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《机械振动》课程期终考试卷-答案


一、填空题 1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成(线性振动)和非线性振动;确定性振动和(随机振动) ; (自由振动)和强迫振动。 2、周期运动的最简单形式是(简谐运动) ,它是时间的单一(正弦)或(余弦)函数。 3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与(质量)和(刚度)有关,与系统受到的激励无关。 4、简谐激励下单自由度系统的响应由(瞬态响应)和(稳态响应)组成。 5、工程上

分析随机振动用(数学统计)方法,描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、 (自 相关函数)和(互相关函数) 。 6、单位脉冲力激励下,系统的脉冲响应函数和系统的(频响函数)函数是一对傅里叶变换对,和系 统的(传递函数)函数是一对拉普拉斯变换对。 2、在离散系统中,弹性元件储存( 势能 ),惯性元件储存(动能 )(阻尼 )元件耗散能量。 , 4、叠加原理是分析(线性 )系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的(刚度 )和(质量 )有关,与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和(频响函数 )函数是一对傅里叶变换对,和(传递函数 )函数是一对拉 普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的(往复弹性 )运动。

1.振动基本研究课题中的系统识别是指 根据已知的激励和响应特性分析系统的性质,并可 得到振动系统的全部参数。 (本小题 2 分) 2.振动按激励情况可分为 自由振动 和
?

强迫振动
1
n

两类。 (本小题 2 分) 。

3.图(a)所示 n 个弹簧串联的等效刚度 k

;图(b)所示 n 个粘性阻尼串联的等效粘
1 ki

?
i ?1

性阻尼系数 C e

?

1

?
i ?1

n

1 ci

。 (本小题 3 分)

(a)
题一 3 题图

(b)

4.已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为
? x 1 ? 20 cm s ? 和 x2 ? 8 cm s

x 1 ? 5 cm
?



x 2 ? 10 cm

时的速度分别为

,则其振动周期 T

?

2.97s;振幅 A

10.69cm。 (本小题 4 分)

5.如图(a)所示扭转振动系统,等效为如图(b)所示以转角 ? 2 描述系统运动的单自由度 系统后,则系统的等效转动惯量 I eq
? I 1i ? I 2
2

,等效扭转刚度 k teq

? k t 1i ? k t 2
2

。 (本小题 4 分)

1

题一 5 题图

解:设两个齿轮的传动比为: i 系统的动能为: E T 1 系统的势能为: U 1
?
?

?

?1 ?2
2

1 2
1 2

? I 1? 1 ?
2
2

1 2
1 2

? I 2? 2 ?
k t 2? 2 ?
2 2

1 2
1 2

?I

1

2 ?2 i ? I2 ?2

?

k t 1? 1 ? ? 1 2

?k

t1

i

2

? kt2 ? 2

?

2

等效系统的动能为: E T 2
等效系统的势能为: U
2

? I eq ? 2
2

?

1 2

k eq ? 2

令 E T 1 ? E T 2 ,可得等效转动惯量为: I eq ? I 1 i ? I 2
2

令 U 1 ? U 2 ,可得等效转动惯量为: k teq ? k t 1 i ? k t 2
2

6.已知某单自由度系统自由振动微分方程为 ?
? ? x0 ?? ?? ? n ? ? ? ?
2

? ?? ? ? n 2 x ? 0 ?x ? x (0 ) ? ? x 0 ? , ? ? x (0) ? x 0

,则其自由振动的振幅为

A ?

x0

2

,初相角 ? ? ? ? arctg

x 0? n ? x0

。 (本小题 4 分)

7.已知库仑阻尼产生的摩擦阻力 F d 等效粘性阻尼系数 C e
?
4?N

? ? N ,其中:N

为接触面正压力, ? 为摩擦系数,则其

?? n A

。 (本小题 2 分) 隔振后传递到基础结构上合力的幅值与振源所产生激振力的

8. 积极隔振系数的物理意义为

幅值之比(力传递率) ;消极隔振系数的物理意义为隔振后系统上的绝对位移幅值与振源所产 生的简谐振动振幅之比(绝对运动传递率)(本小题 4 分) 。 9.多自由度振动系统微分方程可能存在惯性耦合、刚度耦合和黏性耦合三种耦合情况。 (本 小题 3 分)
二、简答题 1、什么是机械振动?振动发生的内在原因是什么?外在原因是什么? 答:机械振动是指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。 振动发生的内在原因是机械或结构具有在振动时储存动能和势能,而且释放动能和势能并能使动能和 势能相互转换的能力。 外在原因是由于外界对系统的激励或者作用。 2、从能量、运动、共振等角度简述阻尼对单自由度系统振动的影响。
2

答:从能量角度看,阻尼消耗系统的能力,使得单自由度系统的总机械能越来越小; 从运动角度看,当阻尼比大于等于 1 时,系统不会产生振动,其中阻尼比为 1 的时候振幅衰减最快; 当阻尼比小于 1 时,阻尼使得单自由度系统的振幅越来越小,固有频率降低,阻尼固有频率
?d ? ?n 1? ?
2



共振的角度看,随着系统能力的增加、增幅和速度增加,阻尼消耗的能量也增加,当阻尼消耗能力与 系统输入能量平衡时,系统的振幅不会再增加,因此在有阻尼系统的振幅并不会无限增加。 3、简述无阻尼多自由度系统振型的正交性。 答:属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量和刚度矩阵为权正交。其数学表达为:如果当 r ? s
?{ u s } T [ M ]{ u r } ? 0 ? T { u } [ K ]{ u r } ? 0 ,则必然有 ? s 。

时,

?r ? ?s

4、用数学变换方法求解振动问题的方法包括哪几种?有什么区别? 答:有傅里叶变换方法和拉普拉斯变换方法两种。 前者要求系统初始时刻是静止的,即初始条件为零;后者则可以计入初始条件。 5、简述刚度矩阵[K]中元素 kij 的意义。 答:如果系统的第 j 个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移,其余各个自由度的位移保持为零,为 保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力,其中在第 i 个自由度上施加的外力就是 kij。 1、 简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。 答:实际阻尼是度量系统消耗能量的能力的物理量,阻尼系数 c 是度量阻尼的量; 临界阻尼是
c e ? 2 m ? n ;阻尼比是 ? ? c / c e

2、 共振具体指的是振动系统在什么状态下振动?简述其能量集聚过程? 答:共振是指系统的外加激励与系统的固有频率接近时发生的振动;共振过程中,外加激励的能量被 系统吸收,系统的振幅逐渐加大。 3、 简述随机振动问题的求解方法,以及与周期振动问题求解的区别。 答:随机振动的振动规律只能用概率统计方法描述,因此,只能通过统计的方法了解激励和响应统计 值之间的关系。而周期振动可以通过方程的求解,由初始条件确定未来任意时刻系统的状态。 三、计算题(45 分) 3.1、 (12 分)如图 1 所示的扭转系统。系统由转动惯量 I、扭转刚度由 K1、K2、K3 组成。 1)求串联刚度 K1 与 K2 的总刚度(3 分) 2)求扭转系统的总刚度(3 分) 3) 求扭转系统的固有频率(6 分) 。

1)串联刚度 K1 与 K2 的总刚度: K 12 ? 3) 系统固有频率:

K 1K

2

K1 ? K2

2) 系统总刚度: K

?

K 1K 2 K1 ? K 2

? K3

3

K 1K 2

? ?

K I

?

K1 ? K 2 I

? K3

(也可用能量法,求得系统运动方程,即可得其固有频率)

3.2、 (14 分)如图所示,轮子可绕水平轴转动,对转轴的转动惯量为 I,轮缘绕有软绳,下端挂有重量为 P 的物体,绳与轮缘之间无滑动。在图示位置,由水平弹簧维持平衡。半径 R 与 a 均已知。

1)写出系统的动能函数和势能函数; 分) (5 2) 求系统的运动方程; 分) (4 2)求出系统的固有频率。 分) (5 解:取轮的转角 ? 为坐标,顺时针为正,系统平衡时 ? ? 0 ,则当轮子有 ? 转角时,系统有:
ET ?
U ? 1 2

1 P ? 2 1 P 2 2 2 I ?? ? (? R ) ? ( I ? R )?? 2 2 g 2 g
k (? a )
2

1

由d (E T

?U ) ? 0

可知: ( I

?

P g

?? R )? ? k a ? ? 0
2 2 2

即: ?

n

?

ka I ? P g

2

(rad/s) ,故
R
2

T ?

2?

I ? ? 2?

P g
2

R

2

(s)

?n

ka

3.3、 (19 分)图 2 所示为 3 自由度无阻尼振动系统, k t 1 1)求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程; 2)求出固有频率; 3)求系统的振型,并做图。

? k t 2 ? k t 3 ? k t 4 ? k , I1 ? I 2 / 5 ? I 3 ? I 。

(6 分) (7 分) (6 分)

解:1)以静平衡位置为原点,设 I 1 , I 2 , I 3 的位移 ? 1 , ? 2 , ? 3 为广义坐标,画出 I 1 , I 2 , I 3 隔离体,根据牛顿第二 定律得到运动微分方程:
?? ? I 1? 1 ? k t 1? 1 ? k t 2 (? 1 ? ? 2 ) ? 0 ? ?? ? I 2? 2 ? k t 2 (? 2 ? ? 1 ) ? k t 3 (? 2 ? ? 3 ) ? 0 ? ?? I ? ? k t 3 (? 3 ? ? 2 ) ? k t 4? 3 ? 0 ? 3 3

4

?M ?
所以:

? I1 ? ? 0 ? ?0 ?

0 I2 0

0? ?1 ? ? 0 ? I 0 ? ? ?0 I3 ? ? ? ? kt2 kt2 ? kt3 ? kt3

0 4 0 0

0? ? 0 ; ? 1? ? ?1 2 ?1 0 ? ? ?1 ? 2 ? ?

? k t1 ? k t 2 ? ? K ? ? ? ? kt2 ? 0 ?

? ? 2 ? ? ? kt3 ? k ?1 ? ? ? 0 kt3 ? kt4 ? ? ?

?? ?? 1 ? ? ? 系统运动微分方程可写为: M ??? ? K ? ?? 2? ? ? ?? ? ? ? 3?

?? 1 ? ? ? ? ?? 2 ? ? 0 ?? ? ? 3?

………… (a)

或者采用能量法:系统的动能和势能分别为
ET ? 1 2 I 1??1 ?
2

1 2

I 2??2 ?
2

1 2

I 3??3

2

U ?
?

1 2
1 2

k t 1? 1 ?
2

1 2

k t 2 (? 1 ? ? 2 ) ?
2
2

1 2

k t 3 (? 2 ? ? 3 ) ?
2
2

1 2

k t 4? 3
2

2

( k t 1 ? k t 2 )? 1 ?

1 2

( k t 2 ? k t 3 )? 2 ?

1 2

( k t 3 ? k t 4 )? 3 ? k t 2? 1? 2 ? k t 3? 2? 3

求偏导也可以得到 ? M ? , ? K ? 。 2)设系统固有振动的解为:
?? 1 ? ? u 1 ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? ? u 2 ? c o s ? t ?? ? ? u ? ? 3? ? 3?

,代入(a)可得:

(? K ? ? ?

2

? M ?) ? u 2 ? ?
?u ? ? 3?

? u1 ? ? ?

0

………… (b)

得到频率方程: ? ( ? 2 ) ?

2k ? ? I
2

?k 2 k ? 4? I
2

0 ?k 2k ? ? I
2

?k 0

? 0

?k

即: ? (? 2 ) ? ( 2 k ? ? 2 I )( 4 I 2 ? 4 ? 1 0 kI ? 2 ? 2 k 2 ) ? 0 解得: ? 2 所以: ? 1
? ( 5? 4
? ( 5? 4 17

17

)

k I
)

和? 2
k I

? 2

k I

? ?2 ?

2

k m

? ?3 ?

(

5? 4

17

)

k I

………… (c)

将(c)代入(b)可得:
? 5 ? 17 k ) ?I ?2k ? ( 4 I ? ? ?k ? ? ? 0 ? ? ? ?k 2k ? ( 5? 4 ?k 17 k I ? ? ? ? ?k ? ? 5 ? 17 k ? 2k ? ( ) ?I ? 4 I ? ? 0

)

?4 I

? u1 ? ? ? ?u2 ? ? 0 ?u ? ? 3?

5

k ? 2 k ? 2 ?I ? I ? 和? ?k ? ? ? 0 ? ?

?k 2k ? 2 k I ?k ?4 I

? ? ? ? ?k ? ? k 2 k ? 2 ?I ? I ? ? 0

? u1 ? ? ? ?u2 ? ? 0 ?u ? ? 3?

解得:

u 1 1 : u 2 1 : u 3 1 ? 1 : 1 .7 8 : 1 ;

(或

u11 : u 21 : u 31 ? 1 :

3? 4

17

:1 )

u12 : u 22 : u 32 ? ? 1 : 0 : 1 ; u 1 3 : u 2 3 : u 3 3 ? 1 : ? 0 .2 8 : 1 ;
3? 4 17

(或 or u 1 1 : u 2 1 : u 3 1 ? 1 :

:1)

系统的三阶振型如图:

r1

m 1 I1 o1

m 2 I2 o2

r2

3.1、 (14 分)如图所示中,两个摩擦轮可分别绕水平轴 O1,O2 转动,无相对滑动;摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为 r1、m1、 I1 和 r2、m2、I2。轮 2 的轮缘上连接一刚度为 k 的弹簧,轮 1 的轮缘 上有软绳悬挂质量为 m 的物体,求: m 1)系统微振的固有频率; (10 分) 2)系统微振的周期; 分) (4 。 选取广义坐标 x 或θ ; 图1 确定 m 的位移与摩擦轮转角的关系, (质量 m 的位移与摩擦轮转动的弧长及弹簧的变形量相等), ; 写出系统得动能函数 Et、势能函数 U; 令 d(Et+U)=0.求出广义质量和刚度

k

6

求出 ? n ?
m ?

k I1 r1
2

?

I2 r2
2

,进一步求出 T

3.2、 (16 分)如图所示扭转系统。设转动惯量 I1=I2,扭转 刚度 Kr1=Kr2。 1)写出系统的动能函数和势能函数; (4 分) 2)求出系统的刚度矩阵和质量矩阵; (4 分) 3)求出系统的固有频率; (4 分) 4)求出系统振型矩阵,画出振型图。 (4 分) 令 I 1 ? I 2 ? I , k r1 ? k r 2 ? k r 1)略 2)

I1 k r1 k r2

I2

?K ? ?

? 2 kr ? ?? 1

? 1? ?, 1 ?

?M ? ?

?1 I? ?0

0? ? 1?

3)频率: ? n 1 ?
2

3? 2

5 kr I

? n2 ?
2

3? 2

5 kr I

? ? 4)振型矩阵: ?u ? ? ? ? ? ?

5 ?1 2 1 ?

1

? ? ? 0 . 618 ? ? ? 5 ? 1? ? 1 ? 2 ?

? ? ? 0 . 618 ? 1

3.3、 (15 分)根据如图所示微振系统, 1)求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程; 2)求出固有频率; 3)求系统的振型,并做图。

(5 分) (5 分) (5 分)

图3
3??
2

m k

?1 2 ? 2? ?1
2

0
2

频率方程:

? (? ) ? k
2

?1 0

m k

?1 3??
2

? 0 m k

2

即: ( 3 ? ? 固有频率: ? 1 ? ( 2 ?
2

2

m k 2)

) (2 ? ?
2

m k

) ? 2 (3 ? ? k m

m k

)? 0
2

k m

<

?2 ? 3
2

<

? 3 ? (2 ?

2)

k m

7

振型矩阵:

? ? ?u ? ? ? ? ?

2 ?1 1 2 ?1

1 0 ?1

? ? 0 . 414 ? ? 1? 2? ? 1 ? 1 ? ? 0 . 414 ? ? 1

1 0 ?1

? ? ? 0 . 414 ? ? 1 ? 1

1.用能量法求如图所示摆作微振动的固有频率。摆锤质量为 m ,各个弹簧的刚度为 k 2 ,杆 重不计。 (本小题 10 分)

题三 1 题图

解:(1)确定系统任一时刻势能和动能的表达式 任一时刻系统的动能为: E T 任一时刻系统的势能为:
U ? 1 2 K ( l B sin ? ) ? 2 ? mgl
2 A

?

1 2

2 m ( l A ?? )

(1 ? cos ? ) ? Kl

2 B

sin

2

? ? mg (1 ? cos ? )

(2)根据能量法的原理

d ?ET ? U dt

?

? 0

求解系统运动的微分方程和系统固有频率

d (ET ? U ) dt

2 2 ? ? ml A ???? ? 2 Kl B ?? sin ? cos ? ? mgl A ?? sin ? ? 0

微小振动时: cos ? ? 1 sin ?

??

, ?? 不总为零, 且 因此可得系统自由振动的微分方程为:
A

2 ? 2 ml A ?? ? ( 2 Kl B ? mgl

)? ? 0

系统固有频率为:
?n ?
2 kl B ? mgl
2 A 2 A

?

2 gkl

2 B

? gmgl
2 A

A

?

ml

mgl

2 ? g ? 2 kl B ? ? 1? ? Wl ? lA ? A ?

2. 试证明:单自由度系统阻尼自由振动的对数衰减率可用下式表示:
? ?
1 n ln X X
0 n

式中: X n 是经过 n 个循环后的振幅。并计算阻尼系数 ?

? 0 . 01

时,振幅减小到 50%以下所需

的循环数。 解:对数衰减率 ? 为相隔两个自然周期的两个振幅之比的自然对数,所以:
8

ln

X X

0 n

? X X X ? ln ? 0 ? 1 ? ? ? n ?1 ? X Xn ? 1 X2
0 n

? X0 X n ?1 X1 ? ? ln ? ln ? ? ? ln ? n? ? X1 X2 Xn ?

所以: ? ?

1 n

ln

X X

单自由度系统阻尼自由振动的响应为:
x ? Xe
? ?? 0 t

sin ?? d t ? ? ?

t=0 时刻与 nTd 时刻(即 n 个自然周期后的时刻)的两个振幅之比为:
X X
0 n

? Xe

Xe sin ?
0 ? ?? 0 ? nT

sin ?? d ? nT d ? ? ?
0

? e

n ?? 0 T d

,其中: T d

?

2?

?d

?

2?

?0 1 ? ?

2

X X

0 n

? Xe X X

Xe sin ?
? ?? 0 ? nT

2 n ??

sin ?? d ? nT ? ?
2 n ?? 1? ?
2

?

? e

n ?? 0 T

? e

1? ?

2

0 n

? 2? e

? 2? n?

1??

2

ln 2

2 ??

由此计算出 ?

? 0 . 01

时,振幅减小到 50%以下所需的循环数应满足:
n ? 11.03

取整后得所需的循环数为 12。 3.如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求 M 的振幅与水平行进速度 v 的 关系。 (本小题 10 分)

题三 3 题图

解:根据题意:不平道路的变化周期为: T
?v? 2?

?

2?

?

,且 vT

? L



?

? L ? ? ?

2? v L

对质量元件 M 进行受力分析,可得如下振动微分方程:
m ?? ? ? k ? x ? y ? ? m ?? ? kx ? ky ? m ?? ? kx ? kY cos ? t x x x

? ?? ? ? n x ? ? n Y cos ? t x
2 2

? x ?

Y ? ? 1? ? ?? ? n ? ? ? ?
2

cos ?? t ?

9

所以振幅与行进速度之间的关系为:
X ? Y ? ? 1? ? ?? ? n ? ? ? ?
2

?

Y ? 2? v ? 1? ? ? ? L ?
2

? m k

kL Y kL ? 4 ? mv
2 2 2

2

当?

? ?n

x 时, ?? ? ? n2 x

? ? n Y cos ? n t
2

此时: 振幅 X

x ?
? 1 2

1 2

Y ? n t sin ? n t

Y? n t

将随时间的增加而增大,所以 ?

? ?n

时所对应的行进速度为最不利的

行进速度,此时:
? ? ?n ?
2? v L ? k m ? v ? L 2? k m

——最不利的行进速度。

4. 如图所示扭转振动系统, 已知各圆盘转动惯量为 I1=2I2=2I, 各轴段的扭转刚度为 kt2=kt1=kt, 求该系统的固有频率和固有振型。 (本小题 15 分)

题三 4 题图

受力分析

解:(1)建立系统自由振动微分方程 取圆盘偏离平衡位置的角位移与为广义坐标,系统受力分析如图所示,应用刚体绕固定 轴转动平衡微分方程,可得:
? ? ? I 1??1 ? 2 I ??1 ? ? k t ? 1 ? k t ?? 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? I 2 ??2 ? I ??2 ? ? k t ?? 2 ? ? 1 ?

写成矩阵形式为:
?2 I ? ? 0 ? 0 ? ? ??1 ? ? 2 k t ?? ? ? ? ? I ? ? ??2 ? ? ? k t ? k t ? ?? 1 ? ?? ? ? 0 k t ? ?? 2 ?

(2)求系统固有频率
? ?? ? ? ? K ? ? ?
2

?M ?

? 2kt ? ? ?? kt

? k t ? ? 2 I? ??? kt ? ? 0
2I ?
2 4

2

2 k t ? 2 I? 0 ? ? 2 ? ? kt I? ?
? kt ? 0
2

2

? kt k t ? I?
2

? 0

? 4 Ik t ?

2

解频率方程得系统的两阶固有频率为:

10

? 1 ? ?1 ?
2

? ?

k 1 ? kt ? 0 . 293 t ? I 2 ? I

? 2 ? ?1 ?
2

? ?

k 1 ? kt ? 1 . 707 t ? I 2 ? I

(3)求系统的固有振型

?? K ? ? ? ?M ???? ? ? ?
2

? 2 k t ? 2 I? ? ? kt

2

? ??1 ? kt ?1 ? ? ? ? ? 0 ,所以: ?2 2 k t ? 2 I? k t ? 2 I ? ? ?? 2 ? ? kt
2

2

1 ? ? ? 11 ? 2 ? 2 k t ? 2 I? 1 系统的第一阶固有振型: ? ? ? ? ? ? 21 ? kt ? 1 ? ? ? 11 ? 2 ? ? 2 k t ? 2 I? 2 ? ? ? 21 ? ? kt ?

? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? 2 ? ?

系统的第二阶固有振型: ?

5.如图所示汽车四自由度模型,取广义坐标 ? y A , 系统的刚度矩阵。 (本小题 10 分)

yB ,

y1 ,

y 2 ? ,试用刚度影响系数法求该

? k2 ? 0 答案: ? ?? k 2 ? ? 0

0 k4 0 ? k4

? k2 0 k1 ? k 2 0

? ? ? k4 ? ? 0 ? k2 ? k3 ? 0

题三 5 题图

11


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