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高中数学竞赛平面几何基本定理


(高中)平面几何基础知识(基本定理、基本性质)
1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理) (广义勾股定理)(1)锐角对边的平方,等于其他两边之平方和,减去这两边中的一边 和另一边在这边上的射影乘积的两倍. (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边 在这边上的射影乘积的两倍. 2. 射影定理(欧几里得定理) 3. 中线定理(巴布斯定理)设△ABC 的边

BC 的中点为 P,则有 AB 2 ? AC 2 ? 2( AP 2 ? BP 2 ) ; 中线长: m a ?

2b 2 ? 2 c 2 ? a 2 . 2

4. 垂线定理: AB ? CD ? AC 2 ? AD 2 ? BC 2 ? BD 2 . 高线长: ha ?

2 a

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ?

bc sin A ? c sin B ? b sin C . a

5. 角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. (外角平分线定理) . 如△ABC 中,AD 平分∠BAC,则 BD ? AB ; DC AC 角平分线长: t a ? 6. 正弦定理:

2 2bc A . bcp( p ? a) ? cos (其中 p 为周长一半) b?c b?c 2

a b c (其中 R 为三角形外接圆半径) . ? ? ? 2R , sin A sin B sin C
2

7. 余弦定理: c

? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C .

8. 张角定理: sin ? BAC ? sin ? BAD ? sin ? DAC . AD AC AB 9. 斯特瓦尔特(Stewart)定理:设已知△ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D,则有 AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC= BC·DC·BD. 10. 圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半. (圆外角如何转化?) 11. 弦切角定理:弦切角等于夹弧所对的圆周角. 12. 圆幂定理: (相交弦定理:垂径定理:切割线定理(割线定理) :切线长定理: ) 13. 布拉美古塔(Brahmagupta)定理: 在圆内接四边形 ABCD 中,AC⊥BD,自对角线的交点 P 向一边作垂线,其延 长线必平分对边. 14. 点到圆的幂:设 P 为⊙O 所在平面上任意一点,PO=d,⊙O 的半径为 r,则 d2-r2 就是点 P 对于⊙O 的幂.过 P “到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线, 任作一直线与⊙O 交于点 A、B,则 PA·PB= |d2-r2|. 如果此二圆相交,则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴” .三个圆两两的根 轴如果不互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆的“根心” .三个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相 交时,三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点. 15. 托勒密(Ptolemy)定理:圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和,即 AC·BD=AB·CD+AD·BC,(逆命题成 立) . (广义托勒密定理)AB·CD+AD·BC≥AC·BD. 16. 蝴蝶定理:AB 是⊙O 的弦,M 是其中点,弦 CD、EF 经过点 M,CF、DE 交 AB 于 P、Q,求证:MP=QM. 17. 费马点:定理 1 等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离;不在等边三角 形外接圆上的点,到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离.定理 2 三角形每一内角都小于 120°时,在三 角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是 120°,该点到三顶点距离和达到最小,称为“费马点” ,当三角形有 一内角不小于 120°时,此角的顶点即为费马点.

18. 拿破仑三角形:在任意△ABC 的外侧,分别作等边△ABD、△BCE、△CAF,则 AE、AB、CD 三线共点,并且 AE =BF=CD,这个命题称为拿破仑定理. 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接 圆⊙C1 、⊙A1 、⊙B1 的圆心构成的△——外拿破仑的三角形,⊙C1 、⊙A1 、⊙B1 三圆共点,外拿破仑三角形是 一个等边三角形;△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接圆⊙C2 、⊙ A2 、⊙B2 的圆心构成的△——内拿破仑三角形,⊙C2 、⊙A2 、⊙B2 三圆共点,内拿破仑三角形也是一个等边三 角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中心. 19. 九点圆(Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆) :三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以 及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,九点圆具有许多有趣的性质,例如: (1)三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; (2)九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; (3)三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕 . 20. 欧拉(Euler)线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上. 21. 欧拉(Euler)公式:设三角形的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,外心与内心的距离为 d,则 d2=R2-2Rr. 22. 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和. 23. 重心:三角形的三条中线交于一点,并且各中线被这个点分成 2:1 的两部分; G (

x A ? x B ? xC y A ? y B ? yC , ) 3 3

重心性质: (1)设 G 为△ABC 的重心,连结 AG 并延长交 BC 于 D,则 D 为 BC 的中点,则 AG : GD (2)设 G 为△ABC 的重心,则 S ?ABG

? 2 :1;

1 ? S ?BCG ? S ?ACG ? S ?ABC ; 3 DE FP KH 2 DE FP KH ? ? ? ; ? ? ? 2; BC CA AB 3 BC CA AB

(3)设 G 为△ABC 的重心,过 G 作 DE∥BC 交 AB 于 D,交 AC 于 E,过 G 作 PF∥AC 交 AB 于 P,交 BC 于 F,过 G 作 HK∥AB 交 AC 于 K,交 BC 于 H,则 (4)设 G 为△ABC 的重心,则 ① BC

? 3GA 2 ? CA 2 ? 3GB 2 ? AB 2 ? 3GC 2 ; 1 2 2 2 2 2 2 ② GA ? GB ? GC ? ( AB ? BC ? CA ) ; 3 2 2 2 2 2 2 2 ; ③ PA ? PB ? PC ? GA ? GB ? GC ? 3PG (P 为△ABC 内任意一点) 2 2 2 ④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心,即 GA ? GB ? GC 最小;
⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心;反之亦然(即满足上述条件之一,则 G 为△ABC 的重心) .

2

a b c a b c xA ? xB ? xC yA ? yB ? yC cos B cos C cos B cos C 24. 垂心:三角形的三条高线的交点; H ( cos A ) , cos A a b c a b c ? ? ? ? cos A cos B cos C cos A cos B cos C
垂心性质: (1)三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的 2 倍; (2)垂心 H 关于△ABC 的三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上; (3)△ABC 的垂心为 H,则△ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆; (4)设 O,H 分别为△ABC 的外心和垂心,则 ?BAO ? ?HAC , ?CBO ? ?ABH , ?BCO ? ?HCA . 25. 内心:三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心,即内心到三角形各边距离相等;

I(

ax A ? bxB ? cxC ay A ? by B ? cyC , ) a?b?c a?b?c

内心性质: (1)设 I 为△ABC 的内心,则 I 到△ABC 三边的距离相等,反之亦然;

(2)设 I 为△ABC 的内心,则 ?BIC

1 1 1 ?A, ?AIC ? 90? ? ?B, ?AIB ? 90? ? ?C ; 2 2 2 (3) 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等; 反之, 若 ?A 平分线交△ABC ? 90? ?
外接圆于点 K,I 为线段 AK 上的点且满足 KI=KB,则 I 为△ABC 的内心; (4)设 I 为△ABC 的内心, BC ? a, AC ? b, AB ? c,

?A 平分线交 BC 于 D,交△ABC 外接圆于点 K,则

AI AK IK b ? c ; ? ? ? ID KI KD a , E, F ,内切圆半径为 r , (5)设 I 为△ABC 的内心, BC ? a, AC ? b, AB ? c, I 在 BC, AC, AB上的射影分别为 D


1 p ? (a ? b ? c) ,则① S ?ABC ? pr ;② AE ? AF ? p ? a; BD ? BF ? p ? b; CE ? CD ? p ? c ;③ 2 abcr ? p ? AI ? BI ? CI .
sin 2 Ax A ? sin 2 Bx B ? sin 2CxC sin 2 Ay A ? sin 2 By B ? sin 2Cy C ) , sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C
? 2?A 或 ?BOC ? 360? ? 2?A ;

26. 外心:三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心,即外心到三角形各顶点距离相等;

O(

外心性质: (1)外心到三角形各顶点距离相等; (2)设 O 为△ABC 的外心,则 ?BOC

(3) R ? abc ; (4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和. 4S ? 27. 旁心 :一内角平 分线与两外 角平分线交 点——旁切 圆圆心; 设 △ABC 的三边 BC ? a, AC ? b, AB ? c, 令

1 (a ? b ? c) ,分别与 BC , AC , AB 外侧相切的旁切圆圆心记为 I A , I B , I C ,其半径分别记为 r A , rB , rC . 2 1 1 旁心性质: (1) ?BI A C ? 90? ? ?A, ?BI B C ? ?BI C C ? ?A, (对于顶角 B,C 也有类似的式子) ; 2 2 1 (2) ?I A I B I C ? (?A ? ?C ) ; 2 p?
(3)设 AI A 的连线交△ABC 的外接圆于 D,则 DI A

? DB ? DC (对于 BI B , CI C 有同样的结论) ;

(4)△ABC 是△IAIBIC 的垂足三角形,且△IAIBIC 的外接圆半径 R' 等于△ABC 的直径为 2R. 28. 三角形面积公式:S ?ABC

?

1 1 abc a2 ? b2 ? c2 aha ? ab sin C ? ? 2 R 2 sin A sin B sin C ? 2 2 4R 4(cot A ? cot B ? cot C )
1 2

? pr ?

r 为内切圆半径,p ? (a ? b ? c) . 其中 ha 表示 BC 边上的高, R 为外接圆半径, p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,
A B C A B C A B C A B C sin sin ; ra ? 4 R sin cos cos , rb ? 4 R cos sin cos , rc ? 4 R cos cos sin ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

29. 三角形中内切圆,旁切圆和外接圆半径的相互关系:

r ? 4 R sin
ra ?

r r r 1 1 1 1 ,r ? ,r ? ; ? ? ? . B C b A C c A B ra rb rc r tan tan tan tan tan tan 2 2 2 2 2 2

30. 梅涅劳斯(Menelaus)定理:设△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点 分别为 P、Q、R 则有

BP CQ AR (逆定理也成立) ? ? ? 1. PC QA RB

31. 梅涅劳斯定理的应用定理 1:设△ABC 的∠A 的外角平分线交边 CA 于 Q,∠C 的平分线交边 AB 于 R,∠B 的平分 线交边 CA 于 Q,则 P、Q、R 三点共线. 32. 梅涅劳斯定理的应用定理 2:过任意△ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线,分别和 BC、CA、AB 的延 长线交于点 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共线. 33. 塞瓦(Ceva)定理:设 X、Y、Z 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点,则 AX、BY、CZ 所在直线交于一点的充 AZ BX CY 要条件是 · · =1. ZB XC YA 34. 塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的交点分别是 D、E,又设 BE 和 CD 交于 S, 则 AS 一定过边 BC 的中点 M. 35. 塞瓦定理的逆定理: (略) 36. 塞瓦定理的逆定理的应用定理 1:三角形的三条中线交于一点,三角形的三条高线交于一点,三角形的三条角分线 交于一点. 37. 塞瓦定理的逆定理的应用定理 2:设△ABC 的内切圆和边 BC、CA、AB 分别相切于点 R、S、T,则 AR、BS、CT 交于一点. 38. 西摩松(Simson)定理:从△ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边 BC、CA、AB 或其延长线作垂线,设其垂足分别 是 D、E、R,则 D、E、R 共线, (这条直线叫西摩松线 Simson line) . 39. 西摩松定理的逆定理: (略) 40. 关于西摩松线的定理 1:△ABC 的外接圆的两个端点 P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上. 41. 关于西摩松线的定理 2(安宁定理) :在一个圆周上有 4 点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关于该三角 形的西摩松线,这些西摩松线交于一点. 42. 史坦纳定理: 设△ABC 的垂心为 H, 其外接圆的任意点 P, 这时关于△ABC 的点 P 的西摩松线通过线段 PH 的中心. 43. 史坦纳定理的应用定理:△ABC 的外接圆上的一点 P 的关于边 BC、CA、AB 的对称点和△ABC 的垂心 H 同在一条 (与西摩松线平行的)直线上.这条直线被叫做点 P 关于△ABC 的镜象线. 44. 牛顿定理 1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三点共线.这条直线叫做这个 四边形的牛顿线. 45. 牛顿定理 2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线. 46. 笛沙格定理 1:平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A 和 D、B 和 E、C 和 F)的连线交于一 点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线. 47. 笛沙格定理 2:相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A 和 D、B 和 E、C 和 F)的连线交 于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线. 48. 波朗杰、腾下定理:设△ABC 的外接圆上的三点为 P、Q、R,则 P、Q、R 关于△ABC 交于一点的充要条件是:弧 AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2 ? ) . 49. 波朗杰、腾下定理推论 1:设 P、Q、R 为△ABC 的外接圆上的三点,若 P、Q、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点, 则 A、B、C 三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点. 50. 波朗杰、腾下定理推论 2:在推论 1 中,三条西摩松线的交点是 A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的 垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点. 51. 波朗杰、腾下定理推论 3:考查△ABC 的外接圆上的一点 P 的关于△ABC 的西摩松线,如设 QR 为垂直于这条西摩 松线该外接圆的弦,则三点 P、Q、R 的关于△ABC 的西摩松线交于一点. 52. 波朗杰、腾下定理推论 4:从△ABC 的顶点向边 BC、CA、AB 引垂线,设垂足分别是 D、E、F,且设边 BC、CA、 AB 的中点分别是 L、M、N,则 D、E、F、L、M、N 六点在同一个圆上,这时 L、M、N 点关于关于△ABC 的西摩 松线交于一点.

53. 卡诺定理:通过△ABC 的外接圆的一点 P,引与△ABC 的三边 BC、CA、AB 分别成同向的等角的直线 PD、PE、 PF,与三边的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点共线. 54. 奥倍尔定理:通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是 L、M、N, 在△ABC 的外接圆上取一点 P,则 PL、PM、PN 与△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F, 则 D、E、F 三点共线. 55. 清宫定理:设 P、Q 为△ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点,P 点的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、 V、W,这时,QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点共线. 56. 他拿定理:设 P、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点,点 P 的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W, 这时,如果 QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点共线. (反点: P、Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延长线的两点,如果 OC2=OQ×OP 则称 P、Q 两点关于圆 O 互为反点) 57. 朗古来定理:在同一圆周上有 A1、B1、C1、D1 四点,以其中任三点作三角形,在圆周取一点 P,作 P 点的关于这 4 个三角形的西摩松线,再从 P 向这 4 条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上. 58. 从三角形各边的中点,向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线,这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心. 59. 一个圆周上有 n 个点,从其中任意 n-1 个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点. 60. 康托尔定理 1:一个圆周上有 n 个点,从其中任意 n-2 个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点. 61. 康托尔定理 2: 一个圆周上有 A、 B、 C、 D 四点及 M、 N 两点, 则 M 和 N 点关于四个三角形△BCD、 △CDA、 △DAB、 △ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上.这条直线叫做 M、N 两点关于四边形 ABCD 的康托尔线. 62. 康托尔定理 3:一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点,则 M、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、 L、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、M、L 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线交于一点.这个点叫做 M、 N、L 三点关于四边形 ABCD 的康托尔点. 63. 康托尔定理 4:一个圆周上有 A、B、C、D、E 五点及 M、N、L 三点,则 M、N、L 三点关于四边形 BCDE、CDEA、 DEAB、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上.这条直线叫做 M、N、L 三点关于五边形 A、B、C、D、E 的康 托尔线. 64. 费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切. 65. 莫利定理:将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一 个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形. 66. 布利安松定理:连结外切于圆的六边形 ABCDEF 相对的顶点 A 和 D、B 和 E、C 和 F,则这三线共点. 67. 帕斯卡(Paskal)定理:圆内接六边形 ABCDEF 相对的边 AB 和 DE、BC 和 EF、CD 和 FA 的(或延长线的)交点 共线. 68. 阿波罗尼斯(Apollonius)定理:到两定点 A、B 的距离之比为定比 m:n(值不为 1)的点 P,位于将线段 AB 分成 m:n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆. 69. 库立奇*大上定理: (圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心 都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆. 70. 密格尔(Miquel)点: 若 AE、AF、ED、FB 四条直线相交于 A、B、C、D、E、F 六点,构成四个三角形,它们是 △ABF、△AED、△BCE、△DCF,则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点. 71. 葛尔刚(Gergonne)点:△ABC 的内切圆分别切边 AB、BC、CA 于点 D、E、F,则 AE、BF、CD 三线共点,这个 点称为葛尔刚点. 72. 欧拉关于垂足三角形的面积公式:O 是三角形的外心,M 是三角形中的任意一点,过 M 向三边作垂线,三个垂足
2 形成的三角形的面积,其公式: S ? D EF ? | R ? d S ? ABC 4R 2 2

|.

斯特瓦尔特定理

斯特瓦尔特 (stewart) 定理 设已知△ ABC 及其底边上 B、 C 两点间的一点 D,则有 AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC= BC·DC·BD。 证明:在图 2- 6 中,作 AH⊥ BC 于 H。为了明确起见,设 H 和 C 在点 D 的同侧,那么由 广勾股定理有 AC^2=AD^2 + DC^2-2DC·DH,( 1) AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH。 ( 2) 用 BD 乘 (1) 式两边得 AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD,( 1) ′ 用 DC 乘 (2) 式两边得 AB^2·DC=AD^2·DC+ BD^2·DC+ 2BD·DH·DC。( 2) ′ 由( 1) ′+ ( 2) ′ 得到 AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD+ DC)+DC^2·BD+ BD^2·DC =AD^2·BC+BD·DC·BC。 ∴ AB^2·DC + AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。 或者根据余弦定理得 AB^2=PB^2+PA^2-2PB·PA·cos 角 APC AC^2=PA^2+PC^2-2PA·PC·cos 角 APC 两边同时除以 PB·PA·PC 得 AC^2·PB+AB^2·PC=(PB^2+PA^2)PC+(PA^2+PA^2)PB 化简即可(注:图中 2-7A 点为 P 点, BDC 点依次为 ABC)

托勒密定理

一些圆定理.d oc

定理图

定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文: 圆的内接四边形中, 两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包 矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实 质上是关于共圆性的基本性质.

定理的提出
一般几何教科书中的 “ 托勒密定理 ” ,实出自依巴谷 (Hipparchus) 之手,托勒密只是从他的书 中摘出。

证明
一、(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。) 在任意四边形 ABCD 中,作△ ABE 使∠ BAE= ∠ CAD ∠ ABE= ∠ ACD 因为△ ABE∽△ ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即 BE·AC=AB·CD (1) 而∠ BAC= ∠ DAE ,,∠ ACB=∠ ADE 所以△ ABC∽△ AED 相似 . BC/ED=AC/AD 即 ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为 BE+ED≥BD (仅在四边形 ABCD 是某圆的内接四边形时,等号成立,即 “ 托勒密定理 ” ) 所以命题得证 复数证明 用 a、 b 、 c 、 d 分别表示四边形顶点 A、 B、 C 、 D 的复数,则 AB、 CD、 AD 、 BC、 AC 、 B D 的长度分别是: (a-b) 、 (c-d) 、 (a-d) 、 (b-c) 、 (a-c) 、 (b-d) 。 首先注意到复数恒等式: ( a ? b )( c ? d ) + ( a ? d )( b ? c) = ( a ? c)( b ? d) ,两边取模,运用三角不等式得。 等号成立 的条件是 (a-b)(c-d) 与 (a-d)(b-c) 的辐角相等,这与 A 、 B、 C、 D 四点共圆等价。 四点不限于同 一平面。 平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设 ABCD 是圆内接四边形。 在弦 BC 上,圆周角∠ BAC = ∠ BDC,而在 AB 上,∠ A DB = ∠ ACB。 在 AC 上取一点 K,使得∠ ABK = ∠ CBD; 因为∠ ABK + ∠ CBK = ∠ AB C = ∠ CBD + ∠ ABD,所以∠ CBK = ∠ ABD。 因此△ ABK 与△ DBC 相似,同理也有△ AB D ~ △ KBC。 因此 AK/AB = CD/BD, 且 CK/BC = DA/BD; 因此 AK·BD = AB·CD, 且 CK·B D = BC·DA; 两式相加,得 (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; 但 AK+CK = AC, 因此 AC·B D = AB·CD + BC·DA。证毕。 三、 托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积 ( 两对角线所包矩形的面积 ) 等于两组对边 乘积之和 ( 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和 ) .已知:圆内接四边形 A BCD,求证: AC·BD= AB·CD+ AD·BC. 证明:如图 1,过 C 作 CP 交 BD 于 P ,使∠ 1= ∠ 2 ,又∠ 3=∠ 4 ,∴△ ACD∽△ BCP .得 A C: BC=AD:BP, AC·BP=AD·BC ①。又∠ ACB=∠ DCP,∠ 5=∠ 6,∴△ ACB∽△ DCP.得 A C: CD=AB: DP, AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+ DP)=AB·CD+ AD·BC.即 AC·BD= AB·CD+ AD·BC.

推论
1.任意凸四边形 ABCD , 必有 AC·BD≤AB·CD+AD·BC, 当且仅当 ABCD 四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积, 则这个凸四边形内接于一圆、

推广
托勒密不等式:四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积,取等号当且仅当共 圆或共线。 简单的证明:复数恒等式: (a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d) ,两边取模, 得不等式 AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意:

1.等号成立的条件是 (a-b)(c-d) 与 (a-d)(b-c) 的辐角相等,这与 A、 B、 C、 D 四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理:在一条线段上 AD 上,顺次标有 B 、 C 两点,则 AD·BC+AB·CD=AC·BD

塞瓦定理
简介

塞瓦( Giovanni Ceva,1648~ 1734)意大利水利工程师,数学家。塞瓦定理载于塞瓦于 1678 年发表的《直线论》一书,也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。

具体内容
塞瓦定理 在△ ABC 内任取一点 O, 直线 AO、 BO、 CO 分别交对边于 D 、 E、 F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 (Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明: ∵△ ADC 被直线 BOE 所截, ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ ABD 被直线 COF 所截,∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ② ÷① :即得: (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 (Ⅱ)也可以利用面积关系证明 ∵ BD/DC=S△ ABD/S△ ACD=S△ BOD/S△ COD=(S△ ABD-S△ BOD)/(S△ ACD-S△ COD)= S △ AOB/S△ AOC ③ 同理 CE/EA=S△ BOC/ S△ AOB ④ AF/FB=S△ AOC/S△ BOC ⑤ ③ × ④ × ⑤得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点 :

设三边 AB、 BC、 AC 的垂足分别为 D、 E、 F, 根据塞瓦定理逆定理,因为 (AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA) /[(CD*ctgB) ]*[(AE*ct gB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1,所以三条高 CD、 AE、 BF 交于一点。 可用塞瓦定理证明的其他定理 ; 三角形三条中线交于一点(重心) :如图 5 D , E 分别为 BC , AC 中点 所以 BD=DC AE =EC 所以 BD/DC=1 CE/EA=1 且因为 AF=BF 所以 AF/FB 必等于 1 所以 AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 此外,可用定比分点来定义塞瓦定理: 在△ ABC 的三边 BC、 CA、 AB 或其延长线上分别取 L、 M 、 N 三点,又分比是 λ=BL/LC 、 μ=CM/MA、 ν=AN/NB。于是 AL、 BM 、 CN 三线交于一点的充要条件是 λμν=1。(注意与梅涅 劳斯定理相区分,那里是 λμν=-1)

塞瓦定理推论
1.设 E 是△ ABD 内任意一点, AE、 BE、 DE 分别交对边于 C、 G、 F,则 (BD/BC)*(CE/AE) *(GA/DG)=1 因为 (BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1,(塞瓦定理)所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K( K 为未知参数)且 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K( K 为未知参数)又由梅涅劳斯定理得:(BD/CD) *(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以 (BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF 交于一点的充分必要条件是: (sin∠ BAD/sin∠ DAC)*(sin∠ ACF/sin∠ FCB)*(sin∠ CBE/sin∠ EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证 3.如图,对于圆周上顺次 6 点 A,B,C,D,E,F,直线 AD,BE,CF 交于一点的充分必要条件是:

(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1

由塞瓦定理的角元形式,正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。 4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点

设 三 边 AB 、 BC 、 AC 的 垂 足 分 别 为 D 、 E 、 F , 根 据 塞 瓦 定 理 逆 定 理 , 因 为 (AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA ) /[(CD*ctgB) ]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1,所以三条高 CD、 AE、 BF 交 于一点。

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理证明

梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果 一条直线与△ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E 点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/E A)=1。 或:设 X、Y、Z 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 所在直线上,则 X、Y、Z 共线的充要条件是(A Z/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=

证明一:
过点 A 作 AG∥ BC 交 DF 的延长线于 G, 则 AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得: (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1

证明二:
过点 C 作 CP∥ DF 交 AB 于 P,则 BD/DC=FB/PF, CE/EA=PF/AF 所以有 AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立:若有三点 F、 D、 E 分别在△ ABC 的边 AB 、 BC、 CA 或其延长线上, 且满足 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则 F、D、E 三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点 共线。

梅涅劳斯 (Menelaus) 定理

证明三:
过 ABC 三点向三边引垂线 AA'BB'CC', 所以 AD: DB=AA': BB', BE: EC=BB': CC', CF: FA=CC': AA' 所以 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

证明四:
连接 BF。 ( AD: DB ) ·( BE: EC) ·( CF:FA) = ( S△ ADF: S△ BDF) ·( S△ BEF: S△ CEF) ·( S△ BCF: S△ BAF) = ( S△ ADF: S△ BDF) ·( S△ BDF: S△ CDF) ·( S △ CDF : S△ ADF) =1 此外,用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆: 在△ ABC 的三边 BC、 CA、 AB 或其延长线上分别取 L、 M 、 N 三点,又分比是 λ=BL/LC 、 μ=CM/MA、 ν=AN/NB。于是 L、 M 、 N 三点共线的充要条件是 λμν=1。 第一角元形式的梅涅劳斯定理

如图:若 E, F, D 三点共线,则 (sin∠ ACF/sin∠ FCB)(sin∠ BAD/sin∠ DAC)(sin∠ CBA/sin∠ ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点 O,且 EDF 共线,则( sin ∠ AOF/sin∠ FOB)(sin∠ BOD/sin∠ DOC)(sin ∠ COA/sin∠ AOE)=1 。 (O 不与点 A、 B、 C 重合 )

记忆
ABC 为三个顶点, DEF 为三个分点 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 (顶到分 /分到顶) *(顶到分 /分到顶) *(顶到分 /分到顶) =1 空间感好的人可以这么记:(上 1/下 1) *(整 /右) *(下 2/上 2) =1

实际应用
为了说明问题,并给大家一个深刻印象,我们假定图中的 A、 B、 C、 D、 E、 F 是六个旅游 景点,各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空,然后选择其中的任意一个 景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩,最后回到出发点,直升机就停在那里等待 我们回去。 我们不必考虑怎样走路程最短,只要求必须 “ 游历 ” 了所有的景点。只 “ 路过 ” 而不停留观赏的 景点,不能算是 “ 游历 ” 。 例如直升机降落在 A 点,我们从 A 点出发, “ 游历 ” 了其它五个字母所代表的景点后,最终 还要回到出发点 A。 另外还有一个要求,就是同一直线上的三个景点,必须连续游过之后,才能变更到其它直 线上的景点。 从 A 点出发的旅游方案共有四种,下面逐一说明: 方案 ① ——从 A 经过 B(不停留)到 F(停留),再返回 B(停留),再到 D(停留), 之后经过 B(不停留)到 C(停留),再到 E(停留),最后从 E 经过 C(不停留)回到出发点 A。 按照这个方案,可以写出关系式: ( AF : FB) *( BD: DC) *( CE: EA) =1。 现在,您知道应该怎样写 “ 梅涅劳斯定理 ” 的公式了吧。 从 A 点出发的旅游方案还有: 方案 ② ——可以简记为: A→B→F→D→E→C→A,由此可写出以下公式: ( AB: BF) *( FD: DE) *( EC: CA) =1。从 A 出发还可以向 “C” 方向走,于是有: 方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A,由此可写出公式: ( AC: CE ) *( ED : DF) *( FB: BA) =1。 从 A 出发还有最后一个方案: 方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A,由此写出公式: ( AE: EC) *( CD : DB) *( BF: FA) =1。 我们的直升机还可以选择在 B、C 、D 、E、F 任一点降落,因此就有了图中的另外一些公式。

值得注意的是,有些公式中包含了四项因式,而不是 “ 梅涅劳斯定理 ” 中的三项。当直升机降 落在 B 点时,就会有四项因式。而在 C 点和 F 点,既会有三项的公式,也会有四项的公式。公 式为四项时,有的景点会游览了两次。 不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的,只是列出了一两个典型的公式给我们看看。 还可以从逆时针来看,从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离,以 此类推,可得到三个比例,它们的乘积为 1. 现在是否可以说,我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系 式,不会再写错或是记不住吧。

西姆松定理

西姆松定理图示

西姆松定理是一个几何定理。表述为:过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则 三垂足共线。(此线常称为西姆松线)。西姆松定理的逆定理为:若一点在三角形三边所在直线上的射 影共线,则该点在此三角形的外接圆上。

西姆松定理说明
相关的结果有: ( 1)称三角形的垂心为 H。西姆松线和 PH 的交点为线段 PH 的中点,且这点在九点圆上。 ( 2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 ( 3)若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点 P 对应两者的西姆松线的交角,跟 P 的位置无关。 ( 4) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

证明
证明一: △ ABC 外接圆上有点 P,且 PE⊥ AC 于 E, PF⊥ AB 于 F, PD⊥ BC 于 D,分别 连 DE、 DF.

易证 P、B 、F、D 及 P、D、C 、E 和 A、B 、P 、C 分别共圆,于是∠ FDP= ∠ ACP ①,(∵ 都是∠ ABP 的补角) 且∠ PDE=∠ PCE ② 而∠ ACP+∠ PCE=180° ③ ∴∠ FDP+ ∠ PDE=180° ④ 即 F、 D、 E 共线 . 反之,当 F、 D、 E 共线时,由④ →② →③ →①可见 A、 B、 P 、 C 共 圆. 证明二: 如图,若 L、M 、N 三点共线,连结 BP,CP,则因 PL 垂直于 BC,PM 垂直于 A C, PN 垂直于 AB,有 B、 P、 L、 N 和

M 、 P、 L、 C 分别四点共圆,有 ∠ PBN = ∠ PLN = ∠ PLM = ∠ PCM. 故 A、 B、 P、 C 四点共圆。 若 A、 B、 P、 C 四点共圆,则∠ PBN = ∠ PCM 。因 PL 垂直于 BC, PM 垂直于 AC, PN 垂直于 AB,有 B 、 P、 L 、 N 和 M 、 P、 L 、 C 四点共圆,有 ∠ PBN =∠ PLN =∠ PCM=∠ PLM. 故 L、 M 、 N 三点共线。

相关性质的证明
连 AH 延长线交圆于 G, 连 PG 交西姆松线与 R,BC 于 Q 如图连其他相关线段 AH⊥ BC,PF ⊥ BC==>AG//PF==>∠ 1= ∠ 2

A.G.C.P 共圆 ==> ∠ 2=∠ 3 PE⊥ AC,PF⊥ BC==>P.E.F.C 共圆 ==>∠ 3=∠ 4 ==> ∠ 1=∠ 4 PF⊥ BC ==>PR=RQ BH⊥ AC,AH⊥ BC==>∠ 5= ∠ 6 A.B.G.C 共圆 ==> ∠ 6=∠ 7 ==> ∠ 5=∠ 7 AG⊥ BC==>BC 垂直平分 GH ==> ∠ 8=∠ 2=∠ 4 ∠ 8+ ∠ 9=90,∠ 10+∠ 4=90==>∠ 9=∠ 10 ==>HQ//DF ==>PM=MH 第二个问,平分点在九点圆上,如图:设 O,G,H 分别为三角形 ABC 的外心,重心和垂心。 则 O 是 ,确定九点圆的中点三角形 XYZ 的垂心,而 G 还是它的重心。 那么三角形 XYZ 的外心 O1, 也在同一直线上,并且 HG/GO=GO/GO1=2,所以 O1 是 OH 的中点。 三角形 ABC 和三角形 XYZ 位似,那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在 OH 上,并 且两圆半径比为 1:2 所以 G 是三角形 ABC 外接圆和三角形 XYZ 外接圆 ( 九点圆 ) 的 " 反 " 位似中心 ( 相似点在位似 中心的两边 ),H 是 " 正 " 位似中心 ( 相似点在位似中心的同一边 )... 所以 H 到三角形 ABC 的外接圆上的连线中点必在三角形 DEF 的外接圆上 ....

圆幂定理

圆幂定理

圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及它们推论统一归纳的结果。

定义
圆幂 =PO^2-R^2| 所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零。 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项。 割线定理:从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A、B; C、D,则有 PA·PB=PC·PD。 统一归纳:过任意不在圆上的一点 P 引两条直线 L1、 L2, L1 与圆交于 A、 B(可重合,即 切线), L2 与圆交于 C、 D(可重合),则有 PA·PB=PC·PD。

进一步升华(推论)
过任意在圆 O 外的一点 P 引一条直线 L1 与一条过圆心的直线 L2, L1 与圆交于 A、 B(可 重合,即切线), L2 与圆交于 C、 D。则 PA·PB=PC·PD。若圆半径为 r ,则 PC·PD=(PO-r)·(P O+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| (要加绝对值,原因见下)为定值。这个值称为点 P 到圆 O 的幂。 (事实上所有的过 P 点与圆相交的直线都满足这个值) 若点 P 在圆内,类似可得定值为 r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差,而过这一点引 任意直线交圆于 A、 B,那么 PA·PB 等于圆幂的绝对值。(这就是 “ 圆幂 ” 的由来)

证明
圆幂定理(相交弦定理、切割线定理及其推论 ( 割线定理 ) 统一归纳为圆幂定理)

问题 1
相交弦定理:圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的乘积相等。 证明:连结 AC, BD,由圆周角定理的推论,得∠ A=∠ D,∠ C= ∠ B。 ∴△ PAC∽△ PDB,∴ PA:PD=PC:PB, PA·PB=PC·PD

问题 2
割线定理:从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD,当 PA= PB ,即直线 AB 重合,即 PA 切线时得到切线定理 PA^2=PC·PD 证明:(令 A 在 P、 B 之间, C 在 P、 D 之间)因为 ABCD 为圆内接四边形,所以角 CAB +角 CDB=180 度,又角 CAB+角 PAC=180 度,所以角 PAC=角 CDB ,又角 APC 公共,所以三 角形 APC 与三角形 DPB 相似,所以 PA/PD=PC/PB, 所以 PA*PB=PC*PD 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项 几何语言:∵ PT 切⊙ O 于点 T, PBA 是⊙ O 的割线 ∴ PT^2=PA·PB(切割线定理) 推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言:∵ PBA、 PDC 是⊙ O 的割线 ∴ PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)

问题 3
过点 P 任作直线交定圆于两点 A、 B,证明 PA·PB 为定值(圆幂定理)。 证:以 P 为原点,设圆的方程为 (x-xO)^2+(y-yO)^2=a ① 过 P 的直线为 x=k1t y=k2t 则 A、 B 的横坐标是方程 (k1t-xO)^2+(k2t-yO)^2=r^2 即 (k1^2+k2^2)t^2-2(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2-r^2=0 的两个根 t1、 t2。由韦达定理 t1t2=(xO^2+yO^2-^2)/(k1^2+k2^2) 于是 PA·PB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) =(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2-r^2)/(k1^2+k2^2)| =|(xO^2+yO^2-r^2)| 为定值,证毕。 圆①也可以写成 x^2+y^2-2xOx-2yOy+xO^2+yO^2-a=0 ① ′

其中 a 为圆的半径的平方。所说的定值也就是(原点)与圆心 O 的距离的平方减去半径的 平方。当 P 在圆外时,这就是自 P 向圆所引切线(长)的平方。 这定值称为点 P 到这圆的幂。 在上面证明的过程中,我们以 P 为原点,这样可以使问题简化。 如果给定点 O,未必是原点,要求出 P 关于圆①的幂(即 OP^2-r^2 ),我们可以设直线 A B 的方程为 ② ③ 是 的倾斜角, 表示直线上的点与 的距离. 将②③代入①得 即 , 是它的两个根,所以由韦达定理 ④ 是定值 ④是 关于①的幂(当 是原点时,这个值就是 ).它也可以写成 ④′ 即 与圆心 距离的平方减去半径的平方. 当 P 在圆内时,幂值是负值;P 在圆上时,幂为 0;P 在圆外时,幂为正值,这时幂就是自 P 向圆所引切线长的平方。 以上是圆幂定理的证明,下面看一看它的应用.

问题 4
自圆外一点 向圆引割线交圆于 、 两点,又作切线 、 , 、 为切点, 与 相交于 ,如 图8.求证 、 、 成调和数列,即 证:设圆的方程为 ⑤ 点 的坐标为 , 的参数方程为 ⑥ ⑦ 其中 是 的倾斜角, 表示直线上的点 与 的距离. ⑥⑦代入⑤得 即 、 是它的两个根,由韦达定理 ⑧ 另一方面,直线 是圆的切点弦,利用前边的结论, 的方程为 ⑦⑧代入得

因此,这个方程的根 满足 ⑨ 综合⑧⑨,结论成立。 可以证明,当 在圆内时,上述推导及结论仍然成立。 说明:问题 4 的解决借用了问题 3 的方法,同时我们也看到了问题 4 与问题 1、问题 2 的 内在联系。

圆幂定理

圆幂定理

圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及它们推论统一归纳的结果。

定义
圆幂 =PO^2-R^2| 所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零。 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项。 割线定理:从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A、B; C、D,则有 PA·PB=PC·PD。 统一归纳:过任意不在圆上的一点 P 引两条直线 L1、 L2, L1 与圆交于 A、 B(可重合,即 切线), L2 与圆交于 C、 D(可重合),则有 PA·PB=PC·PD。

进一步升华(推论)
过任意在圆 O 外的一点 P 引一条直线 L1 与一条过圆心的直线 L2, L1 与圆交于 A、 B(可 重合,即切线), L2 与圆交于 C、 D。则 PA·PB=PC·PD。若圆半径为 r ,则 PC·PD=(PO-r)·(P O+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| (要加绝对值,原因见下)为定值。这个值称为点 P 到圆 O 的幂。 (事实上所有的过 P 点与圆相交的直线都满足这个值) 若点 P 在圆内,类似可得定值为 r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差,而过这一点引 任意直线交圆于 A、 B,那么 PA·PB 等于圆幂的绝对值。(这就是 “ 圆幂 ” 的由来)

证明
圆幂定理(相交弦定理、切割线定理及其推论 ( 割线定理 ) 统一归纳为圆幂定理)

问题 1
相交弦定理:圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的乘积相等。 证明:连结 AC, BD,由圆周角定理的推论,得∠ A=∠ D,∠ C= ∠ B。 ∴△ PAC∽△ PDB,∴ PA:PD=PC:PB, PA·PB=PC·PD

问题 2
割线定理:从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD,当 PA= PB ,即直线 AB 重合,即 PA 切线时得到切线定理 PA^2=PC·PD 证明:(令 A 在 P、 B 之间, C 在 P、 D 之间)因为 ABCD 为圆内接四边形,所以角 CAB +角 CDB=180 度,又角 CAB+角 PAC=180 度,所以角 PAC=角 CDB ,又角 APC 公共,所以三 角形 APC 与三角形 DPB 相似,所以 PA/PD=PC/PB, 所以 PA*PB=PC*PD 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项 几何语言:∵ PT 切⊙ O 于点 T, PBA 是⊙ O 的割线 ∴ PT^2=PA·PB(切割线定理) 推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言:∵ PBA、 PDC 是⊙ O 的割线 ∴ PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)

问题 3
过点 P 任作直线交定圆于两点 A、 B,证明 PA·PB 为定值(圆幂定理)。 证:以 P 为原点,设圆的方程为 (x-xO)^2+(y-yO)^2=a ① 过 P 的直线为 x=k1t y=k2t 则 A、 B 的横坐标是方程 (k1t-xO)^2+(k2t-yO)^2=r^2 即 (k1^2+k2^2)t^2-2(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2-r^2=0 的两个根 t1、 t2。由韦达定理 t1t2=(xO^2+yO^2-^2)/(k1^2+k2^2)

于是 PA·PB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) =(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2-r^2)/(k1^2+k2^2)| =|(xO^2+yO^2-r^2)| 为定值,证毕。 圆①也可以写成 x^2+y^2-2xOx-2yOy+xO^2+yO^2-a=0 ① ′ 其中 a 为圆的半径的平方。所说的定值也就是(原点)与圆心 O 的距离的平方减去半径的 平方。当 P 在圆外时,这就是自 P 向圆所引切线(长)的平方。 这定值称为点 P 到这圆的幂。 在上面证明的过程中,我们以 P 为原点,这样可以使问题简化。 如果给定点 O,未必是原点,要求出 P 关于圆①的幂(即 OP^2-r^2 ),我们可以设直线 A B 的方程为 ② ③ 是 的倾斜角, 表示直线上的点与 的距离. 将②③代入①得 即 , 是它的两个根,所以由韦达定理 ④ 是定值 ④是 关于①的幂(当 是原点时,这个值就是 ).它也可以写成 ④′ 即 与圆心 距离的平方减去半径的平方. 当 P 在圆内时,幂值是负值;P 在圆上时,幂为 0;P 在圆外时,幂为正值,这时幂就是自 P 向圆所引切线长的平方。 以上是圆幂定理的证明,下面看一看它的应用.

问题 4
自圆外一点 向圆引割线交圆于 、 两点,又作切线 、 , 、 为切点, 与 相交于 ,如 图8.求证 、 、 成调和数列,即 证:设圆的方程为 ⑤ 点 的坐标为 , 的参数方程为 ⑥

⑦ 其中 是 的倾斜角, 表示直线上的点 与 的距离. ⑥⑦代入⑤得 即 、 是它的两个根,由韦达定理 ⑧ 另一方面,直线 是圆的切点弦,利用前边的结论, 的方程为 ⑦⑧代入得 因此,这个方程的根 满足 ⑨ 综合⑧⑨,结论成立。 可以证明,当 在圆内时,上述推导及结论仍然成立。 说明:问题 4 的解决借用了问题 3 的方法,同时我们也看到了问题 4 与问题 1、问题 2 的 内在联系。

四点共圆

四点共圆-图释

如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个 性质: (1)同弧所对的圆周角相等 (2)圆内接四边形的对角互补 (3)圆内接四边形的外角等于 内对角 以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

四点共圆
证明四点共圆的基本方法

证明四点共圆有下述一些基本方法:

方法 1
从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点, 即可肯定这四点共圆.

方法 2
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明 其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆. (若能证明其两顶角为直角,即可肯定这四个点共圆, 且斜边上两点连线为该圆直径。)

方法 3
把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的 内对角时,即可肯定这四点共圆.

方法 4
把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积 相等,即可肯定这四点共圆;或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自 交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即 可肯定这四点也共圆. ( 根据托勒密定理的逆定理 )

方法 5
证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆. 上述五种基本方法中的每一种的根据,就是产生四点共圆的一种原因,因此当要求证四点 共圆的问题时,首先就要根据命题的条件,并结合图形的特点,在这五种基本方法中选择一种 证法,给予证明. 判定与性质: 圆内接四边形的对角和为 π,并且任何一个外角都等于它的内对角。 如四边形 ABCD 内接于圆 O,延长 AB 和 DC 交至 E,过点 E 作圆 O 的切线 EF, AC、 BD 交于 P,则 A+C=π, B+D=π , 角 DBC=角 DAC(同弧所对的圆周角相等)。 角 CBE=角 ADE(外角等于内对角) △ ABP∽△ DCP(三个内角对应相等) AP*CP=BP*DP(相交弦定理)

四点共圆的图片

EB*EA=EC*ED(割线定理) EF*EF= EB*EA=EC*ED(切割线定理) (切割线定理,割线定理,相交弦定理统称圆幂定理) AB*CD+AD*CB=AC*BD(托勒密定理 Ptolemy)

证明四点共圆的原理
四点共圆 证明四点共圆基本方法:

方法 1
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明 其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆.

方法 2
把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的 内对角时,即可肯定这四点共圆. 四点共圆的判定是以四点共圆的性质的基础上进行证明的。

四点共圆的定理:
四点共圆的判定定理:
方法 1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若 能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆. (可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那末这二点和线段二端点四点 共圆) 方法 2 把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻 补角的内对角时,即可肯定这四点共圆.

(可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这四点 共圆)

反证法证明
现就 “ 若平面上四点连成四边形的对角互补。那末这四点共圆 ” 证明如下(其它画个证明图如 后) 已知:四边形 ABCD 中,∠ A+∠ C=π 求证:四边形 ABCD 内接于一个圆( A, B, C, D 四点共圆) 证明:用反证法 过 A, B, D 作圆 O ,假设 C 不在圆 O 上,刚 C 在圆外或圆内, 若 C 在圆外,设 BC 交圆 O 于 C’,连结 DC’,根据圆内接四边形的性质得∠ A+∠ DC’B=π , ∵∠ A+∠ C=π ∴∠ DC’B=∠ C 这与三角形外角定理矛盾,故 C 不可能在圆外。类似地可证 C 不可能在圆内。 ∴ C 在圆 O 上,也即 A, B , C, D 四点共圆。


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