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02有限元Chapter2弹性力学基础


Chapter 2 有限元分析的力学基础

1

本章主要内容
? 2.1变形体的描述、变量定义、分量表达和指标记法
? 2.2弹性体的基本假设 ? 2.3平面问题的基本力学方程

? 2.4空间问题的基本力学方程
? 2.5弹性问题中的能量表达 ? 2.6特殊问题的讨论(两大类平面问题)

2

本章要点
? 变形体的三大类基本变量 ? 变形体的三大类基本方程及两类边界条件

? 弹性问题中的能量表示
? 平面应力、平面应变、刚体位移的特征及表达 ? 应力及应变的分解

3

由固体材料组成的具有一定形状的物体在一定约束边
界下将产生变形,该物体中任意一个位置的材料都将处 于复杂的受力状态之中。

本章将定义用于刻画任意形状弹性变形体的力学变量和
表达这些变量之间的关系。本章主要内容就是 ? 定义位移、变形和力三大变量之间的三大方程 ? 给出典型的边界条件

4

2.1变形体的描述、变量定义、分量表达与指标记法
? 变形体:
在外力作用下,物体内任意两点之间能够发生相对移动。 从几何形状复杂程度来考虑可以分为:

1)简单形状变形体—材料力学
2)任意形状变形体—弹性力学 任意变形体是有限元方法处理的对象,因而,弹性力 学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。

5

? 基本变量

6

? 基本方程
受外部作用的任意形状变形体,在其微小体元dxdydz中, 基于位移、应变和应力这三大类变量,可以建立以下三

大类方程
平衡方程:外力和内力之间的平衡关系 几何方程:描述的是位移和应变之间关系 物理方程:应力和应变之间的关系

7

? 基本变量的指标表达
自由指标:每项中只出现一次的下标。如 哑指标:在表达式的每一项中重复出现的下标。 Einstein求和约定:哑指标意味着求和。 张量:能够用指标表示的物理量,并且该物理量能够满

足一定的坐标变换关系。
Voigt标记

8

? 基本变量的指标表达

自由指标:每项中只出现一次的下标。如

? ij ?i, j ? 1,2?
哑指标:在表达式的每一项中重复出现的下标。

? ij x j ? bi ?i, j ? 1,2?

9

? Einstein求和约定:哑指标意味着求和。
? a11x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 ? ?a21x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? b2 ?a x ? a x ? a x ? b ? 31 1 32 2 33 3 3
? 3 ? ? a1 j x j ? b1 ? j ?1 ?3 ?? a2 j x j ? b2 ? j ?1 ? 3 ? ? a3 j x j ? b3 ? j ?1

? a1 j x j ? b1 ? ?a2 j x j ? b2 ?a x ? b 3 ? 3j j

aij x j ? bi

小结:自由指标在同一项中只出现一次,可任意取值;

求和指标在同一项中出现两次,可以被另一表示求和指标置换。
10

? 张量:能够用指标表示的物理量,并且该物理量能够满
足一定的坐标变换关系。 0阶张量:无自由指标的量,如标量u。

1阶张量:有1个自由指标的量,如矢量ui。
2阶张量:有2个自由指标的量,如应力和应变。 n阶张量:有n个自由指标的量,如四阶弹性系数张量 Dijkl。

11

? Voigt标记

?? x ? xy ? ?? 11 ? 12 ? ? ij ? ? =? ? ? ? ? ? ? y? ? 21 22 ? ? yx

?? 11 ? ?? x ? ? ? ? ? ? ? ?? 22 ? = ?? y ? ? ? ? ?? 12 ? ? ?? xy ?
?p
j p

二维问题Voigt移动规则的下标对应关系

?ij
i

1
2 1

1
2 2

1
2 3
12

? Voigt标记
?? 11 ? ij ? ? ?? 21 ? ?? 31 ?? x ? = ?? yx ?? zx ?

? 12 ? 13 ? ? 22 ? 23 ? ? ? 32 ? 33 ? ? ? xy ?y ? zy

?? 11 ? ?? xx ? 三维问题Voigt移动规则的下标对应关系 ?? ? ?? ? ? 22 ? ? yy ? ?ij ?p ?? 33 ? ?? zz ? ? ? ? ?=? ? i j p ? xz ? ?? 23 ? ?? yz ? ? ?? 13 ? ?? xz ? 1 1 1 ? yz ? ? ? ? ? ?z ? ? 2 2 2 ?? 12 ? ? ? ?? zy ? ? ?
3 3 3

2
1 1

3
3 2

4
5 6
13

? 有了以上的移动规则的下标对应关系,就可以按照

同一规则来处理更为复杂的问题。

? ij ? Dijkl ? kl ?i, j, k , l ? 1,2?
? D11 D pq ? ? ? D21 ? ? D31 D12 D22 D32 D13 ? ? D1111 ?D D23 ? ? ? ? 2211 D33 ? ? ? ? D1211

? p ? Dpq? q
D1122 D2222 D1222 D1112 ? D2212 ? ? D1212 ? ?
14

2.2弹性体的基本假设
? 连续性假设。物体是连续的,亦即物体整个体积内部被 组成这种物体的介质填满,不留任何空隙。这样,物体 内的一些物理量,如应力、应变、位移等等才可以用座 标的连续函数来表示。
? 均匀性假设。也就是说整个物体是由同一种材料组成的。 这样,整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质,

因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置
座标而变。

15

? 各向同性假设。物体是各向同性的,也就是说物体内每
一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 ? 完全弹性假设。物体是完全弹性的,亦即当使物体产生

变形的外力被除去以后,物体能够完全恢复原形,而不
留任何残余变形。这样,当温度不变时,物体在任一瞬 时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力,与它过 去的受力情况无关。

16

? 小变形假设。物体的变形是微小的,亦即当物体受力以
后,整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸, 因而应变和转角都远小于1,这样,在考虑物体变形以

后的平衡状态时,可以用变形前的尺寸来代替变形后的
尺寸,而不致有显著的误差;并且,在考虑物体的变形 时,应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计,这

就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。

17

2.3平面问题的基本力学方程
? 平衡方程:外力和内力之间的平衡关系
? 几何方程:描述的是位移和应变之间关系 ? 物理方程:应力和应变之间的关系 ? 边界条件:

18

平衡方程: 微小体元上的平面应力分量

Z

?? x ? ? px ? 0 , ? ? py ? 0 ?x ?y ?x ?y

?? xy

?? yx

?? y

Z向无任何力、厚度为t

19

几何方程

?u ?x ? ?x ?v ?y ? ?y ?u ?v ? xy ? ? ?y ?x
20

? 变形协调条件
它的物理意义是:材料 在变形过程中应该是整 体连续的,不应该出现 “撕裂”和“重叠”现 象发生。
21
2 ? 2? x ? ? y ? 3u ?3v ? 2 ? ? 2 2 ?y ?x ?x?y ?y?x 2

? 2 ? ?u ?v ? ? ? ? ? ?x?y ? ?y ?x ? ? ? 2? xy ?x?y

物理方程
E ? ? ?? y ? 2 ? x 1? ? E ?x ? ? ? ?? x ? 2 ? y 1? ? E ? xy ? ? xy 2 ?1 ? ? ?

?x ?

写成矩阵形式为

? ? D?

见P17

22

边界条件

按照边界情况,弹性力学问题一般分为三类:
? 位移边界问题:在边界面上全部给定位移,即全部是 Su 边界 ? 应力边界问题:在边界面上全部给定表面力,即全部是应力

边界。这时,外力(包括体力和面力)应是平衡力系。
S?

? 混合边界问题:既有Su 边界,又有应力边界。二者可以分 别在边界表面不同的区域上,或同一区域不同的方向上。

23

作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为:

? xx l ? ? yx m ? px ? xy l ? ? y m ? p y
其中
l ? cos ? N , x ? , m ? cos ? N , y ?
24

2.4空间问题的基本力学方程
? 平衡方程:外力和内力之间的平衡关系
? 几何方程:描述的是位移和应变之间关系 ? 物理方程:应力和应变之间的关系 ? 边界条件:

25

平衡方程

26

? X方向负面

? xx ? yx ? zx
?? yx ?? xx ?? ? xx + dx ? yx + dx ? zx + zx dx ?x ?x ?x

? X方向正面
? Y方向负面 ? Y方向正面 ? Z方向负面 ? Z方向正面

? xy ? yy ? zy
? xy ?
?? xy ?y dy ? yy ? ?? yy ?y dy ? zy ? ?? zy ?y dy

? xz ? yz ? zz
?? yz ?? xz ?? ? xz + dz ? yz + dz ? zz + zz dz ?z ?z ?z

27

? X方向力平衡
?? xy ? ? ?? xx ?? xz ? ? ? ? ? + d x ? d y d z ? ? ? d y ? d x d z + ? + d z ? ? xy x ? xy ? xz xz ? dxdy ? xx ?x ? ?y ?z ? ? ? ? ? ? +bx dxdydz ? 0

? 化简得

?? xx ?? xy ?? xz ? + +bx ? 0 ?x ?y ?z
28

? Y方向力平衡
?? yx ?? yy ?? yz ? ? ? ? ? ? ? ? d x ? d y d z ? ? + d y ? d x d z + ? + d z ? ? yx ? yy ? yz yx ? y ? yz ? dxdy ?x ?y ?z ? ? ? ? ? ? +by dxdydz ? 0

? 化简得
?? yx ?x ? ?? yy ?y + ?? yz ?z +by ? 0

29

? Z方向力平衡
?? zy ? ? ?? zx ?? zz ? ? ? ? ? + d x ? d y d z + ? ? d y ? d x d z ? ? + d z ? ? ? zx ? zy zy x ? dxdy ? zz ?z ? zx ?x ? y ? ? ? ? ? ? +bz dxdydz ? 0

? 化简得

?? zx ?? zy ?? zz ? ? ? bz ? 0 ?x ?y ?z
30

? 如果这六个量在某点是已知的,就 可以求得经过该点的任何面上的正 应力和剪应力,因此,这六个量可 以完全确定该点的应力状态,它们 就称为在该点的应力分量。

? ? xx ? ?? ? ? yy ? ? ? zz ? ?? ? = ? ?? ? ? 一般说来,弹性体内各点的应力状 ? yz ? 态都不相同,因此,描述弹性体内 ? ?? xz ? 应力状态的上述六个应力分量并不 ? ? 是常量,而是坐标 x 、 y 、 z 的函数。 ? ? ?? xy ? ?
? 六个应力分量的总体,可以用一个 列矩阵来表示:
31

几何方程
工程应变
y
u?
v? ?v dy ?y

?u dy ?y

C'

D" b D '
D C

dy

u

A'

B'

a

v?

v

?v dx ?x

A dx 0 ? ?

B

?u u ? dx ?x

B"
x

?u ?v ?w ?x ? ? yz ? ? ?x ?z ?y ?v ?u ?w ?y ? ? xz ? ? ?y ?z ?x ?w ?u ?v ?z ? ? xy ? ? ?z ?y ?x
哥西应变

1-5

?ij ? 1 2 (ui , j ? u j ,i ) ? i, j, ? x, y, z ?
32

? 写成矩阵形式为
?? ? ?x ? ?0 ??x ? ? ?? ? ? ? y? ?0 ? ? ? ??z ? ? ??? ?? yz ? ? ?? xz ? ? ? ? ? ? ?? xy ? ? ?? ? ?z ? ?? ? ? ?y 0 ? ?y 0 ? ?z ? 0? ? 0? ? ? ?? ?u ? ?z ? ? ? ? v? ? ?? ? w? ? ?y ? ? ? ?? ?x ? ? ? ? ?

?? ? ? ? B??? ?

? ?x

33

? 几何方程可见,当弹性体的 位移分量完全确定时,应变 分量是完全确定的。反过来, 当应变分量完全确定时,位 移分量却不完全确定;这是 因为,具有确定形状的物体, 可能发生不同的刚体位移。 为了说明这一点,试命:

?u ?v ?w ? yz ? ? ?x ?z ?y ?v ?u ?w ?y ? ? xz ? ? ?y ?z ?x ?w ?u ?v ?z ? ? xy ? ? ?z ?y ?x

?x ?

?? ? ? ? B??? ? ? 0

u ? u0 ? ? y z ? ? z y ? ? v ? v0 ? ? z x ? ? x z ? w ? w0 ? ? x y ? ? y x ? ?

式中的u0, v0, w0, ?x, ?y, ?z是积分常数。
34

y

?zy
a

?z x
P

u0——弹性体沿x方向的刚体移动 v0 ——弹性体沿y方向的刚体移动 w0 ——弹性体沿z方向的刚体移动

r y oz

?x ——弹性体绕x轴的刚体转动 ?y ——弹性体绕y轴的刚体转动 ?z ——弹性体绕z轴的刚体转动
x

q

x
? 1-6 ?

为了完全确定弹性体的位移,必须有六个适当的约束条件来确定这 六个刚体位移。
35

? 变形协调条件(由2D延伸到3D-P17)
? 2? xy
2 ? 2? x ? ? y ? ? 2 2 ?x?y ?y ?x

? 2? yz

? 2? z ? ? 2 2 ?y?z ?z ?y

? 2? y

? 2? xz ? 2? x ? 2? z ? 2 ? 2 ?x?z ?z ?x

? 2? x ? ? ?? yz ?? xz ?? xy ? 2 ? ?? ? ? ? ?y?z ?x ? ?x ?y ?z ? ? 2? y ? ? ?? yz ?? xz ?? xy ? 2 ? ? ? ? ? ?x?z ?y ? ?x ?y ?z ? ? 2? z ? ? ?? yz ?? xz ?? xy ? 2 ? ? ? ? ? ?x?y ?z ? ?x ?y ?z ?

当6个应变分量满足以上应变协调方程时,就能保证得 到单值连续的位移函数。
36

物理方程
应力分量与应变分量之间的关 系----虎克定律

当沿x轴方向的两个对面受有均匀分布的 正应力时,在满足先前假定的材料性质条 件下,正应力不会引起角度的任何改变, 而其在x方向的单位伸长则可表以方程

z

?z

?x

?x ?

?x
E

?y

?y

弹性体在 x方向的伸长还伴随有侧向收缩, 即在y和z方向的单位缩短可表示为:
? y ? ?? ?x
E ,? z ? ? ?

?x
E

?x

?z
0 x
图 1-7

y

方程既可用于简单拉伸,也可用于简单压 缩,且在弹性极限之内,两种情况下的弹 性模量和波桑系数相同。
37

设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力,则合成应变的分 量可用前面两式求得。实验证明,只须将三个应力中的每一应力所引 起的应变分量叠加,就得到合成应变的分量。

1 ? ? x ? ? (? y ? ? z ) ? E ? 1 ? ? y ? ? y ? ? (? x ? ? z ) ? E ? 1 ? z ? ? z ? ? (? x ? ? y ) ? ? E ?

?x ?

? ? ?

? ? ?

公式的适用范围 :
在线弹性范围内,小 变形条件下, 各向同性材料。

单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数 E及μ所确定。两个常 数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。

38

如果弹性体的各面有剪应力作用任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行 于这两轴的剪应力分量有关,即得到: 1 1 1 ? xy ? ? xy,? yz ? ? yz,? zx ? ? zx
G G G

1 ? x ? ? (? y ? ? z ) E 1 ? y ? ? y ? ? (? x ? ? z ) E 1 ? z ? ? z ? ? (? x ? ? y ) E 1 ? xy ? ? xy G 1 ? yz ? ? yz G 1 ? zx ? ? zx G

?x ?

? ? ?

? ? ?

G?

E 2(1 ? ? )

正应变与剪应变是各自独立的。因此, 由三个正应力分量与三个剪应力分量引 起的一般情形的应变,可用叠加法求得; 即将六个关系式写在一起,得弹性方程 或物理方程,这种空间状态的应力应变 关系称为广义虎克定律。
39

? ? 1 ? ? ? ?? x ? ?1 ? ? ?? ? ? ? ? y? ? ? E (1 ? ? ) ?1 ? ? ?? z ? ? ? ?? ? ? ( 1 ? ? )( 1 ? 2 ? ) xy ? ? ? 0 ?? yz ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? zx ? ? ? 0 ? ?

?
1? ? 1

?
1? ?

0 0 0 1 ? 2? 2(1 ? ? ) 0 0

0 0 0 0 1 ? 2? 2(1 ? ? ) 0

?
1 0 0 0

?
1? ? 0 0 0

1? ?

? ? ? 0 ?? ? x ? ?? ? ?? ? y ? 0 ? ?? ??z ? ? ?? ? 0 ??? xy ? ??? yz ? ?? ? 0 ?? ?? zx ? ? ? 1 ? 2? ? 2(1 ? ? ) ? ? 0

写成矩阵形式为

? ? D?
40

边界条件
Cz pz N

?xy
? zx ?z

?x

?xz
? zy O
A B

py
y

XN,YN,ZN分别为作用在某一任意平 面上的沿三个坐标轴方向的分量。 对于已知应力边界条件的情况, 相应的应力边界条件为

l? x ? m? yx ? n? zx ? X N l? xy ? m? y ? n? zy ? YN l? xz ? m? yz ? n? z ? Z N

x

l? x ? m? yx ? n? zx ? qx l? xy ? m? y ? n? zy ? q y l? xz ? m? yz ? n? z ? qz
41

? 二维问题:
2个位移分量,3个应力分量,3个应变分量 2个平衡方程,3个几何方程,3个物理方程 ? 三维问题: 3个位移分量,6个应力分量,6个应变分量 3个平衡方程,6个几何方程,6个物理方程 我们得到的变量和方程都是从任意变形体中所取出来的微单元体 来建立的,因此无论对象的几何形状和边界条件如何不同,其基 本变量和基本方程是完全相同,不同之处在于边界条件,所以求 解的难度是如何处理边界条件(几何形状)。
42

2.5弹性问题中的能量表示
? 能量分类

1)施加外力在可能位移上所作的功。 2)变形体由于变形而存储的能量。

43

? 2.5.1外力功
施加外力在可能位移上所作的功,外力有两种,包括 作用在物体上的面力和体力,这些力被假设为与变形

无关的不变力系(保守力),则外力功包括这两部分 力在可能位移上所作的功。
W = ? bx u ? by v ? bz w d? ? ?
?

?

?

sp

? p u ? p v ? p w?dA
x y z

? ? bi ui d? ? ? pi ui dA
? sp
44

? 2.5.2应变能
以位移(或应变)为基本变量所表达的变形能叫做应变 能(strain energy)。它也包括两部分

1)对应于正应力与正应变的应变能
2)对应于剪应力和剪应变的应变能

45

46 对应于正应力与正应变的应变能,另外两个方向上的计算类似。

对应于剪应力和剪应变的应变能(其它两个剪应力类似)

47

? 由叠加原理,将所有方向的正应力应变和剪应力应变叠加得 1 U ? ? ? x? x ? ? y? y ? ? z ? z ? ? xy? xy ? ? yz? yz ? ? zx ? zx d? 2 ? 1 ? ? ? ij? ij d??i, j ? x, y, z ? 2 ?

?

?

? ? 11? 11 ? ? 12? 12 ? ? 13? 13 ? ? 1 ? 1 ? ? 11? 11 ? ? 22? 22 ? ? 33? 33 ? ? U ? ? ? ? ? 21? 21 ? ? 22? 22 ? ? 23? 23 ?d? ? ? ? d? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2? 12? 12 ? 2? 13? 13 ? 2? 23? 23 ? ? ? ? ? 31? 31 ? ? 32? 32 ? ? 33? 33 ?

48

? 从而得系统势能
? ? U ?W 1 ? ? ? ij? ij d? ? ? ? bi ui d? ? ? pi ui dA? ? ? sp ? ? ? 2 ? 1 ? ? ?? x ? x ? ? y ? y ? ? z ? z ? ? xy ? xy ? ? yz ? yz ? ? zx? zx ? d? 2 ? ? ? ? bx u ? by v ? bz w d? ? ? ? px u ? p y v ? pz w ?dA? ? ? sp ? ? ?

?

?

49

2.6特殊问题的讨论
? 实际问题中,经常有一些比较典型的情况,需要有针对 性的进行处理,如
? 厚度较薄的平面问题

? 厚度较厚的等截面平面应变问题
? 物体的刚体移动 ? 物体变形后的体积变化等

50

? 弹性力学可分为空间问题和平面问题,严格地说,任何 一个弹性体都是空间物体,一般的外力都是空间力系, 因而任何实际问题都是空间问题,都必须考虑所有的位 移分量、应变分量和应力分量。但是,如果所考虑的弹 性体具有特殊的形状,并且承受的是特殊外力,就有可 能把空间问题简化为近似的平面问题,只考虑部分的位 移分量、应变分量和应力分量即可。
? 平面应力问题 ? 平面应变问题
51

2.6.1平面应力问题

? 几何形状特征:物体在一个坐标方向(例如z)的几何尺寸远远小于 其他两个坐标方向的几何尺寸,如图所示的薄板。
? 载荷特征:在薄板的两个侧表面上无表面载荷,作用于边缘的表面 力平行于板面,且沿厚度不发生变化,或虽沿厚度变化但对称于板 的中间平面,体积力亦平行于板面且沿厚度不变。
y
y

x

z

52

考察应力边界特点

? z z ?? t ? 0 ? zx z?? t ? 0 ? zy z ?? t ? 0
z z z

几何方程
? ?u ? ? ? ? ? x ? ? ?x ? ? ? ? ?v ? ??y ? ? ? ? ? ? ? ?y ? ?? xy ? ? ?v ?u ? ? ? ? ? ? ?x ?y ? ?

物理方程
? ? ?? x ? ?1 ? 0 ? ?? x ? ? ? ?? ? E ? ? ? ? 1 0 ? y? ?? y ? ? 2 ? ? ? 1? ? ? 1 ? ? ? ?? xy ? ? xy ? ? ?0 0 ?? ? ? 2 ?

平衡方程
?? x ?? xy ? ? bx ? 0 ?x ?y ?? yx ?? y ? ? by ? 0 ?x ?y

注意:

?z ?

1 ? ?? z ? ? ?? x ? ? y ? ? ? ? ?? x ? ? y ? ? 0 ? E? E
53

2.6.2平面应变问题

? 几何形状特征:物体沿一个坐标轴(例如z轴)方向的长度很长,且 所有垂直于z轴的横截面都相同,即为一等直柱体;位移约束条件或 支承条件沿z方向也相同。 ? 载荷特征:柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于z轴,且 分布规律不随z变化。 y
y

x

x z
z

54

特点:z方向位移以及应变为零(但z方向的应力不为零)

? xz ? ? yz ? ? z ? 0
几何方程
? ?u ? ? ? ? x ? ?x ? ? ? ? ? ? ?v ? ??y ? ? ? ? ? ? ? ?y ? ?? xy ? ? ?v ?u ? ? ? ? ? ? ?x ?y ? ?

物理方程
? ? 1 E ? ?? x ? 2 ? ? ? ? 1? ? ?? y ? ? 2 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?? xy ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ?

平衡方程
? ? ? ?? x ? ?? ? 0 ? ?? y ? ?? ? ? 1 ? 2? ? ? xy ? ? 2 ?1 ? ? ? ? ? 0

? 1? ?
1 0

?? x ?? xy ? ? bx ? 0 ?x ?y ?? yx ?? y ? ? by ? 0 ?x ?y

注意:由于z方向的伸缩被阻止,所以 ? z ? ? ?? x ? ? y ? ? 0
55

因为在平面应变问题中也有 ? yz ? 0 和 ? zx

? 0 ,所以有相应的剪应变为零。

可以看出,平面应力和平面应变问题的物理方程可以通过以下变换互相得到

E? ?

E 1? ? 2

?? ?

?
1? ?

E? ?

E ?1 ? 2 ? ?

?1 ? ? ?

2

?? ?

?
1? ?

平面应力

平面应变

平面应变

平面应力

56

平面应力和平面应变的区别

平 面 应 力

平 面 应 变
? x ? y ? xy

基本量 平衡方程
几何方程

? x ? y ? xy







形式相同、内容不同。将代入平面应力问题 物理方程 的物理方程即可得到平面应变问题的物理方 程。

57

2.6.3刚体位移的表达
? 刚体位移意味着刚体内没有任何应变,根据几何方程,积分可得
? ?u ? ? ? ? x ??x ? ? ? ? ? ? ?v ? ?? y ? ? ? ??0 ? y ? ? ? ? ?? xy ? ? ?v ?u ? ? ? ? ? ?x ?y ?

u ( x, y ) ? f1 ( y ) v ( x, y ) ? f 2 ( x ) df 2 ( x ) df1 ( y ) ? ?0 dx dy

? 要使得第三个式子成立,须满足以下条件
df 2 ( x ) df ( y ) ?? 1 ?? ?x ?y

求解得:

f 2 ( x ) ? ? x ? v0 f1 ( y ) ? ?? y ? u0
58

关于其中系数的讨论:
? ω=0,v0=0时有
u ( x, y ) ? ?? y ? u0 ? u0 v( x, y ) ? ? x ? v0 ? 0
u0是x方向的刚体位移

? ω=0,u0=0时有
u ( x, y ) ? ?? y ? u0 ? 0 v( x, y ) ? ? x ? v0 ? v0
v0是y方向的刚体位移
59

? u0=0 ,v0=0时有

合成位移是该点饶o点

u ( x, y ) ? ?? y ? u0 ? ?? y v( x, y ) ? ? x ? v0 ? ? x

的转动,角速度为ω

60


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弹性力学同有限元分析的关系
弹性力学有限元分析的关系_计算机软件及应用_IT/计算机_专业资料。诚信·公平...2、研究的对象:材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件,即长度远大 于...
第2章(弹性力学基础)
,主要包括:(1)线弹性问题的几个假设,(2)应力、应变 的定义和性质,(3)应力平衡方程、几何方程和物理方程等,这些是进行机械结构有限元分析的重要 力学理论基础。...
《弹性力学及有限元》教学大纲
序号 1 2 3 4 5 合内 第一章 绪论 第弹性力学基本理论 第三章 有限单元法的基本步骤 第四章 弹性力学平面问题的高精度单元 第五章 有限元分析程序...
弹性力学及有限元基础考试题
5页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 弹性力学有限元基础考试题 隐藏>> 题6 分享到: X ...
有限元基础课程学习总结
2 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元方法表达格式的基本步骤。 最小位能原理的未知场变量是位移,以节点位移为...
2457 弹性力学及有限元分析
2. 弹性力学有限元分析是一门理论性和实用性都很强的学科,它要求自学者具有较 好的力学和数学基础;通过对该课程的学习,要求应考者掌握弹性力学基本理论,...
第2章 弹性力学基础
2弹性力学基础内容提要:本章主要介绍弹性力学的基本概念,主要包括应力、...此外, 为了更好地理解机械结构有限元分析的基本原理以及将来对分析结果更好地...
有限元简介2
2 弹性力学平面问题的有限元法本章包括以下的内容: 2.1 弹性力学平面问题的基本方程 2.2 单元位移函数 2.3 单元载荷移置 2.4 单元刚度矩阵 2.5 单元刚度矩阵...
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