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26材力11-2


26
内容 11.4 虚功原理

材力11-2
11.5 单位载荷法

要求 掌握莫尔积分,懂虚功原理,会图乘法 练习 莫尔积分1,图乘法1 作业 11- 13(b), 24,25(b)

上节回顾
一、外力功的计算
F —— 广义力(力,力偶)
Δ —— 广义位移(线

位移,角位移)

1. 常力做功

W = FΔ

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2. 静载荷做功
(1)一般弹性体

F F

F
O

W ?

? F d?
0

Δ

d?

Δ

Δ

F-Δ 图下方面积

F F

(2)线弹性体

1 W ? FΔ 2

O

Δ

Δ

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二、线弹性体的应变能 (一)简单变形 1. 轴向拉压 2. 扭转 3. 平面弯曲

FN ?x ? V? ? ? dx 2 EA l
2

T ?x ? V? ? ? dx 2GI P l
2

V? ? ?
l

M ?x ? dx 2 EI
2

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(二)组合变形
FN d x M dx T dx V? ? ? ?? ?? 2 EA 2 EI 2GI p l l l
2 2 2

上节回顾
三、卡氏定理
对线弹性体

?V? Δi ? ?Fi

FN ?FN M ?M T ?T ?? dx?? dx?? dx EA ?Fi EI ?Fi GI p ?Fi l l l

上节回顾
四、外力功与应变能的特点 数值与加载顺序无关,只与载荷 与位移的最终数值有关。

上节回顾
五、功能原理
条件: (1)弹性体 (2)静载荷 原理:外力功全部转化成弹性体的应变能.

Vε = W

§11.4 虚功原理
一、虚位移Δ * 约束允许的(满足边界条件) 满足连续条件的 任意的(与载荷无必然联系) 微小位移。

虚位移
(1) 可以是与真实位移有关的位移,也 可以与真实位移无关

虚位移

真实位移

(2)可以是真实位移的增量

真实位移增量

真实位移

(3) 可以是另外一个与之相关的系统的真实位移

w1(x)

虚位移

w1(x)

总之,虚位移是指实际有可能发生 的无限小位移。

二、虚功W﹡
力在虚位移上作的功。 给平衡力系一个虚位移,各力做功是常力作功 W﹡= ∑Fi Δ i﹡ 式中Δ i﹡是 Fi 作用点沿 Fi 方向的虚位移。
F1 F2
? Δ2

Fi
Δi
?

Δ

? 1

三、虚应变能

弹性体在虚位移过程中增加的应变能。 数值等于内力虚功。

V?

?

内力 ------- FN, M, T, FQ

虚应变能------FN 单独作用

FN

FN

dx

d(⊿l )﹡

V ? ? FN d(?l )
? ?

?

虚应变能------M 单独作用

d? ?

V ? ? Md?
? ?

?

虚应变能------T 单独作用

T

T
d??

dx

V? ? ? Td?
?

?

虚应变能------FQ 单独作用

FQ

dλ*
FQ

dx

V? ? ? FQ d?
?

?

FN, M, T, FQ 共同作用

d? ?

T

T FQ
d??

dλ* FQ dx

FN

FN

dx

d(⊿l )﹡

dx

V ? ? FN d? Δl ? ? M d ? ? T d ? ? FQ d ?
? ? ? ? ?

?

?

?

四、刚体虚功原理 作用在刚体上的平衡力系在任意虚 位移上所作的虚功之和等于零。

五、变形体虚功原理
处于平衡状态的变形体在任意虚位移中 外力所作虚功等于弹性体的虚应变能。

微段变形:第一步~刚性位移,内力不做功; 第二步~变形,内力作功。

虚功原理
W﹡= ∑Fi Δ
?

V? ? ? FN d? Δl ? ? M d ? ? ? T d ? ? ? FQ d ??
?

?

﹡ i

?

∑Fi Δ

﹡= i

? ?F

d? Δl ? ? M d ? ? ? T d ? ? ? FQ d ?? N
?

?

注:(1)虚功原理与材料性能无关~ 适用线弹性、非线弹性材料; (2)不要求结构位移与力呈线性关系~ 也适用位移与力呈非线性的结构。

§11.5

单位载荷法

一、单位载荷法(Maxwell-Mohr 1864~1874) 1. 用途:计算任意点处位移(广义) 2. 方法:利用虚功原理 第一步 构造一虚力状态: (1)去掉原结构全部荷载(只保留所 有杆件和约束); (2)在所求点处沿所求方向施加一个 单位力; (3)计算结构只在此单位力作用下各 截面的内力 F , M , T , F .
N Q

K α Δ

原问题: 求Δ

1
K α Δ

虚力状态: 加单位力

实际位移状态作为虚位移

第二步

给虚力状态一个虚位移,这个虚 位移取原结构的实际位移状态。

1
K α Δ

虚力状态

实际位移状态作为虚位移

据虚功原理

1? Δ ? ? FN d? Δl ? ? M d ? ? T d ? ? FQ d ?
FN , M , T , FQ —— 只有单位力作用引起的内力
d(⊿l ), dθ,dφ,dλ ——原结构在真实载荷作用下 产生的变形 适用:线性、非线性结构。

?

?

二、莫尔积分(Mohr 1874)
对线弹性结构,取微段dx计算
M

图中 FN , M , T 为真实 载荷引起的内力
T
FN

dx

FN

T
FN


dx d(⊿l )

dx

FN d x d? Δl ? ? EA

1? Δ ? ? F N d? Δl ? ? M d ? ? T d ? ? F Q d?
Δ?

?

M dx d? ? EI

Tdx d? ? GI P

?

?

F N FN MM TT dx?? dx?? dx EA EI GI P

Mohr积分
Δ??
步骤:

FN FN MM TT dx?? dx ? ? dx EA EI GI P

1. 计算原结构在真实荷载作用下的内力方程 FN, M , T ; 2. 构造虚力状态,沿计算方向加单位力(广义);

3. 计算原结构只在单位力作用下的内力方程 FN , M , T ;
(坐标应与第一步载荷引起的内力方程相同)

4. 计算Mohr 积分(计算全部杆件,刚架略 FN , F Q );
5. 结果为正,位移方向与单位力相同,负则相反;

6. 计算相对位移,可加一对单位力(广义)。

计算A ,B 两点之间的相对位移Δ
A B
1 A

AB

B

1

在A ,B 两点分别加一共线反向单位力。

例题1
R

?

已知:EI = 常数 求:A,B 之间的相对线位移 解:1. 建立坐标系
A B

F

2. 求荷载引起的内力方程 M =-FRsinφ
(0≤φ≤2π)

F

3. 加单位力并求单位力引起 内力方程
R

?

A B

1

M ? ? R sin ?
4. 求ΔAB
ΔAB 1 ? EI
2?

(0≤φ≤2π)

1

? M MR d ?
0

1 ? EI

2?

FR3 sin 2 ? d ? ?
0

?

? FR 3
EI

(沿荷载方向分开)

三、图乘法 Верещагин 1924
1. 目的:计算Mohr积分 2. 条件:( 1 )直杆;(2)EI=常数。 3. 方法:以弯矩为例

MM 1 Δ?? dx ? ? MM d x EI EI


? MM d x

计算
M

? MM d x
ω
C



M ? ax ? b

? M M d x ? ? ?ax ? b?M d x
x

M(x)

? a ? xM d x ? b ? M d x
? a?xc ? b?

x xc
M

dx

? ? ?axc ? b ?
MC

? ?M C
x

M

ω
C

? MM d x ? ?M
x

C

xc
M

Mohr积分等于 载荷弯矩图的面积 ω 乘以它的形心坐标处 的单位力弯矩值 M C . 此结论可以推广 到其他内力的Mohr 积分计算。

MC

x

4. 应用: (1) M 图转折处应分段; (2) M 图可用叠加法; (3) M、M 同侧相乘为正, 异侧为负。

顶点
C

h
3l 8

h

C
l 4 3l 4

顶点

5l 8

l

l

2 ? ? lh 3

? ? lh

1 3

二次抛物线

二次抛物线

记住教材 p.186 表11-1中 第 1、2、4 图的公式。

q A 2a qa2/2 B

qa
C

例题2
已知:EI = 常数 求:θc

a

解:
qa2 B

M
1 C

2 1 2 1 EI? C ? ? ? 2a ? qa ? 3 2 2

A 2a

a

1 2 2 ? ? 2a ? qa ? 2 3 1 2 ? a ? qa ?1 2
5qa ?C ? 6 EI
3

M
1/2 2/3

???

1

作业
11- 13(b)
11- 24 11-25(b)


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