上) 9.已知 sin(

ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A .

? x) ?

3 ,则 sin 2x 的值为 5

; 1

(Ⅰ )求 B 的大小; (Ⅱ )求 cos A ? sin C 的取值范围.

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一.选择题 1 2 3 4 5 6 7 8

二.填空题 9 12 三.简答题 10 13 11 14

2

1~8 DCBDCDCD 9. ?

18.解:由余弦定理 cos A ? 11. ?

7 25

10.

15 3 4

1 3

12.

? 3

13. ?

b2 ? c2 ? a2 1 ? ,因此, ?A ? 60? 2bc 2
1 c sin C sin(120 ? ? B) ? 3? ? ? 2 b sin B sin B

14.② ④
0

在△ABC 中,∠ C=180° ∠ - A-∠ B=120° ∠ - B. 由已知条件,应用正弦定理

10 ? (cm ) , 15.(1)设弧长为 l ,弓形面积为 S弓 ,则∵? ? 60 ? ,R=10,∴l ? 3 3

?

1 10? 1 ? ? 3 S弓 ? S扇 ? S ? ? ? ? 10 ? ? 102 sin ? 50( ? )(cm2 ) ; 2 3 2 3 3 2
(2)∵ 扇形周长 p ? 2 R ? l ? 2 R ? ? R ,∴R ?
2 1 ∴S ? 1 ? R 2 ? 1 ? ( p ) 2 ? p ? , 扇 2 2 2 ?? 2 4 ?? ? 4 ?

?

1 sin 120? cos B ? cos120? sin B 3 1 ? cot B ? , 解得 cot B ? 2, 从而 tan B ? . 2 sin B 2 2

p , 2 ??

19.解:设 E 为 BC 的中点,连接 DE,则 DE//AB,且 DE ?
2 2 2

1 2 6 ,设 BE=x AB ? 2 3

王新敞
奎屯

新疆

在 ΔBDE 中利用余弦定理可得: BD ? BE ? ED ? 2BE ? ED cos BED ,

p2 p2 4 由 ? ? ? 4 ,得 S扇 ? ,∴ 当且仅当 ? ? ,即 ? ? 2 时,扇形取得最大面积 . ? ? 16 16
4
3 ? 1 ? ?a ? b ? 2 , ?a ? , ? 16.[解答]由已知条件得 ? 解得 ? 2 ∴ y ? ?2 sin 3x , ?b ? 1; ?a ? b ? ? 1 ; ? ? 2 ?

7 8 2 6 6 5 ? x2 ? ? 2 ? ? x ,解得 x ? 1 , x ? ? (舍去) 3 3 3 6
2 2 2 故 BC=2,从而 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos B ?

王新敞
奎屯

新疆

2 21 30 28 ,即 AC ? 又 sin B ? , 3 3 6
王新敞
奎屯 新疆

2? 其最大值为 2,最小正周期为 , 3 ? 2k? ? 2k? 在区间[ ? ? ]( k ? Z )上是增函数, , ? 6 3 6 3 ? 2k? ? 2k? 在区间[ ? ]( k ? Z )上是减函数. , ? 6 3 2 3

2 ? 故 sin A

2 21 3 , sin A ? 70 14 30 6

王新敞
奎屯

新疆

20.解: )由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? (Ⅰ 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ? (Ⅱ cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? )

1 , 2

π . 6

? ?

? ? ?? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ?6 ?

1 3 ?? ? ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . 2 2 3? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知, 17.
3

? ? ? ? ? ? ?A? ?B, ?B? ? ? . 2 2 2 2 6 3

2? ? ? 1 ? ?? 3 ? A ? ? ,所以 sin ? A ? ? ? . 3 3 6 2 ? 3? 2
由此有

3 ?? 3 ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 ?
? 3 3? ? 2 , ?. 2? ? ?

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

4


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