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上海版(第03期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题04 三角函数与三角形(解析版)Word版含解析


一.基础题组 1. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】已知 ? 为
第二象限角, sin ? ?

4 ?? ? ,则 tan?? ? ? ? ____________. 5 4? ?

2.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】已

知 tan ?、 tan ? 是方程 x 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的两根,则 tan(? ? ? ) =_______.

3. 【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】在△ABC
中,内角 A,B,C 的对边分别是 a ,b,c.若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则
2 2

. 角 A = _________
【答案】 【解析】 试题分析:本题求三角形的角,由题设条件,可用余弦定理,因此首先把角的关系

? 6

sin C ? 2 3 sin B 转化为边的关系,这只要利用正弦定理,可得 c ? 2 3b ,因此

b2 ? c 2 ? a 2 c 2 ? 3bc c ? 3b cos A ? ? ? ? 2bc 2bc 2b

? 2 3b ? 3b 3 ,故 A ? . ? 6 2b 2
考点:正弦定理与余弦定理.

4.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】函数 y ? arcsin(2 x ? 1) 的

定义域为



5. 【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】设ω >0,
若函数 f(x)=2sinω x 在[-

? ?

, ]上单调递增,则ω 的取值范围是_________. 3 4

6.

【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】在△ ABC 的内角

A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? 2 , c ? 2 3 , C ?
【答案】4 【解析】

?
3

,则 b ?

.

试题分析: 此题是解三角形问题, 主要是应用正弦定理或余弦定理, 对照这两个定理的条件,

可用正弦定理求出 A ,然后再得出 B ,最后应用正弦定理(或余弦定理)求边 b ,当然我
2 2 2 2 ? 2 cos b 们也可直接应用余弦定理来求 b ,c ? a ? b ? 2ab cos C ,即 12 ?4 ? b ?
2

?
3



b2 ? 2b ? 8 ? 0 ,解得 b ? 4 .
考点:解三角形问题.

7.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】下列函数中,最小正周期 )

为 ? 的偶函数为( (A) y ? sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

)

(B) y ?

1 ? cos 2 x sin 2 x

(C) y ? 2 tan 2 x

(D) y ? sin x cos x

8.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】已知 cos ? ?

4 ,则 5

cos(? ? ) ? 2sin(? ? ? ) 2 2 tan(? ? ? ) ? cot( ? ? ) 2
=______________.

?

?

9.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】函数 .

y ? arcsin?1 ? x? ? arccos?2 x? 的值域是
【答案】 [ ,? ]

?

6

10.

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】函数 .

y ? sin 2 x cos2 x 的最小正周期是

11.

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】为了得到函

数 y ? 2sin ?

?x ?? ? ? , x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2sin x, x ? R 的图像上所有的点 ?3 6?


------------------( (A) 向右平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? (B) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? 1 (C) 向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 ? 1 (D) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3
【答案】B

【解析】 试题分析: 这题考查函数图象的两个变换, 平移变换, 周期变换, 当把函数 y ? A sin( x ? ? ) 图象上各点横坐标变为原来的 题选 B. 考点:三角函数的图象变换.

1

?

,纵坐标不变,则得函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象,故本

12.

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】已知

sin x ?

3 ?? ? , x ? ? , ? ? ,则 x= 5 ?2 ?

.(结果用反三角函数表示)

13.

【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科) 】
2

已知函数 f ( x) ? ?sin ?x ? cos?x? ? 1 的最小正周期为 ? ,则 ? ? _________.

14. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】将函数
y ? sin 2 x ( x ? R )的图像分别向左平移 m ( m ? 0 )个单位,向右平移 n

( n ? 0) 个单位, 所得到的两个图像都与函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

则 m? n ? 的图像重合, 6? )

的最小值为……………………………………………………………………………( A.

2? 3

B.

5? 6

C. ?

D.

4? 3

【答案】C 【解析】 试题分析: 利用图象变换的结论, 函数 y ? sin 2 x( x ? R ) 的图像分别向左平移 m (m ? 0) 个单位,

15. 【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】将函数 y ?
的图像向右平移

f ( x)

? 2 个单位, 再向上平移 1个单位后得到的函数对应的表达式为 y ? 2 sin x , 4


则函数 f ( x ) 的表达式可以是………………………………………(

( A) 2 sin x .

( B ) 2 cos x .

(C ) sin 2 x .

( D ) cos 2 x .

16.

【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科) 】

设锐角 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对边的边长分别为 a 、 b 、 c , 且 a ? 1 , B ? 2 A , 则 b 的取值范围为 ………( ).

( A)

?

2 , 3 . ( B)

?

?1 , 3 ? . (C )

?

2, 2 . ( D ) ?0 , 2? .

?

二.能力题组 1.
【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】如果

? ? sin x ? cos x 对一切 x ? R 都成立,则实数 ? 的取值范围是



2.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】在

锐角 V ABC 中, AC ? 4, BC ? 3 ,三角形的面积等于 3 3 ,则 AB 的长为___________.

3.【2013 学年第一学期十二校联考高三数学 (理) 考试试卷】 设 ? >0, 若函数 f ( x)
cos

= sin

?x ? ? 在区间[- , ]上单调递增,则 ? 的范围是_____________. 2 3 4

?x 2

4.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】函数 y ? f ( x) 的图像与直

线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的面积,已知函数

2 ? ?? ? ? 4? ? y ? sin nx 在 ?0, ? 上的面积为 (n ? N ? ) ,则函数 y ? sin(3x ? ? ) ? 1 在 ? , ? 上的 n ? n? ?3 3 ?
面积为



5. 【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】已知 f ? x ? ? a sin 2x ? b cos2 x

( a ,b 为常数) , 若对于任意 x ? R 都有 f ? x ? ? f ( 的解为 【答案】 x ? 【解析】 .

5? ), 则方程 f ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ? ? 内 12

?
6

或x ?

2? 3

试题分析:三角函数一般先化为 A sin(? x ? ? ) ? k 的形式,再利用正弦函数的性质来解决 问题,本题中 f ( x ) 可化为 f ( x) ?

a 2 ? b 2 sin(2 x ? ? ) 的形式,可见函数的周期是

2? ? ? ,方程 f ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ? ? 内应该有两解,由于对任意 x ? R 都有 2 5? 5? f ? x ? ? f ( ) ,说明 f ( x) 在 x ? 时取得最小值,故方程 f ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ? ? 内的 12 12 5? ? ? . 解为 12 4 T?
考点:三角函数的最值与周期.

三.拔高题组 1.
【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试(即一模)数学(理)试题】已知函数
?? ? ,1? ,与 ?6 ?

f ?x? ? 3 sin?x ? cos?x ? c ( ? ? 0, x ? R ,c 是实数常数)的图像上的一个最高点 ?

该最高点最近的一个最低点是 ?

? 2? ? , ?3 ? , ? 3 ?

(1)求函数 f ?x ? 的解析式及其单调增区间;
1 (2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,且 AB ? BC ? ? ac ,角 A 的取值范围是 2

区间 M,当 x ? M 时,试求函数 f ?x ? 的取值范围.

试题解析:(1)∵ f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x ? c , ∴ f ( x) ? 2sin(? x ? ∵(

?
6

)?c.

?
6

,1) 和 (

2? , ?3) 分别是函数图像上相邻的最高点和最低点, 3

? T 2? ? ?2 ? 3 ? 6 , ?T ? ? , ? 2? ? ? , ∴ ?? ? 解得 ?c ? ?1, T ? ?? ? 2. ? ? ? ? 2sin( ? ? ? ) ? c ? 1. ? 6 6 ?
∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? 由 2 k? ?

?
6

) ?1 .

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,解得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z .

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z . 3 6

?

2. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】已知函数
f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 , x ? R .
(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)在锐角三角形 ABC 中,若 f ( A) ? 1 , AB ? AC ? 【答案】 (1) ?k? ? 【解析】 试题分析: (1)三角函数问题一般都是要把三角函数化为 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? k 形式, 然后利用正弦函数的知识解决问题,本题中选用二倍角公式和降幂公式化简为

2 ,求△ ABC 的面积.

? ?

2 5? ?? ; (2) . , k? ? ? ( k ? Z ) 2 12 12?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ; (2)三角形的面积公式很多,具体地要选用哪个公式,要根据题意 3
来确定,本题中已知 AB ? AC ?

?

2 ,而 AB ? AC ? AB AC cos A ,因此我们选面积公式

S?

1 AB AC sin A ,正好由已知条件可求出 A ,也即求出 sin A,cos A ,从而得面积. 2

3.

【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知

A(cos? , sin ? ) . B(cos ? , sin ? ) ,其中 ? 、 ? 为锐角,且 AB ?
(1)求 cos(? ? ? ) 的值;

10 . 5

1 ,求 cos? 及 cos? 的值. 2 2 4 3 24 【答案】 (1) ; (2) cos ? ? , cos ? ? . 5 5 25
(2)若 tan

?

?

【解析】

4.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】如

图,设 A(

3 1 , ) 是单位圆上一点,一个动点从点 A 出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转, 2 2

12 秒旋转一周. 2 秒时,动点到达点 B , t 秒时动点到达点 P .设 P( x, y) ,其纵坐标满足

y ? f (t ) ? sin(?t ? ? ) (?

?
2

?? ?

?
2

).

(1)求点 B 的坐标,并求 f (t ) ; (2)若 0 ? t ? 6 ,求 AP ? AB 的取值范围.

? AP ? AB ?

3 3 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? ? cos ? t ? ? ? ? sin ? t ? ? 4 2 6? 4 2 ?6 6? ?6

?

1 ? ?? 1 ?? ?? ?? ? sin ? t ? ? ? ? ? sin ? t ? ? ………………………………10 分 2 6 3? 2 6? ?6 ?6

? ? ? ? 5? ? ?? ? 1 ? ?? 0 ? t ? 6 ,? t ? ? ? ? , ? ,?sin ? t ? ? ? ?? ,1? …………12 分 6 6 ? 6 6 ? 6? ? 2 ? ?6
所以, AP ? AB 的取值范围是 ?0, ? 2

? 3? ? ?

………………………………14 分

考点: (1)单位圆的点的坐标; (2)现是的数量积与三角函数的取值范围.

5.
?

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】已知以角 B 为钝角的的三

角形 ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c , m ? (a,2b), n ? ( 3,? sin A) ,且 m 与 n 垂直. (1)求角 B 的大小; (2)求 cos A ? cos C 的取值范围

?

?

?

试题解析:1)∵ m 垂直 n ,∴ 由正弦定理得

?

?

3a ? 2b ? sin A ? 0 (2 分)

3(2R sin A) ? 2 sin A(2R sin B) ? 0 (4 分)
3 , (6 分) 2
又∵∠B 是钝角,∴∠B ?

∵ sin A ? 0 ,∴ sin B ?

2? 3

(7 分)

(2) cos A ? cosC ? cos A ? cos( (3 分) 由(1)知 A∈(0,

?

1 3 ? ? A) ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin( A ? ) 3 2 2 3

? ? ? 2? ), ) , A? ?( , 3 3 3 3

(4 分)

? 3 sin( A ? ) ? ( ,1] , (6 分) 3 2

∴ cos A ? cos C 的取值范围是 ( , 3 ] (7 分)

3 2

考点: (1)向量的垂直,正弦定理; (2)三角函数的值域.

6.
3 ?2 1

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】行列式

A cos x A sin x 1

A 2 0 cos x

? A ? 0? 按第一列展开得

3M11 ? 2M21 ? M31 ,记函数

f ? x ? ? M11 ? M 21 ,且 f ? x ? 的最大值是 4 .
(1)求 A ;

(2)将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再将所得图像上各点的横坐标扩大为原 12
? ? 11? ? , ? 上的值域. ? 12 12 ?

来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求 g ( x) 在 ? ?

试题解析: (1) M11 ?

A sin x 0 ? A sin x cos x 1 cos x
A A 2 2 ? ? A cos x ? 2 cos x

………1 分

M 21 ? ?

A cos x 1

………2 分

f ? x? ?

A A 2A ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 4 2A ? 4 ,所以 A ? 4 2 2

………3 分

f max ?

………1 分

? ? 得 y ? 4sin(2 x ? ) ,………2 分 12 12 ? 横坐标变为原来 2 倍得 g ? x ? ? 4sin( x ? ) ………1 分 12 ? 11? ? ? 5? ) ,所以 x ? ? (? , ) ………1 分 因为 x ? (? , 12 12 12 6 6 ? 所以 g ? x ? ? 4sin( x ? ) ? ? ?2, 4? ………3 分 12
(2)向左移 考点:(1)行列式与三角函数的性质;(2)函数图象的变换.

7.

【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】已知函数

f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x

(1)求函数 f ( x ) 的最大值,并指出取到最大值时对应的 x 的值; (2)若 0 ? ? ?

?
6

,且 f (? ) ?

4 ,计算 cos 2? 的值. 3

试题解析: (1) f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ? 由0 ? x ?

?
6

) ………………2 分

?
2

得,

?
6

? 2x ?

?
6

?

所以当 2 x ?

?
6

?

?
2

7? ………4 分 6

时, f ( x) max ? 2 ,此时 x ?

?
6

………6 分

(2)由(1)得, f (? ) ? 2 sin( 2? ? 其中

?
6

)?

?
6

? 2? ?

?
6

?

?
2

得 cos( 2? ?

?
6

4 ? 2 ,即 sin( 2? ? ) ? ……………8 分 3 6 3

) ? 0 ………………10 分

所以 cos(2? ?

?
6

)?

5 ……………11 分 3

cos 2? ? cos[( 2? ?

?
6

)?

?
6

] ………………13 分

?

5 3 2 1 15 ? 2 ? ? ? ? ………………14 分 3 2 3 2 6

考点: (1)三角函数的最值; (2)两角差的余弦公式.

8. 【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷 (理科) 】 在 ?ABC 中,
已知 AB AC ? 3BA BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求角 A 的大小. 5

(2)∵ cos C ? 分

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = .∴ tan C ? 2 .…………8 ? ? ? 5 5 5 ? ?

2

tan A ? tan B ? ?2 . …………10 分 1 ? tan A tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 …………12 分 ? ?2 ,解得 tan A=1, tan A= ? . 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 .∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 .∴ A=

?
4

.

…………14 分

考点: (1)向量的数量积的定义与正弦定理; (2)已知三角函数值,求角.

9. 【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有
领土,如图:点 A、B、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿,点 C 在点 A 的北偏东 47°方 向,点 B 在点 C 的南偏西 36°方向,点 B 在点 A 的南偏东 79°方向,且 A、B 两点的距离约 为 3 海里. (1)求 A、C 两点间的距离; (精确到 0.01) (2)某一时刻,我国一渔船在 A 点处因故障抛锚发出求救信号.一艘 R 国舰艇正从点 C 正东 10 海里的点 P 处以 18 海里/小时的速度接近渔船,其航线为 P ? C ?A(直线行进) ,而

我东海某渔政船正位于点 A 南偏西 60°方向 20 海里的点 Q 处,收到信号后赶往救助,其 航线为先向正北航行 8 海里至点 M 处,再折向点 A 直线航行,航速为 22 海里/小时.渔政 船能否先于 R 国舰艇赶到进行救助?说明理由.

试题解析: (1)求得 ?CAB ? 11?, ?ABC ? 115? ,……2 分 由

AB AC ? ? AC ? 14.25 海里. sin11? sin115?

……4 分

10. 【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】在△ABC 中,
BC=a,AC=b,a、b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 A ? B ? 120 ,求△ABC 的面积
2

及 AB 的长.

考点:(1)正弦定理; (2)余弦定理.


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