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正弦、余弦函数与正切函数的图象与同步练习


正弦、余弦函数与正切函数的图象 (1)函数 y=sinx 的图象:叫做正弦曲线 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份.(预备:取自变量 x 值—弧度制下角与实 数的对应). 第二步:在单位圆中画出对应于角 0,

?
6



? ? , ,?,2π 的正弦线正弦线(等价于“列表” ).把角 x 的 3 2

正弦线向右平行移动, 使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合, 则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点 (等 价于“描点” ). 第三步:连线.用光滑曲线把正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象.

根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x ( x ? R ) 的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正弦线的终点的轨迹就 是正弦函数 y=sinx 的图象.

(1)

余弦函数 y=cosx 的图象:叫做余弦曲线

根据诱导公式,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o

? 单位即得余弦函数 y=cosx 的图象. 2
y=sinx
? 3? 4? 5?

2?

6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

(3) 作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0) ( 余弦函数 y=cosx 讲解范例:
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用五点法
? 3? ,1) (?,0) ( ,-1) (2?,0) 2 2

x?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) (

? 3? ,0) (?,-1) ( ,0) (2?,1) 2 2
-1-

例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ],

(2)y=-COSx

探究 如何利用 y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 (1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕的图象; (2)y=sin(x- π /3)的图象?

小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。 探究 如何利用 y=cos x,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y=-cosx , x∈〔0,2π 〕的图象?

小结:这两个图像关于 X 轴对称。 探究 如何利用 y=cos x,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y=2-cosx ,x∈〔0, 2π 〕的图象?

小结:先作 y=cos x 图象关于 x 轴对称的图形,得到 y=-cosx 的图象, 再将 y=-cosx 的图象向上平移 2 个单位,得到 y=2-cosx 的图象。

讲解新课: 正弦、余弦函数的性质(一) 1.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有: f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 说明:y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2 (一般称为周期) ;从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ;

y ? cos x ,

x ? R 的最小正周期为 2? ;
要点:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期 T ? 2、例题讲解:求下列函数的周期 例 y=sin(2x+
? ? )+2cos(3x- ) 4 6 ? ) 4

2? |? |

解: y1=sin(2x+

最小正周期 T1=?

y2=2cos(3x-

? 2? ) 最小正周期 T2= 6 3

∴T 为 T1 ,T2 的最小公倍数? ∴T=? 例 y=|sinx| 解: T=? 作图

??

-?

y 1 o 1

?

2?

3?

x
?
6 ),x?R.

练习:求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x

② y ? sin 2 x (3) y ? 2sin( x ?

1 2

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讲解新课:正弦、余弦函数的性质(二) 1.奇偶性 :从图象上可看出函数 y=cosx 是偶函数, 函数 y=sinx 是奇函数。 2.单调性: 正弦函数在每一个闭区间[-

? ? +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增大到 1; 2 2 ? 3? 在每一个闭区间[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 2 2

余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加到 1; 在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 3.有关对称轴:y=sinx 的对称轴为 x= k? ? 练习(1)写出函数 y ? 3 sin 2 x 的对称轴; (2) y ? sin( x ?

?
2

k∈Z

; y=cosx 的对称轴为 x= k?

k∈Z

?
4

) 的一条对称轴是(



(A) x 轴, 4.例题讲解 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

(B) y 轴, (C) 直线 x ?

?
4



(D) 直线 x ? ?

?
4

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x

(2) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x );

例 2 函数 f(x)=sinx 图象的对称轴是 例 3.P38 面例 3

;对称中心是

.

例 4 不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0;

10 1 ? 例 5 求函数 y ? 2 sin( x ? ) 的单调递增区间; 2 3 ? 1 x ? [?2? ,2? ] 的单调递增区间吗? 思考:你能求 y ? sin( ? x) 3 2
讲解新课:正切函数的性质与图象 1.正切函数的图象,称“正切曲线” 。

① sin( ?

?
18

) ? sin( ?

?

)

② cos( ?

23 17 ? ) ? cos( ? ? ) 5 4

y
y

3 ? ? 2

?

?
2
O
0

? 2

?

3 ? 2

??

x
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x

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正切函数的性质 (1)定义域: ? x | x ? (2)值域:R

? ?

?

? ? k? , k ? z ? ; 2 ?
?
2

观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于

??? ?k ? z ? , x ? k? ? ? 时, tan x ?? ??
2

(3)周期性: T ? ? ; :函数

? ?? ? k? 时, tan x ? ?? 。 2 y ? A tan ?? x ? ? ?? A ? 0,? ?20?
?

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

的周期

T?

? ?

(4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数; (5)单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 ? ? 2 ? 2 ? (6)正切曲线是由被相互平行的直线 x ? k? ? 讲解范例: 例 1 比较 tan? ?

?

2

? k ? Z ? 所隔开的无穷多支曲线组成的。

? 13? ? ? 17? ? ? 与 tan? ? ? 的大小 ? 4 ? ? 5 ?

王新敞
奎屯

新疆

解 : ? tan? ?

? 2? ? 2? ? 13? ? ? 17? ? ? ?? ,0? ? , y ? tan x在? 0, ? 内 单 调 递 增 , ? ? ? t a n , tan? ? ? ? ? tan 4 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ? ? 2?

? tan

?
4

? tan

2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ?

王新敞
奎屯

新疆

例 2:求下列函数的周期:
(1) y ? 3tan ? x ?

? ?

??
? 5?

(2) y ? tan ? 3x ?

? ?

??
? 6?

练习
知识点一: (1)利用单位圆中的正弦线作出正弦函数图象

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y ? sin x ,x ? R

思考:在做正弦函数图象时抓住哪些关键点:

x ? [0, 2? ] ,在要求精度不太高的情况下我们一般用五点作图

x
sin x

(2)怎样由 y ? sin x , x ? R 得到 y ? cos x , x ? R 图象 方法:
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

我们把以上两个 图象分别叫做正 弦曲线和余弦曲 线. 思考: 余弦曲线图 象应抓住哪些关 键点:

x ? [0, 2? ] , 在要

求精度不太高的情况下我们一般用五点作图

x cos x
(3).典型例题 例 1.画出下列函数的简图 (1) y ? 1 ? sin x (2) y ? ? cos x

x ?[ 0 , ? ] 2 x ?[ 0 , ? ] 2
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(3) y ? 2sin x (4) y ? sin( x ?

x ? [0, 2? ]
3? ) 2

x ? [? 2 , ? ] ? 2

知识点二:正、余弦函数的性质 (1)定义域: (2)值域: (3)对称性:

知识点三:三角函数图象应用 例 2. (1)方程 lg x ? sin x 解得个数为( A. 0 (2) x ? [? B. 1 C. 2 ) D. 3

? 3?
2 , 2

] 解不等式 sin x ? ?

3 2

( x ? [?

? 4?
3 , 3

])

小结: (1)正弦曲线定义(2)正余弦函数图象五点作图法步骤 (3)图象应用; (4)三角函数性质 课后作业

1.以下对正弦函数 y ? sin x 的图象描述不正确的是





A. 在 x ?[2k? , 2k? ? 2? ](k ? Z ) 上的图象形状相同只是位置不同 B. 介于直线 y ? 1 与 y ? ?1 之间当 x>0 时,你估计函数 y= 2 和 y= x 的图象共有几个交点?
x

2

C.关于 x 轴对称 D.与 y 轴仅有一个交点 2.用五点作图作 y ? 2sin 2 x 的图象,首先应描点的五点的横坐标可以是 B. 0,



)A. 0,

?
2

,? ,

? ? 3?

3? , 2? 2

, , ,? 4 2 4
D. 0,

C. 0, ? , 2? ,3? , 4?

? ? ? 2?
, , , 6 3 2 3

3.在 [0, 2? ] 上,满足 sin x ? A. [0,

] 6 ? 2? ] C. [ , 6 3

?

1 的 x 的取值范围是( 2 ? 5? ] B. [ , 6 6 5? ,? ] D. [ 6



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4. y ? cos x 的图象向左平移 B. sin x 5.函数 y ? cos(2 x ? A.最小正周期是 2? C.y 轴对称

? 个单位后,得到 y ? g ( x) 的图象,则 g ( x) 的解析式( 2 C. ? cos x D. cos x
( B.图象关于 y 轴对称 D. 直线 x ? )

) A. ? sin x

5? )的 2

?
2

对称

6. sin x ?

?
10

的根的个数为___________.
2

7. y ? 9 ? x ?

1 的定义域是_____________ sin x

8.由 sin(

?
2

? x) ? cos x 可知,把函数 y ? sin x 的图象经过____________________ (变换)可得 y=cosx 的图象.

9.作出下列函数的简图 (1) y ? 1 ? cos 2 x (2) y ? sin | x |

x ? [? 2 , ? ] ? 2

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