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高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条


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椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)
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1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角.



PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在

直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0 x y0 y x2 y 2 若P ? 2 ? 1. 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 a b a2 b 2 2 x0 x y0 y x y 若P ? 2 ? 1. 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 a b a2 b 2 2 x y 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1 PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 a b S?F1PF2 ? b 2 tan

?

2

.

8.

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的焦半径公式: a 2 b2 | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) M ( x0 , y0 ) ).
椭圆 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线 于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N, 则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即 K AB

x2 y 2 b2 ( x , y ) k ? k ? ? 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点,则 , ? ? 1 0 0 OM AB a2 a 2 b2 b 2 x0 ?? 2 。 a y0

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a2 b a b a b

x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? 2 . 13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? a b a2 b a b

双曲线
1. 2. 3. 4. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

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5. 6.

7.

xx y y x2 y2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y 若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线 a b xx y y 方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 x y2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 ?F1 PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角 a b
若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 形的面积为 S?F1PF2 ? b2co t

?

2

.

8.

双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) a 2 b2 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a .
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a

9.

设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

b 2 x0 x2 y2 11. AB 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则 K OM ? K AB ? 2 ,即 a b a y0 K AB b 2 x0 ? 2 。 a y0

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y2 12. 若 P ? 2 ? 2 ? 2 . 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a2 b a b a b 2 2 2 2 x0 x y0 y x y x y 13. 若 P ? 2 . 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? a b a2 b a b

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
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1.



2.

x2 y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点 a b x2 y2 的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向 a b b 2 x0 且 k BC ? 2 (常数). a y0

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3.

若 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 )上异于长轴端点的任一点 ,F1, F a 2 b2

2

是焦点 , ?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2
4. 设椭圆

x2 y 2 (a>b>0) 的两个焦点为 F1、 F2,P (异于长轴端点) 为椭圆上任意一点, 在△PF1F2 中, 记 ?F1 PF2 ? ? , ? ?1 a 2 b2
sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

?PF1F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,则有

5.

若椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P, a 2 b2

使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为椭圆

x2 y 2 上任一点,F1,F2 为二焦点, A 为椭圆内一定点, 则 2a ? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a ? | AF1 | , ? ? 1(a>b>0) a 2 b2

当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立. 7. 8.

( x ? x0 ) 2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A2 a 2 ? B 2b 2 ? ( Ax0 ? By0 ? C )2 . 椭圆 2 2 a b 2 2 1 1 1 1 x y 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0) , O 为坐标原点, P、 Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ .(1) ? ? 2? 2; 2 2 | OP | | OQ | a b a b

9.

4a 2b 2 a 2b 2 (2)|OP| +|OQ| 的最大值为 2 ;(3) S ?OPQ 的最小值是 2 . a ? b2 a ? b2 x2 y 2 过椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 a b | PF | e ? . | MN | 2
2 2

10. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0) ,A 、 B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 , 0) , 则 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? ? x0 ? . a a

x2 y 2 11. 设 P 点 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 ) 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1 、 F2 为 其 焦 点 记 ?F1 PF2 ? ? , 则 a b
(1) | PF1 || PF2 |? 12. 设 A、B 是椭圆

2b 2 ? 2 .(2) S?PF1F2 ? b tan . 1 ? cos ? 2

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、 a 2 b2

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e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) | PA |?

2ab 2 | cos ? | 2a 2 b 2 2 .(2) .(3) tan ? tan ? ? 1 ? e S ? cot ? . ?PAB a 2 ? c 2 co s 2 ? b2 ? a 2

13. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C a 2 b2

在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
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双曲线
1.

2.

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 a 2 b2 x2 y 2 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点,则直线 a b b2 x BC 有定向且 k BC ? ? 2 0 (常数). a y0
双曲线

3.

x2 y2 若 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 右 (或左) 支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , a b


c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2
x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2 中, a 2 b2

4.

设双曲线

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记 ?F1 PF2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ? e. ?(sin ? ? sin ? ) a

5.

若双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线 a 2 b2

上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6.

x2 y2 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | , a b
当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.

x2 y2 2 2 2 2 2 7. 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A a ? B b ? C . a b x2 y2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . a b 1 1 1 1 4a 2b 2 a 2b 2 2 2 S (1) ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最小值为 ; ( 3 ) 的最小值是 . ? ? ? ?OPQ | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2 b2 ? a 2 b2 ? a 2
9.

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴 a 2 b2 | PF | e 于 P,则 ? . | MN | 2
过双曲线

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 , 0) , 则 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 或 x0 ? ? . x0 ? a a x2 y2 11. 设 P 点 是 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 上 异 于 实 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1 、 F2 为 其 焦 点 记 ?F1 PF2 ? ? , 则 a b 2 2b ? (1) | PF1 || PF2 |? .(2) S?PF1F2 ? b2 cot . 1 ? cos ? 2 2 2 x y 12. 设 A 、 B 是 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 的 长 轴 两 端 点 , P 是 双 曲 线 上 的 一 点 , ?PAB ? ? , a b 2ab 2 | cos ? | | PA | ? , , c 、 e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有 (1) . ?PBA ? ? ?BPA ? ? | a 2 ? c 2co s 2 ? |
10. 已知双曲线 (2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ?PAB ?
2

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

13. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、 a 2 b2

B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

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15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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