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2016年一轮高考复习第69讲直线和圆锥曲线教师打印版


湖南理科高考 750 分得分 723 分的《状元真功夫》 :姚老师电话:15274470417

第 69 讲 直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”

【知识要点】
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C

的方程 F(x,y)=0,消去 y(或 x)得到一个关于变量 x(或 y)的一元方程. ? ?Ax+By+C=0 即? ,消去 y 后得 ax2+bx+c=0. ? ?f(x,y)=0 (1)当 a≠0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ,则 Δ>0?直线和圆锥曲线 C 相交于不同的两点;Δ=0?直线和圆锥曲 线 C 相切于一点;Δ<0?直线和圆锥曲线 C 没有公共点. (2)当 a=0 时,若圆锥曲线是双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平 行或重合;若圆锥曲线是抛物线,则直线 l 与抛物线的对称轴 平行(或重合).

高中数学培优
2016 高考一轮复习(理科)
第 69 讲 直线与圆锥曲线的位置关系

2.圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长:直线与圆锥曲线相交有两个交点时,这条 直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦. (2)圆锥曲线弦长的计算 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,

1? k 2 ? A(x1,y1),B(x2,y2)则|AB|= . a

辅导老师: 高考总分 750 分,高考得分 723 分

的湖南高考状元的数学老师


x ? x2 ? P ? (抛物线的焦点弦长|AB|= 1
θ 为弦 AB 所在直线的倾斜角).

2P sin 2 ?

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1

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第 69 讲 直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”

第 69 讲

直线与圆锥曲线的位置关系

【学习目标】 1.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法; 2.掌握直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法; 3.能够综合应用方程思想及圆锥曲线的几何性质解决有关直线 与圆锥曲线的综合问题; 4.理解数形结合的思想.

典型例题 考点一、中点弦问题 例1已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的 直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, 且 AB 的中点为 N(-12, -15), 求 E 的方程. x2 y2 【解析】设双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0),由题意知 c=3,a2+b2=9. x1 2 y1 2 ? ? a2 - b2 =1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有:? 2 x2 y2 2 ? ? a2 - b2 =1, y1-y2 b2(x1+x2) -12b2 4b2 两式作差,得 = = = 2. x1-x2 a2(y1+y2) -15a2 5a -15-0 又 AB 的斜率是 =1, -12-3 所以将 4b2=5a2 代入 a2+b2=9,得 a2=4,b2=5. x2 y2 所以双曲线的标准方程是 4 - 5 =1. P1
2

另:令 m= 2k2-3(m>0),则 2k2=m2+3, 2 2m 2 2 2 ∴S= 2 = ≤ 4 2. m +4 m+m 4 2 当且仅当 m=m,即 m=2 时,Smax= 2 . 14 此时 k=± 2 . ∴所求直线方程为± 14x-2y+4=0. 解法二:由题意知直线 l 的斜率存在且不为零.设直线 l 的方程 ? 2 ? 为 y=kx+2,A(x1,y2),B(x2,y2),则直线 l 与 x 轴的交点 D?-k ,0?. ? ? 8k x1+x2=- , 1+2k2 3 2 由法一知 k >2,且 6 x1·x2= , 1+2k2 1 ∴S△AOB=2|OD|·|y1-y2| 1?2? =2?k ?·|kx1+2-kx2-2| ? ? =|x1-x2| = (x1+x2)2-4x1x2 16k2-24 = 1+2k2 2 2 2k2-3 = . 1+2k2 下同法一.

? ? ?

P14

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第 69 讲 直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”

?x +x =-1+2k , 又由韦达定理得? 6 x ·x = , ? 1+2k
1 2 2 1 2 2

8k

∴|AB|= 1+k2·|x1-x2| = 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2 1+k2 2 = 2 16k -24. 1+2k 2 原点 O 到直线 l 的距离 d= . 1+k2 16k2-24 2 2 2k2-3 1 ∴S△AOB=2|AB|·d= = . 1+2k2 1+2k2 16k2-24 把 S= 两边平方,整理得 1+2k2 4S2k4+4(S2-4)k2+S2+24=0.① 16(S2-4)2-4×4S2(S2+24)≥0,

【点评】有关弦中点的轨迹、中点弦所在直线的方程、中点坐标 问题,一般采用如下两种方法: (1)“设而不求”的方法. 若直线 l 与圆锥曲线 C 有两个交点 A 和 B,一般地,首先设出交 点坐标 A(x1,y1),B(x2,y2),其中有四个参数 x1,y1,x2,y2,它们只是过渡性符号,通常是不需要具体求出的, 但有利于用韦达定理等解决问题, 是直线与圆锥曲线位置关系中 常用的 方法. (2)作差法. 在给定的圆锥曲线 f(x,y)=0 中,求中点为(m,n)的弦 AB 所在 直线方程时,一般可设 A(x1,y1),B(x2,y2),利用 A,B 在曲线上, 得 f(x1,y1)=0,f(x2,y2)=0 及 x1+x2=2m,y1+y2=2n,故可求出 y1-y2 斜率 kAB= ,最后由点斜式写出直线 AB 的方程. x1-x2

?4-S ? >0, ∵S≠0,∴? S S +24 ? ? 4S >0,
2 2 2 2

1 得 S2≤2. 2 又∵S>0,∴0<S≤ 2 . 2 则 S△AOB 的最大值为 S= 2 , 14 代入方程①得 4k4-28k2+49=0,k=± 2 . ∴所求直线方程为± 14x-2y+4=0. P13
3

P2

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第 69 讲 直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”

考点二、位置关系的判定与应用 x2 y2 例2给定椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),称圆心在原点 O,半径 a b 2 2 为 a +b 的圆是椭圆 C 的“准圆”.若椭圆 C 的一个焦点 为 F( 2,0),其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (2)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过点 P 作直线 l1, l2,使得 l1,l2 与椭圆 C 都只有一个交点,讨论直线 l1 与 l2 的 位置关系. 【解析】(1)因为 c= 2,a= 3,所以 b=1, x2 2 所以椭圆的方程为 3 +y =1, “准圆”的方程为 x2+y2=4. (2)①当 l1,l2 中有一条无斜率时,不妨设 l1 无斜率,因为 l1 与椭圆只 有一个公共点,则其方程为 x= 3或 x=- 3, 当 l1 的方程为 x= 3时,此时 l1 与准圆交于点( 3,1),( 3,-1), 此时经过点( 3,1)(或( 3,-1))且与椭圆只有一个公共点的直 线是 y=1(或 y=-1), 即 l2 为 y=1(或 y=-1), 显然直线 l1, l2 垂直; 同理可得 l1 的方程为 x=- 3时,直线 l1,l2 垂直. ②当 l1,l2 都有斜率时,设点 P(x0,y0),其中 x02+y02=4, 设经过点 P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线 y=t(x-x0)+y0, ?y=tx+(y0-tx0) 则?x2 2 ,消去 y 得到 x2+3(tx+(y0-tx0))2-3=0, ? 3 +y =1 即(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0, Δ=[6t(y0-tx0)]2-4· (1+3t2)[3(y0-tx0)2-3]=0, 经过化简得到:(3-x02)t2+2x0y0t+1-y02=0, 因为 x02+y02=4,所以有(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0. t1t2=-1,所以两直线垂直. 综上,l1 与 l2 的位置关系是垂直. P3
4

∴m<0 或 m>4. 又 3k2=4m+1>0(k≠0), 1 即 m>-4. ? 1 ? ∴m 的取值范围是?-4,0?∪(4,+∞). ? ? 8.已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点 和焦点所组成的四边形为正方形,且长轴长为 2 2. (1)求椭圆的方程; (2)直线 l 过点 P(0,2),且与椭圆相交于 A,B 两点,当△AOB 面积取最大值时,求直线 l 的方程.

x2 y2 8.【解析】设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),如图所示. 2 ?b=c, ?a =2,
2 (1)由已知?2a=2 2, 得?b =1,

?

?

x2 2 ∴所求椭圆方程为 2 +y =1. (2)解法一:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y= kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). ?y=kx+2, 由?x2 2 消去 y,得(1+2k2)x2+8kx+6=0. ? 2 +y =1, ∵直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点, 3 ∴Δ>0?64k2-24(1+2k2)>0,解得 k2>2. P12

? ?c2=1, ?a2=b2+c2, ?

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第 69 讲 直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”

7.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂直平分线过点 A(0,-1),求实数 m 的 取值范围. x2 y2 7.【解析】(1)设双曲线 C 的方程为a2-b2=1(a>0,b>0). 由已知得:a= 3,c=2, 又 a2+b2=c2,得 b2=1, x2 2 ∴双曲线 C 的方程为 3 -y =1. ?y=kx+m, (2)联立?x2 2 整理得 - y = 1. ?3 2 2 (1-3k )x -6kmx-3m2-3=0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点, 2 ? ?1-3k ≠0, ∴? 2 2 ?Δ=12(m +1-3k )>0. ? 1 可得 m2>3k2-1 且 k2≠3,① 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 B(x0,y0). x1+x2 6km 3km 则 x1+x2= = , 2,∴x0= 2 1-3k 1-3k2 m ∴y0=kx0+m= . 1-3k2 由题意,AB⊥MN, m +1 1-3k2 1 ∵kAB= 3km =-k(k≠0,m≠0). 1-3k2 整理得 3k2=4m+1.② 将②代入①,得 m2-4m>0, P11
5

【点评】 直线与圆锥曲线位置关系研究的常用方法是化归为一元 二次方程并应用一元二次方程的相关知识与方法.

P4

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第 69 讲 直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”

三、弦长公式及应用 例3已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y2=4x 上相异两点,且 满足 x1+x2=2. (1)若 AB 的中垂线经过点 P(0,2),求直线 AB 的方程; (2)若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M,求△AMB 的面积的最大值及 此时直线 AB 的方程. 【解析】法一:(1)当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意, 所以可设直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入方程 y2=4x 得: 4-2kb k2x2+(2kb-4)x+b2=0,∴x1+x2= k2 =2, 2 2 得 b=k -k,∴直线 AB 的方程为 y=k(x-1)+k, 2? ? ∵AB 中点的横坐标为 1,∴AB 中点的坐标为?1,k?, ? ? 1 2 1 3 ∴AB 的中垂线方程为 y=-k(x-1)+k=-kx+k, 3 3 ∵AB 的中垂线经过点 P(0,2),故k=2,得 k=2, 3 1 ∴直线 AB 的方程为 y=2x-6, 1 3 (2)由(1)可知 AB 的中垂线方程为 y=-kx+k ,∴M 点的坐标为 (3,0),因为直线 AB 的方程为 k2x-ky+2-k2=0, |3k2+2-k2| 2 k2+1 ∴M 到直线 AB 的距离 d= = |k| , k4+k2 2 2 ? ?k x-ky+2-k =0 k2 2 由? 2 得 4 y -ky+2-k2=0, ?y =4x ? 8-4k2 4 y1+y2=k ,y1·y2= k2 , 4 1+k2 k2-1 1 |AB|= 1+k2|y1-y2|= , k2 1? ? 1 1 ∴S△MAB=4?1+k2? 1-k2,设 1-k2=t,则 0<t<1,P5 ? ?
6

x2 y2 4.若椭圆36+ 9 =1 的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率是 ( ) 1 1 A.2 B.-2 C.3 D.-2 4.【解析】设弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 ? ?x1 +4y1 =36, ∴? 2 两式相减得 x12-x22=-4(y12-y22), 2 ? ?x2 +4y2 =36, y1-y2 x1+x2 8 1 此弦斜率为 = = =-2,故选 D. x1-x2 -4(y1+y2) -4×4 5.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛 物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是( ) ? 1 1? A.?-2,2? B.[-2,2] ? ? C.[-1,1] D.[-4,4] 5.【解析】由已知可知 Q(-2,0),设 l 方程为 y=k(x+2), 2 ? ?y =8x, 由? 消去 x 得:ky2-8y+16k=0. ? ?y=k(x+2). ? ?k≠0, 则? 或 k=0,解得-1≤k≤1. 2 ? ?Δ=64-64k ≥0. 6.抛物线 y2=12x 和直线 y=2x+1 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长 为________. ?y2=12x ? 6.【解析】由? ,消去 x 得 y2-6y+6=0, ? ?y=2x+1 解得 y1=3+ 3,y2=3- 3, 1 则|AB|= 1+22|y1-y2|= 15.

P10

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第 69 讲 直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”

考点集训 1.若 a≠b 且 ab≠0,则直线 ax-y+b=0 和二次曲线 bx2+ay2=ab 的位置关系可能是( )

6 S=4t(2-t2)=-4t3+8t,S′=-12t2+8,由 S′=0,得 t= 3 , 16 6 即 k=± 3时 Smax= 9 ,此时直线 AB 的方程为 3x± 3y-1= 0. 法二:(1)根据题意设 AB 的中点为 Q(1,t), y2-y1 y2-y1 2 则 kAB= = 2 2= ,由 P、Q 两点得 AB 中垂线的斜率 x2-x1 y2 y1 t 4-4 2 4 为 k=t-2,由(t-2)· =- 1 ,得 t = t 3, 3 1 ∴直线 AB 的方程为 y=2x-6. 2 (2)由(1)知直线 AB 的方程为 y-t= t (x-1), t AB 中垂线方程为 y-t=-2(x-1),中垂线交 x 轴于点 M(3,0), t2+4 点 M 到直线 AB 的距离为 d= 2 = t2+4, t +4 ?y-t=2(x-1) t 由? 得:4x2-8x+(t2-2)2=0,

1.【解析】由已知,直线方程可化为 y=ax+b,其中 a 为斜率,b 为 x2 y2 纵截距,二次曲线方程可化为 a + b =1,应用淘汰法可知 A,B, D 均自相矛盾,故选 C. y2 2 2.已知双曲线方程 x - 4 =1,过点 P(1,1)且与双曲线只有一个公 共点的直线的条数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.【解析】A x2 2 3.直线 y=x 与椭圆 4 +y =1 相交于 A,B 两点,则|AB|=( ) 4 5 4 10 8 10 A.2 B. 5 C. 5 D. 5 2 5 2 5 x= 5 , x=- 5 , ?y=x 3.【解析】联立?x2 2 解得: 或 + y = 1 2 5 2 5 ?4 y= 5 , y=- 5 .

?y2=4x

∴|AB|=

4 1+t2|x1-x2|= (t2+4)(4-t2).

(t2-2)2 x1+x2=2,x1x2= , 4 1 1 ∴S=2|AB|·d=2 (t2+4)2(4-t2) 2 2 ?16?3 16 6 ? ? = = 4 (t2+4)(t2+4)(8-2t2)≤ 4 9 . ?3? 4 16 6 当 t2=3时,S 有最大值 9 ,此时直线 AB 方程为 3x± 3y-1=0. P6
7

? ? ?

? ? ?

所以|AB|=

2?

?4 5?2 4 10 ? = 5 ,选 C. ? 5 ?

P9

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第 69 讲 直线与圆锥曲线的位置关系“一对一”

【点评】 弦长的计算与应用既要考虑应用一元二次方程根与系数 的关系,又要注意圆锥曲线定义的应用. 【基础检测】 1.直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点,则 k 的值为 ( ) A.1 B.1 或 3 C.0 D.1 或 0 ? ?y=kx+2, 1.【解析】由? 2 消去 y 整理得 k2x2+(4k-8)x+4=0, ?y =8x, ? ? ?k≠0, 由直线与抛物线只有一个公共点得? 或 2 2 ?Δ=(4k-8) -16k =0 ? k=0,解得 k=1 或 k=0. x2 y2 2.已知直线 l:x+ky-3k=0,如果它与双曲线 4 - 3 =1 只有一个公 共点,则 k 的取值个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.【解析】直线经过定点(0,3),过该点可作双曲线的两条切线,或 分别与两条渐近线平行的直线,此时直线 l 与双曲线只有一个公共 点,故这样的 k 值有 4 个. 3.抛物线 C 的顶点为原点,焦点在 x 轴上,直线 x-y=0 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P(1,1)为线段 AB 的中点,则抛物线 C 的方 程为( ) A.y=2x2 B.y2=2x C.x2=2y D.y2=-2x ? ?x1+x2=2, 3. 【解析】 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 抛物线方程为 y2=2px, 则? ?y1+y2=2, ? 2 ? ?y1 =2px1, y1-y2 且? 2 两式相减可得 2p= ×(y1+y2)=kAB×2=2, x1-x2 ?y2 =2px2, ? ∴p=1,故抛物线 C 的方程为 y2=2x. P7

x 2 y2 4. 设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C:4 + 2 =1 相交于不同的两点 A, B, 则使|AB|为整数的直线 l 共有_____条. x2 y2 4.【解析】设直线 AB 的方程为 y=x+b,代入椭圆 C: 4 + 2 =1 中 消去 y,整理得 3x2+4bx+2b2-4=0. 由 Δ=16b2-12(2b2-4)>0,得 b2<6. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB= 2× (x1+x2)2-4x1x2 2b2-4 ? 4b?2 = 2× ?- 3 ? -4× 3 ? ? 4 15 87 15 =3 6-b2,分别取 b2= 4 ,16,16时, 可分别得 AB=2, 1, 3, 由椭圆的对称性知对应的直线 l 有 6 条.

P8
8


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