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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题4 三角函数与平面向量 第22练


第 22 练

关于平面向量数量积运算的三类经典题型

题型一 平面向量数量积的基本运算 → → 例 1 已知圆 O 的半径为 1,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为切点,那么PA· PB的最小值 为________. 破题切入点 对于四边形 OAPB 中变化的量,可以是切线的长度、也可以是∠APB,这两个变 → → 化的量都可以独立

地控制四边形 OAPB.因此可以用这两个量中的一个来表示PA· PB; 还可以建 立平面直角坐标系,使问题数量化. 答案 -3+2 2 → → 解析 方法一 设|PA|=|PB|=x,∠APB=θ, θ 1 则 tan = , 2 x θ 1-tan2 x2-1 2 从而 cos θ= = . θ 2 1+tan2 x +1 2 → → → → PA· PB=|PA|· |PB|· cos θ x2-1 x4-x2 =x ·2 = 2 x +1 x +1
2



?x2+1?2-3?x2+1?+2

x2+1 2 =x2+1+ 2 -3≥2 2-3, x +1 当且仅当 x2+1= 2, 即 x2= 2-1 时取等号, → → 故PA· PB的最小值为 2 2-3. 方法二 设∠APB=θ,0<θ<π, 1 → → 则|PA|=|PB|= . θ tan 2 → → → → PA· PB=|PA||PB|cos θ 1 2 =( ) cos θ θ tan 2

-1-

θ cos2 2 θ = · (1-2sin2 ) θ 2 sin2 2 θ θ ?1-sin2 ??1-2sin2 ? 2 2 = . 2θ sin 2 θ 令 x=sin2 ,0<x≤1, 2 → → ?1-x??1-2x? 则PA· PB= x 1 =2x+ -3≥2 2-3, x 1 2 当且仅当 2x= ,即 x= 时取等号. x 2 → → 故PA· PB的最小值为 2 2-3. 方法三 以 O 为坐标原点,建立平面直角坐标系 xOy, 则圆 O 的方程为 x2+y2=1, 设 A(x1,y1),B(x1,-y1),P(x0,0), → → 则PA· PB=(x1-x0,y1)· (x1-x0,-y1)
2 2 =x1 -2x1x0+x2 0-y1.

→ → 由 OA⊥PA?OA· PA=(x1,y1)· (x1-x0,y1)=0
2 2 ?x1 -x1x0+y1 =0, 2 又 x2 1+y1=1,

所以 x1x0=1. → → 2 2 从而PA· PB=x2 1-2x1x0+x0-y1
2 2 =x1 -2+x2 0-(1-x1) 2 =2x2 1+x0-3≥2 2-3.

→ → 故PA· PB的最小值为 2 2-3. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2 若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 b 与 a+b 的夹角为________. 破题切入点 先把向量模之间的关系平方之后转化为向量数量积之间的关系,然后分别求出

所求向量的数量积与模,代入公式求解即可;也可利用向量的几何意义转化为三角形中的问 题求解. π 答案 6 解析 方法一 由已知,得|a+b|=|a-b|,将等式两边分别平方,
-2-

整理可得 a· b=0.① 由已知,得|a+b|=2|a|,将等式两边分别平方, 可得 a2+b2+2a· b=4a2.② 将①代入②,得 b2=3a2, 即|b|= 3|a|. 而 b· (a+b)=a· b+b2=b2, b· ?a+b? 故 cos〈b,a+b〉= |b|· |a+b| 2 b = 3|a|· 2|a| 2 3a 3 = = . 2 3|a|· 2|a| 又〈b,a+b〉∈[0,π], π 所以〈b,a+b〉= . 6

→ → 方法二 如图,作OA=a,OB=b, 以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB, → → 则OC=a+b,BA=a-b. 由|a+b|=|a-b|=2|a|, → → → 可得|OC|=|BA|=2|OA|, 所以平行四边形 OACB 是矩形, → → BC=OA=a. → → 从而|OC|=2|BC|. → → → → 在 Rt△BOC 中,|OB|= |OC|2-|BC|2= 3|BC|, → |OB| 3 故 cos∠BOC= = , 2 → |OC| π 所以∠BOC= . 6 π 从而〈b,a+b〉=∠BOC= . 6 题型三 利用数量积求向量的模
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例 3 已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动 → → 点,则|PA+3PB|的最小值为________. 破题切入点 建立平面直角坐标系,利用点坐标表示出各向量,或用向量的关系一一代换得

出最简式,从而求出最小值. 答案 5 解析 方法一 以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐 标系,设 DC=a,DP=x.

∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), → → PA=(2,-x),PB=(1,a-x), → → ∴PA+3PB=(5,3a-4x), → → |PA+3PB|2=25+(3a-4x)2≥25, → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5. → → 方法二 设DP=xDC(0<x<1), → → ∴PC=(1-x)DC, → → → → → PA=DA-DP=DA-xDC, → → → → 1→ PB=PC+CB=(1-x)DC+ DA, 2 → → 5→ → ∴PA+3PB= DA+(3-4x)DC, 2 25 → 5 → → → → → → |PA+3PB|2= DA2+2× ×(3-4x)DA· DC+(3-4x)2· DC2=25+(3-4x)2DC2≥25, 4 2 → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5. 总结提高 (1)平面向量数量积的运算有两种形式:一是依据模和夹角,二是利用坐标运算,

具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择,注意两向量 a,b 的数量积 a· b 与代数中 a,b 的 乘积写法不同,不应该漏掉其中的“· ”. (2)求向量的夹角时要注意:①向量的数量积不满足结合律,②数量积大于 0 说明不共线的两 向量的夹角为锐角,数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角,数量积小于 0 且两向量不能共 线时两向量的夹角为钝角.

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1.(2014· 课标全国Ⅱ改编)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=________. 答案 1 解析 |a+b|2=(a+b)2=a2+2a· b+b2=10, |a-b|2=(a-b)2=a2-2a· b+b2=6, 将上面两式左右两边分别相减,得 4a· b=4, ∴a· b=1. 2.(2014· 四川改编)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m=________. 答案 2 解析 因为 a=(1,2),b=(4,2), 所以 c=ma+b=(m,2m)+(4,2)=(m+4,2m+2). c· a c· b 根据题意可得 = , |c||a| |c||b| 5m+8 8m+20 所以 = , 5 20 解得 m=2. π 3.(2013· 江西)设 e1,e2 为单位向量,且 e1,e2 的夹角为 ,若 a=e1+3e2,b=2e1,则向量 a 3 在 b 方向上的投影为________. 5 答案 2 a· b 解析 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a,b〉= . |b| ∵a· b=(e1+3e2)· 2e1=2e2 e2=5. 1+6e1· |b|=|2e1|=2. a· b 5 ∴ = . |b| 2

4.如图,在等腰直角△ABO 中,OA=OB=1,C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点,过 C 作 AB 的 → → → 垂线 l,P 为垂线上任一点,设OA=a,OB=b,OP=p,则 p· (b-a)=________. 1 答案 - 2

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解析 以 OA,OB 所在直线分别作为 x 轴,y 轴, O 为坐标原点建立平面直角坐标系, 3 1 则 A(1,0),B(0,1),C( , ), 4 4 1 3 直线 l 的方程为 y- =x- , 4 4 1 即 x-y- =0. 2 1 1 设 P(x,x- ),则 p=(x,x- ), 2 2 而 b-a=(-1,1), 1 1 所以 p· (b-a)=-x+(x- )=- . 2 2 → → → → → → → → 1 → 5.在平面上,AB1⊥AB2, |OB1|= |OB2|=1,AP=AB1+AB2.若 |OP|< ,则 |OA|的取值范围是 2 ________. 7 答案 ( , 2] 2 1 解析 由题意,知 B1,B2 在以 O 为圆心的单位圆上,点 P 在以 O 为圆心, 为半径的圆的内 2 部. → → → → → 又AB1⊥AB2,AP=AB1+AB2, 所以点 A 在以 B1B2 为直径的圆上, → 当 P 与 O 点重合时,|OA|取得最大值 2, 1 当 P 在半径为 的圆周上时, 2 7 → |OA|取得最小值 . 2

→ → → → 6.(2014· 江苏)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,CP=3PD,AP· BP=2, → → 则AB· AD的值是________. 答案 22 → → → 1 → 1→ → → → → 1→ → → → → 1→ 解析 由CP=3PD,得DP= DC= AB,AP=AD+DP=AD+ AB,BP=AP-AB=AD+ AB 4 4 4 4
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1 → → 3 →2 → → 3→ → → → 1→ → 3→ → -AB=AD- AB.因为AP· BP=2,所以(AD+ AB)· (AD- AB)=2,即AD2- AD· AB- AB 4 4 4 2 16 → → → → =2.又因为AD2=25,AB2=64,所以AB· AD=22. 7.(2014· 湖北)设向量 a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数 λ=________. 答案 ± 3 解析 由题意得,(a+λb)· (a-λb)=0,即 a2-λ2b2=18-2λ2=0,解得 λ=± 3. 8.设非零向量 a,b 的夹角为 θ,记 f(a,b)=acos θ-bsin θ.若 e1,e2 均为单位向量,且 e1· e2 3 = ,则向量 f(e1,e2)与 f(e2,-e1)的夹角为________. 2 π 答案 2 3 e1· e2 3 解析 由 e1· e2= ,可得 cos〈e1,e2〉= = , 2 |e1||e2| 2 π 5π 故〈e1,e2〉= , 〈e2,-e1〉=π-〈e2,e1〉= . 6 6 π π 3 1 f(e1,e2)=e1cos -e2sin = e1- e2, 6 6 2 2 5π 5π 1 3 f(e2,-e1)=e2cos -(-e1)sin = e- e. 6 6 2 1 2 2 3 1 1 3 3 f(e1,e2)· f(e2,-e1)=( e1- e2)· ( e1- e2)= -e1· e2=0, 2 2 2 2 2 所以 f(e1,e2)⊥f(e2,-e1). π 故向量 f(e1,e2)与 f(e2,-e1)的夹角为 . 2 → → → → 9.在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足|OA|=|OB|=OA· OB=2,则点集 → → → {P|OP=λOA+μOB,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是________. 答案 4 3 → → → → 解析 方法一 (坐标法)由|OA|=|OB|=OA· OB =2, π 可得∠AOB= . 3 又 A,B 是定点,可设 A( 3,1),B(0,2),P(x,y). → → → 由OP=λOA+μOB,

?λ= 3 x, ?x= 3λ, ? 可得? ?? y 3 ?y=λ+2μ ? ?μ=2- 6 x.
3 因为|λ|+|μ|≤1, 所以| 3 y 3 x|+| - x|≤1. 3 2 6
-7-

整理,得 2|x|+| 3y-x|≤2 3. 当 x≥0,且 3y-x≥0 时,不等式为 x+ 3y≤2 3; 当 x≥0,且 3y-x<0 时,不等式为 3x-y≤2; 当 x<0,且 3y-x≥0 时,不等式为 3x-y≥-2; 当 x<0,且 3y-x<0 时,不等式为 x+ 3y≥-2 3. 画出不等式所表示的可行域,如图中的阴影部分所示. 求得 E(0,2),F(- 3,-1),C(0,-2),D( 3,1). 显然该平面区域是一个矩形,边长 EF=2 3,ED=2, 故该平面区域的面积 S=EF×ED=4 3.

→ → → → 方法二 (向量法)由|OA|=|OB|=OA· OB=2, π → → 知〈OA,OB〉= . 3 当 λ≥0,μ≥0,λ+μ=1 时,在△OAB 中, → → 取OC=λOA,过点 C 作 CD∥OB 交 AB 于点 D, 作 OE∥AB 交 OB 于点 E, → → → 显然OD=λOA+CD. |CD| |AC| 由于 = =1-λ, |OB| |AO| → → 所以CD=(1-λ)OB. → → → → → → 于是OD=λOA+(1-λ)OB=λOA+μOB=OP. 故当 λ+μ=1 时,点 P 在线段 AB 上. 所以 λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1 时,点 P 必在△OAB 内(包括边界). 考虑|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R 的其他情形, 点 P 构成的集合恰好是以 AB 为一边, 以 OA,OB 为对角线一半的矩形, 1 π 其面积 S=4S△OAB=4× ×2×2sin =4 3. 2 3 10.(2014· 安徽)已知两个不相等的非零向量 a,b,两组向量 x1,x2,x3,x4,x5 和 y1,y2,y3, y4,y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成,记 S=x1· y1+x2· y2+x3· y3+x4· y4+x5· y5,Smin 表示 S 所有
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可能取值中的最小值,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①S 有 5 个不同的值; ②若 a⊥b,则 Smin 与|a|无关; ③若 a∥b,则 Smin 与|b|无关; ④若|b|>4|a|,则 Smin>0; π ⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则 a 与 b 的夹角为 . 4 答案 ②④ 解析 ∵xi,yi(i=1,2,3,4,5)均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成, ∴S= ? xiyi,可能情况有以下三种:
i=1 5

(1)S=2a2+3b2; (2)S=a2+2a· b+2b2; (3)S=4a· b+b2. ∵2a2+3b2-(a2+2a· b+2b2)=a2+b2-2a· b=a2+b2-2|a||b|cos θ≥0, a2+2a· b+2b2-4a· b-b2=a2+b2-2a· b≥0, ∴S 的最小值为 Smin=b2+4a· b. 因此 S 最多有 3 个不同的值,故①不正确. 当 a⊥b 时,S 的最小值为 Smin=b2 与|a|无关,故②正确. 当 a∥b 时,S 的最小值为 Smin=b2+4|a||b|或 Smin=b2-4|a||b|与|b|有关,故③不正确. 当|b|>4|a|时,Smin=b2+4|a||b|cos θ≥b2-4|a||b|=|b|(|b|-4|a|)>0,故④正确. 当|b|=2|a|时,由 Smin=b2+4a· b=8|a|2 知,4a· b=4a2,即 a· b=a2,∴|a||b|cos θ=a2,∴cos θ 1 = , 2 π ∴θ= ,故⑤不正确. 3 因此正确命题的编号为②④. 3 11.已知向量 a=(sin x, ),b=(cos x,-1). 4 (1)当 a∥b 时,求 cos2x-sin 2x 的值; (2)设函数 f(x)=2(a+b)· b,已知在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 3, 6 π π b=2,sin B= ,求 f(x)+4cos(2A+ )(x∈[0, ])的取值范围. 3 6 3 解 (1)因为 a∥b,
-9-

3 所以 cos x+sin x=0. 4 3 所以 tan x=- . 4 cos2x-2sin xcos x 故 cos x-sin 2x= sin2x+cos2x
2



1-2tan x 8 = . 1+tan2x 5

(2)f(x)=2(a+b)· b 1 =2(sin x+cos x,- )· (cos x,-1) 4 3 π 3 =sin 2x+cos 2x+ = 2sin(2x+ )+ . 2 4 2 a b 由正弦定理,得 = , sin A sin B 6 3× 3 asin B 2 所以 sin A= = = . b 2 2 π 3π 所以 A= 或 A= . 4 4 π 因为 b>a,所以 A= . 4 π π 1 所以 f(x)+4cos(2A+ )= 2sin(2x+ )- . 6 4 2 π 因为 x∈[0, ], 3 π π 11π 所以 2x+ ∈[ , ]. 4 4 12 3 π 1 所以 -1≤f(x)+4cos(2A+ )≤ 2- . 2 6 2 π 3 1 所以 f(x)+4cos(2A+ )的取值范围为[ -1, 2- ]. 6 2 2 → 5→ 12.在△ABC 中,AC=10,过顶点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D,AD=5,且满足AD= DB. 11 → → (1)求|AB-AC|; → → → → (2)存在实数 t≥1,使得向量 x=AB+tAC,y=tAB+AC,令 k=x· y,求 k 的最小值. → 5→ 解 (1)由AD= DB,且 A,B,D 三点共线, 11 5 → → 可知|AD|= |DB|. 11 又 AD=5,所以 DB=11. 在 Rt△ADC 中,CD2=AC2-AD2=75, 在 Rt△BDC 中,BC2=DB2+CD2=196, 所以 BC=14. → → → 所以|AB-AC|=|CB|=14.
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→ → → (2)由(1),知|AB|=16,|AC|=10,|BC|=14. 102+162-142 1 由余弦定理,得 cos A= = . 2 2×10×16 → → → → 由 x=AB+tAC,y=tAB+AC, 知 k=x· y → → → → =(AB+tAC)· (tAB+AC) → → → → =t|AB|2+(t2+1)AC· AB+t|AC|2 1 =256t+(t2+1)×16×10× +100t 2 =80t2+356t+80. 由二次函数的图象,可知该函数在[1,+∞)上单调递增, 所以当 t=1 时,k 取得最小值 516.

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