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3 数学-阜宁中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学(文)试题


2013~2014 年度秋学期期中考试 高二数学(文)试卷
分值:160 分 时间:120 分钟
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需写出解答过程.请把答案直接填写在 答案卷上. ....

是 “ 对 任 意 x ?R , 有 a x2 ? b x ? c ? 0 ” 的 充 要 条 件 。 在 上 述

命 题 中 , 正 确 命 题 的 序 号 是 ▲ .? 13. 已知 A, B 是椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 和双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的公共顶点。 P 是 a2 b a b ??? ??? ? ? ???? ???? ? ? 双曲线上的动点, 是椭圆上的动点 P, M 都异于 A, B ) 且满足 AP ? BP ? ? AM ? BM , ( , M

?

?

1 1. 抛物线 y ? x 2 的焦点坐标是 ▲ . 4 2. 已知命题 p :“正数 a 的平方不等于 0”,命题 q :“若 a 不是正数,则它的平方等于 0”,则 p 是 q
的 ▲ .(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”“否定”中的一个) 3. 已知 x, y, z ? R ,则“ lg y 为 lg x,lg z 的等差中项”是“ y 是 x, z 的等比中项”的 ▲ 条件.

其中 ? ? R , 设直线 AP, BP, AM , BM 的斜率分别记为 k1 , k2 , k3 , k4 , k1 ? k2 ? 5, 则 k3 ? k4 ? 若 ▲ . 14. 若对满足条件 x ? y ? 3 ? xy( x ? 0, y ? 0) 的任意 x, y, ? x ? y ? ? a ? x ? y? ? 30 ? 0 恒成立,则
2

实数 a 的最大值是



.

4. 已知关于 x 的不等式 x2 ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 5. 下列命题:① ?x ? R,lg x ? 0 ;② ?x ? R, tan x ? 1;③ ?x ? R, x2 ? 0 ;④ ?x ? R,2x ? 0 , 其中真命题的个数是 ▲ . 2 2 y 6. 设双曲线 x 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的实轴长为 2,焦点到渐近线的距离为 2 ,则双曲线的渐近线 a b 方程为 ▲ . ? x ≤ ?1, ? 7. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ≤ 0, 则目标函数 z ? 3x ? y 的最小值为 ▲ . ? x ? 3 y ? 4 ≤ 0, ? 8. 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线交于 A, B 两点, ▲ . AB ? 3 ,则 C 的实轴长为 3 2 9. 若关于 x 的不等式 a ? x ? 3x ? 4 ? b 的解集恰好是 ?a, b ? ,则 a ? b 的值为 4 10. 如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 轨 进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在 P 点第二次变 轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进 入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的 焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: c c ① a1 ? c1 ? a2 ? c2 ;② a1 ? c1 ? a2 ? c2 ;③ c1a2 ? a1c2 ;④ 1 ≤ 2 . a1 a2 其中正确式子的序号是 ▲ . 11. 已知椭圆 C 的标准方程为

二、解答题:本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,并请 将答案写在答题纸相应的位置上. 15. (本小题满分 14 分) 已知 p : x ? a ? 4; q : ? x ? 2 ?? 3 ? x ? ? 0 , (1)试用集合 A, B 分别表示 p, q 为真时对应的 x 的取值范围. (2)若非 p 是非 q 的充分不必要条件,则求 a 的取值范围.



.

16. (本小题满分 14 分)

2 在区间 ?1, ?? ? 上是减函数;命题 q : x , x 是方程 x2 ? ax ? 2 ? 0 的两个实 1 2 x?m 2 ? 根,不等式 m ? 5m ? 3≥ x1 ? x2 对任意实数 a ? ? ?1,1? 恒成立. 若 p ? q 为真,试求实数 m 的取值
范围.

设命题 p : f ? x ? ?

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,且 c ? a 2 ? b 2 , A 点坐标 (0, b) , B 点坐 2 a b 标 (0,?b) , F 点坐标 (c,0) , T 点坐标 (3c,0) ,若直线 AT 与直线 BF 的交点在椭圆上,则椭圆的

▲ 离心率为 . 12. 下列命题中:①若 p、q 为两个命题,则“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的必要不充分条件;②若 p 为: ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ,则 ? p 为: ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ;③若椭圆
2 2

x2 y 2 =1 的两焦点 ? 16 25

b c ④若 a、 、 是常数, a ? 0 且 b2 ? 4 a c ? 0 ” 为 F1 , F2 , 且弦 AB 过 F1 点, 则△ ABF2 的周长为 20; 则“

17. (本小题满分 15 分)

已知长轴在 x 轴上的椭圆的离心率 e ? 1 ,且过点 1, 3 .

2

? 2?

(1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上任意一点, F1、F2 是椭圆的左、右焦点,求 PF1 ? PF2 的最大值;

19. (本小题满分 16 分) 已知 f ? x ? ? lg ? x ? 1? , g ? x ? ? 2lg ? 2 x ? t ? . ⑴当 t ? ?1 时,解不等式 f ? x ? ≤ g ? x ? ; ⑵如果 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ≤ g ? x ? 恒成立,求实数 t 的取值范围.

18. (本小题满分 15 分) 某森林出现火灾,火势正以每分钟 100m2 的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防队员前 去,在火灾发生后 5 分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 50m2,所消耗的 灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费 用平均每人 100 元,而烧毁一平方米森林损失费为 60 元. (1)设派 x 名消防队员前去救火,用 t 分钟将火扑灭,试建立 t 与 x 的函数关系式; (2)问应该派多少名消防队员前去救火,才能使总损失最少? (总损失=灭火材料、劳务津贴等费用+车辆、器械和装备费用+森林损失费)

20. (本小题满分 16 分)

? 6 3? x2 y2 ? 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 经过 ?1,1? 与 ? ? 2 , 2 ? 两点,过原点的直线 l 与椭圆 C 交 a b ? ? 于 A, B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足 MA ? MB .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求证:

1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 OM
2

为定值.

…………………………………………密……………………………………………封………………………………………………线…………………………………

2013~2014 年度秋学期期中考试 高二数学(文)试卷答题纸
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需写出解 答过程.请把答案直接填写在答案卷上. .... 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.

16.(本题满分 14 分)

17.(本题满分 15 分)

考试号:

座位号:

二、解答题:本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说 明、 证明过程或演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上. 15.(本题满分 14 分)

班级:

姓名:

学号:

18. (本题满分 15 分)

19.(本题满分 16 分)

20.(本题满分 16 分)

2013~2014 年度秋学期期中考试 高二数学(文)试卷参考答案
1. ?0,1? 6. y ? ? 2 x 2. 否命题 7. -4 3. 充分不必要 8. 1 4.

? 0,8 ?

5. 3 个 10. ②③

9. 4

11.

3 3

12. ②③

13. -5

14. 1 ……………………3 分 ……………………6 分

15. (1) A ? ? a ? 4, a ? 4 ? ,

B ? ? 2,3? (2) 因为非 p 是非 q 的充分不必要条件 所以 q 是 p 的充分不必要条件
所以 B ? A

……………………10 分

? a ? 4 ? 2, ? 所以 ? a ? 4 ? 3, ?a ? 4 ? a ? 4 ? 3 ? 2 ? ? ? 所以 a ? ? ?1, 6?
16. 解:命题 p : m≤1. 命题 q : x1 ? x2 ?

……………………14 分 ……………………4 分

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? a 2 ? 8 ≤ 3 .

……………………6 分

∴ m2 ? 5m ? 3≥ 3 ,∴ m2 ? 5m ? 6≥ 0 , ∴ m≥1 或 m ≤?6 . 若 ? p ? q 为真,则 p 假 q 真,

……………………9 分 ……………………11 分 ……………………14 分

?m ? 1, ∴? ,解得 m ? 1 . ?m ≥1或m ≤ ?6
17. 解:(1)由题意,可设椭圆的方程为
2 2 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a2 b2
2

因为 e ? 1 ,所以 c 2 ? a ? b ? 1 ,即 b 2 ? 3 . 2

3 2 又 12 ? 2 ? 1 ,即 12 ? 9 2 ? 1 . a 4b a a
2 y 2 2 解得 a ? 4, b ? 3 ,所以椭圆的方程为 x ? ? 1. 2

??

2

a

a

4

a

4

……………………4 分

2

4

3

……………………8 分

(2)由(1)得 F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? . 因为 PF1 ? PF2 ? 2a ? 4 ,
6

……………………10 分

所以 PF1 ? PF2 ? ?

? PF1 ? PF2 ? ? ? 4 ,当且仅当 PF1 ? PF2 ? 2 时等号成立, 2 ? ?
2

所以 ? PF1 ? PF2 ?max ? 4 . 18. 解:(1) t ? 5 ?100 ? 10 .

……………………15 分

50 x ? 100

x?2

……………………5 分 (2)设总损失为 y ,则 y =灭火劳务津贴+车辆、器械和装备费+森林损失费. y =125tx+100x+60×(500+100t) = 125 ? x ? 10 ? 100 x ? 30000 ? 60000

x?2

x?2

……………………9 分 = 1250 ? x ? 2 ? 2 ? 100 ? x ? 2 ? 2? ? 30000 ? 60000

x?2

x?2

= 31450 ? 100 ? x ? 2 ? ? 62500

x?2

……………………13 分

≥ 31450 ? 2 100 ? 62500 ? 36450 .
当 且 仅 当 100 ? x ? 2? ? 62500 , 即 x ? 27 时 , y 有 最 小 值

x?2

36450.

……………………15 分

? x ? 1 ? 0, ? ? 19. 解:(1)原不等式等价于 ?2 x ? 1 ? 0, ? 2 ? x ? 1≤ ? 2 x ? 1? , ?


……………………3

?x ? 1 , ? 2 即? ,解得 x≥ 5 . 4 2 ?4 x ? 5 x ≥ 0 ?

故原不等式的解集为 x | x≥ 5 . 4 分 (2)当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ≤ g ? x ? 恒成立,

?

?

……………………6

? x ? 1 ? 0, ? ? 即当 x ? ? 0,1? 时, ?2 x ? t ? 0, 恒成立. ? 2 ? x ? 1≤ ? 2 x ? t ? , ?


……………………9

7

? x ? 1 ? 0, ? 即 ?t ? ?2 x , 恒成立, ? ?t ≥ ?2 x ? x ? 1,
所以当 x ? ? 0,1? 时 t ≥ ?2 x ? x ? 1 恒成立, 分 于是转化为求 ?2 x ? x ? 1 在 x ? ? 0,1? 上最大值的问题. 令 ? ? x ? 1 ,则 x ? ? 2 ? 1 ,则 ? ? ?1, 2 ? . ? ? 所以 ?2 x ? x ? 1 ? ?2 ? ? 1 4 ……………………11

?

? ? 17 . 8
2

所以当 ? ? 1 即 x ? 0 时, ?2 x ? x ? 1 有最大值 1. 所以 t 的取值范围为 t≥1. 分 20. 解:(1)设椭圆方程为 mx 2 ? ny 2 ? 1 ……………………16

?m ? 1 ?m ? n ? 1 ? ? 3 ?3 3 n ?1? ? 2 m? ?2 ?n ? 4 ? 3 ?
2 2 y2 故椭圆方程为 x ? ?1. 3 3 …………………………6 分 (2)根据条件 MA=MB 可知 M 在线段 AB 的垂直平分线上, 同时 A,B 关于原点对称,若 A,B 在椭圆的短轴顶点上, 则点 M 在椭圆的长轴顶点上, 这



1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 . …………………………9 分 ? ? OA2 OB OM b b a b ? ?a 若 A,B,M 不是椭圆的顶点,
不妨设 A? x1 , kx1 ? , M x2 , ? 1 x2 k 代入椭圆方程得 解得 x12 ?

1
2

?

?

x12 2 2 ? ? kx1 ? ? 1 , 3 3

3 , 1 ? 2k 2 …………………………12 分
2 3 ? 3 ?1 ? k ? . 所以 OA ? OB ? ?1 ? k ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2 2 2

8

同时可得 OM 2 ?

3 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2 12 k

?

3 ?1 ? k 2 ? k2 ? 2

2 2 2 1 ? 1 ? 2 ? 2 ?1 ? 2k ? ? 2 ? 2 ? k ? ? 2 ? 3 ? 3k ? ? 2 所以 OA2 OB 2 OM 2 3 ?1 ? k 2 ? 3 ?1 ? k 2 ? 3 ?1 ? k 2 ?

综 上 , 不 论

A , B

位 置 如 何 , 总 有

1 ? 1 ? 2 ?2 . OA2 OB2 OM 2

…………………………16 分

9


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