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2009-2010学年度第一学期期中考试高一数学试卷


深圳实验学校高中部 2009-2010 学年度第一学期期中考试

高一数学答案
时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:彭修和 第Ⅰ卷 选择题部分(满分:50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡中.

1.在右边的 Venn 图中,阴影部分所表示的集合是 C A. A ? C. (
U

B

B. A ? D. (

U

B

U

A) ? B

U

A) ? B

2.根据表格中的数据,可以判定方程 ex?x?2=0 的一个根所在的区间为 B x ex x+2 ?1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

A. (2,3)

B. (1,2)

C. (0,1)

D. (?1,0)

3. 已知函数 f ( x) ? ( ) ? log 3 x ,若实数 a 是方程 f ? x ? ? 0 的解,且 0<b<a,则 f(b)
x

1 2

的值为 A A.恒为正值

B.等于 0

C.恒为负值

D.不大于 0

4. 设 a 、 b 满足 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式中正确的是 C A. a ? a
a b

B. b ? b
a

b

C. a ? b
a

a

D. b ? a
b

b

数学试卷

第Ⅰ、Ⅱ卷

第 1 页 共 9 页

5.设 m ? R ,集合 P ? [?1,1) , Q ? (m , ? ?) ,若 P ? Q ? ?,则实数 m 的取值范围是 A A. (?? , 1) B. [?1 , 1) C. [?1 , ? ?) D. (?1 , 1]

6.如图,如果对于定义域内任意的 x1 , x2 ,都有

? x ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称 f (x) 为凹函数, f? 1 ?? 2 ? 2 ?
下列函数中是凹函数的是 D A. y ? ?3 x B. y ? ?

1 x

C. y ?

x

D. y ? log1 x
2

7.设 b ? 0 ,二次函数 y ? ax2 ? bx ? a 2 ? 1 的图像为下列之一

y

y

y

y

?1

1

O

x

?1 O

1

x

O

x

O

x

则 a 的值为 B A. 1 B. ? 1 C.

?1? 5 2

D.

?1? 5 2

8.对一切不等式 x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 对 x≥0 恒成立, 则 a 的取值范围是 D
2

A. a ? 1

B. a ? 0

C. a ? 3

D. a ? ?1

9.定义集合 A、B 的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B} ,若 A={1,2,3} , B={1,2} ,则集合 A*B 中的所有元素之和为 B A.9 B.14 C.18 D.21

10.已知函数 f ( x) ? ? A.2008

?log 2 (1 ? x), x ? 0, ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0.
B.2009

则 f (2010) ? C C.2010 D.2011

数学试卷

第Ⅰ、Ⅱ卷

第 2 页 共 9 页

第Ⅱ卷

非选择题部分(满分:100 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填写在每小题后面的横
线上.

2x ? 1 ? 0 的解集是 11.不等式 3x ? 1

1 1 {x | x ? ? 或x ? } 3 2

.

12. 函数 y ?

x 2 ? 4 x 的单调递增区间是

[4,??)



13. 将函数 y ? f (x) 的图象先沿 x 轴方向向右平移 1 个单位,再沿 y 轴方向向上平移 1 个 单位,得到的图象与自然对数函数 y ? ln x 的图象关于直线 y=x 对称,则 f (x) ? .

f ( x) ? e x?1 ? 1
14.

4 ?2 1 ? lg 5 | ? lg 2 2 ? lg 4 ? 1 ? 31?log3 2 = 求值: | ( ) 9 2

1

0

.

15.函数 f(x)对任意的实数 a,b 都满足:f(a+b)=f(a)+f(b),且 f(2)=1,则 f(?2)= 16.给出下列命题: ①函数 y ? ( ) 的值域是 (??,1] ;
| x|

.

?1

1 3

② 函数 y ?

log 1 (5 x ? 4) 的定义域是 (??,1] ;
2

③已知 f (x) 的定义域为 [?1,2) ,则 f (| x |) 的定义域为 (?2,2) ; ④若 a ? log2 3 ? 1,

b ? log2 14 ? 1,则 a ? b ;

⑤如果映射 f:A→B 满足集合 B 中的任意一个元素在 A 中都有原象,则称为“满射”.若集 合 A 中有 3 个元素,集合 B 中有 2 个元素,则从 A 到 B 的不同满射的个数为 6.
数学试卷 第Ⅰ、Ⅱ卷 第 3 页 共 9 页

其中正确的判断是_______③、④、⑤______(把你认为正确的判断都填上).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (满分 10 分) 已知非空集合 A ? ?x | 2a ? 1 ? x ? 3a ? 5? , B ? ?x | 3 ? x ? 22?,求使 A ? B 成立 的实数 a 的取值集合.

?2 a ? 1 ? 3 ? ?3a ? 5 ? 22 17.解:由 A ? B 知: ?2a ? 1 ? 3a ? 5 ?
解得:6≤a≤9 ?实数 a 的取值集合为[6,9].

18.(满分 12 分) 设 f ( x) ?| 1 ? x | ? | x ? 3 | , x ? R . (Ⅰ)去掉绝对值,用分段形式表示函数 f (x) ; (Ⅱ)作出 y ? f (x) 的图象,并写出 f (x) 的值域.

18.解: (Ⅰ) (法一)当 x ? 1 时, f ( x) ? 1 ? x ? x ? 3 ? ?2 ; 当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 ? 2 x ? 4 ;

数学试卷

第Ⅰ、Ⅱ卷

第 4 页 共 9 页

当 x ? 3 时, f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 ? 2 .…………………………… 6 分

( x ? 1), ?? 2 ? 所以 f ( x) ? ?2 x ? 4 (1 ? x ? 3), …………………………………………………… 7 分 ?2 ( x ? 3). ?
(法二)因为 f ( x) ?| 1 ? x | ? | x ? 3 | 表示数轴上点 x 到点 1 的距离与到点 3 的距离的差,

( x ? 1), ?? 2 ? 所以 f ( x) ? ?2 x ? 4 (1 ? x ? 3), ………7 分 ?2 ( x ? 3). ?
(Ⅱ)图象如图(注:如果画出的是 三条直线,扣 1 分)…………………10 分

f (x) 的值域为 [?2 , 2] .………12 分

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a x (其中 a ? 0 ,且 a ? 1 ). (1) 求函数 y ? f (2 x 2 ? 3x ? 1) ? f ( x 2 ? x ? 4) 在(0,+?)上的零点; (2) 当函数 f(x)的定义域为 [?2 , 2] 时,f(x)的最大值比最小值大

15 ,求 a 的值. 4

2 2 19.解:(1) 由 f (2 x ? 3x ? 1) ? f ( x ? x ? 4) ? 0 得: x ? 2 x ? 3 ? 0 ………2 分
2

解得 x ? ?3 或 x ? 1 ?函数 y ? f (2 x ? 3x ? 1) ? f ( x ? x ? 4) 在(0,+?)上的零点为 1. ………5 分
2 2 x (2)(法一)当 0 ? a ? 1 时, y ? a 是 [?2 , 2] 上的减函数,

ymax ? a ?2 , ymin ? a 2 ,
由已知 a

15 4 2 2 2 ,即 4a ? 15a ? 4 ? 0 , (4a ? 1)(a ? 4) ? 0 , 4 1 1 a 2 ? ,又 0 ? a ? 1 ,所以 a ? .…………………………………………………8 分 4 2
?2

? a2 ?

数学试卷

第Ⅰ、Ⅱ卷

第 5 页 共 9 页

当 a ? 1 时, y ? a x 是 [?2 , 2] 上的增函数,

ymin ? a ?2 , ymax ? a 2 ,
由已知 a ? a
2 ?2

?

15 4 2 ,即 4a ? 15a ? 4 ? 0 , (4a 2 ? 1)(a 2 ? 4) ? 0 , 4

a 2 ? 4 ,又 a ? 1 ,所以 a ? 2 .…………………………………………11 分
综上所述, a ?

1 或 a ? 2 .……………………………………………………………12 分 2

(法二)因为 y ? a x (其中 a ? 0 ,且 a ? 1 )在 [?2 , 2] 上是单调函数,所以最大值和 最小值分别在区间 [?2 , 2] 的两个端点取得.………………………………………8 分 由已知得 | a ? a
2

a 2 ? a ?2

15 ,………………………………………………………………10 分 4 15 1 ? ? , 4a 4 ? 15a 2 ? 4 ? 0 ,解之得 a ? 或 a ? 2 .…………………12 分 4 2
?2

|?

20. (满分 12 分) 设函数 f ( x) ? log2 x , g ( x ) ?

1? x . 1? x

(Ⅰ)用定义证明: y ? g (x) 在区间 (?1 , ? ?) 上是减函数; (Ⅱ)求函数 y ? f ( g ( x)) 的定义域,并判断 f ( g ( x)) 的奇偶性. 20.解: (Ⅰ)设 x1 , x2 ? (?1 , ? ?) ,且 x1 ? x 2 , 则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

1 ? x1 1 ? x2 2( x2 ? x1 ) ………………………………3 分 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

因为 ? 1 ? x1 ? x2 ,所以 x2 ? x1 ? 0 , 1 ? x1 ? 0 , 1 ? x2 ? 0 , g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 从而 y ? g (x) 在区间 (?1 , ? ?) 上是减函数.…………………………………………6 分 (Ⅱ) f ( g ( x)) ? log 2

1? x 1? x ? 0 ,得 ( x ? 1)(x ? 1) ? 0 , ? 1 ? x ? 1 , ,由 1? x 1? x

所以 y ? f ( g ( x)) 的定义域为 (?1 , 1) .………………………………………………9 分
数学试卷 第Ⅰ、Ⅱ卷 第 6 页 共 9 页

1? x ?1? x ? 由 f ( g (? x)) ? log2 ? log2 ? ? 1? x ?1? x ?

?1

? ? log2

1? x ? ? f ( g ( x)) , 1? x

所以 f ( g ( x)) 是奇函数.…………………………………………………………………12 分

21. (本小题满分 12 分) 为了研究甲型 H1N1 在传播的过程中病毒细胞的生长规律及其预防措施, 将甲型 H1N1 病毒细胞的 m 个细胞注入一只小白鼠的体内进行试验.在试验过程中,得到病毒细胞的数 量与时间的关系记录如下表: 时间(小时) 病毒细胞总数(个) 1 m 2 2m 3 4m
6

4 8m

5 16m

6 32m

7 64m

已知甲型 H1N1 病毒细胞在小白鼠体内超过 m ?10 个时,小白鼠将死亡,但有一种药 物对杀死甲型 H1N1 病毒有一定效果,用药后,即可杀死其体内的大部分病毒细胞. (1)在 16 小时内(含第 16 小时),写出病毒细胞的总数 y 与时间 x 的函数关系式; (2)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,最迟应在何时注射该种药物.(精确到小时,

lg 2 ? 0.3010 )
21.解:(1)第 1 小时的病毒细胞总数为 m 个, 第 2 小时的病毒细胞总数为 2m 个, 第 3 小时的病毒细胞总数为 2 m 个, 第 4 小时的病毒细胞总数为 2 m 个, ………… 第 x 小时的病毒细胞总数为 2 故 y ? m ? 2 x ?1 .又 m ? 2
16?1
x ?1 3

2

m 个,

? m ? 32768 ? m ?106 ,
x ?1

所以函数的解析式为: y ? m ? 2

(1 ? x ? 16) .………………………7 分

(2)设最迟在第 n 小时注射药物,由(1)可得: 为了使小白鼠不死亡,应有: m ? 2
n ?1

? m ?106

? 2n?1 ? 106 ,?(n ?1)lg 2 ? 6
数学试卷 第Ⅰ、Ⅱ卷 第 7 页 共 9 页

?n ? 1?

6 ? 20.9 lg 2

答:最迟在注入病毒细胞后的第 20 小时应注射药物. ………………………12 分

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ?

x?

1 x

1 1 [ x] ? [ ? ? [ x] ? [ ? ?? x x

( x ? 0) ,其中 [x? 表示不超过 x 的最大整数,

如 [2]=2, [ ] ? 0, [1.8] ? 1 . (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)若在区间 [2,3) 上存在 x,使得 3x ? [ f ( x) ? 3] ? k 成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)当 n≤x<n+1,n ≥2,n?N 时,求函数 f ( x ) 的值域.

1 3

3 2

3 2 ? 3 13 3 2 2 3 22.解: (Ⅰ)因为 [ ] ? 1,[ ] ? 0 ,所以 f ( ) ? ? . 2 [ 3 ] ? [ 2 ] ? [ 3 ] ? [ 2 ] ? 1 12 2 3 2 3 2 3
(Ⅱ)因为 2≤x<3,所以[x]=2, [ ] ? 0 , ----------------------4 分 则 3x ? [ f ( x) ? 3] ? x 2 ? 9 x ? 1 在区间 [2,3) 上递减,.

-------------3 分

1 x

即可得 3x ? [ f ( x) ? 3] ? x ? 9 x ? 1 在区间 [2,3) 上的值域为 ( ?17,?13] ,-----6 分
2

在区间 [2,3) 上存在 x,使得 3x ? [ f ( x) ? 3] ? k 成立, 所以 k>-17. -------------------- 8 分 (Ⅲ)当 n≤x<n+1,n ≥2,n?N 时,设 x? n? ? ,n?N*,0? ? ?1.
?1? ∵?x?? n, ? ? ? 0 ,所以 f ? x ? ? f (n ? ? ) ? ?x?

n ?? ?

1 n ?? . n ?1

-----------------9 分

?设g ? x? ? x ?

1 ,则 g ( x) 在?2,???上是增函数,(不证明不扣分) x 又 n ? n ? ? ? n ? 1,
数学试卷 第Ⅰ、Ⅱ卷 第 8 页 共 9 页

?n ?

1 1 ? , ? n ?? ? ? n ??? n n ?? n ??

1 1 n ?1? n ? f ( x) ? n ? 1 (n ? N , n ? 2) ? n ?1 n ?1 n?
? 当 n≤x<n+1,n ≥2,n?N 时 , 函 数

f ( x)









1 1 n ?1? n, n ? 1 )(n ? N , n ? 2) . [ n ?1 n ?1 n?
----------------12 分

数学试卷

第Ⅰ、Ⅱ卷

第 9 页 共 9 页


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