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高中数学必修5知识点总结归纳


高中数学必修 5 知识点总结
第一章 解三角形
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C a b c ? ? ? 2R . 的外接圆的半径,则有 sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R

sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? , b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ? ,
c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

cos ? ? 5、 余弦定理的推论:

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 cos C ? cos ? ? , , . 2bc 2ab 2ac

6、 设 a 、b 、c 是 ??? C 的角 ? 、? 、C 的对边, 则: ①若 a 2 ? b2 ? c2 , 则 C ? 90? ; ②若 a 2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90? ;③若 a 2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90? .

第二章
7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列.

数列

11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的 数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1(或前几项)间的关系的 公式.
-1-

17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这 个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 18、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. a 与 b 的等差中项.若 b ? 2 19、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

20、 通项公式的变形: ① an ④n ?

? am ? ? n ? m? d ; ② a1 ? an ? ? n ?1? d ; ③d ?

an ? a1 ; n ?1

an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? . n?m d

21、 若 ?an ? 是等差数列, 且 m ? n ? p ? q( m 、n 、p 、 , 则 am ? an q ? ?* ) 若 ?an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an 22、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn

? ap ? aq ;

? ap ? aq .

?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2

23、 等差数列的前 n 项和的性质: ①若项数为 2n ? n ? ? * ? , 则 S2n 且 S偶 ? S奇 ? nd ,

? n ? an ? an?1 ? ,

S奇 a ? n . S偶 an?1
S奇 n (其 ? S偶 n ? 1

②若项数为 2n ? 1? n ? ? * ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S奇 ?S 偶 ?a n , 中 S奇 ? nan , S偶 ? ? n ?1? an ) .

24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这 个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比. 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的 等比中项.若 G 2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项. 26、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1qn?1 . 27、通项公式的变形:① an
n?m

? amqn?m ;② a1 ? an q?? n?1? ;③ q n ?1

?

an ; a1

④q

?

an . am
-2-

28、 若 ?an ? 是等比数列, 且 m ? n ? p ? q( m 、n 、 p 、q ? ?* ) , 则 am ? an ? a p ? aq ; 若 ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 an
2

? ap ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n ? n ? ? * ? ,则 ② Sn?m

S偶 S奇

?q.

? Sn ? qn ? Sm .

③ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列.

第三章

不等式

31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32 、 不 等 式 的 性 质 :
a ?b? a?c ?b?c;

① a ? b ? b ? a ; ② a ? b, b ? c ? a ? c ; ③

④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ??, n ? 1? ; ⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 33、 一元二次不等式: 只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b2 ? 4ac
??0 ??0 ??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0

有两个相异实数 根 有两个相等实数 b 根 x1 ? x2 ? ? 2a 没有实数根

? a ? 0? 的根

?b ? ? x1,2 ? 2a

-3-

? x1 ? x2 ?
ax2 ? bx ? c ? 0

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

一元二次 不等式的 解集

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? a ? 0?

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成 有序数对 ? x, y ? ,所有这样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合. 40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的 线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. a?b 41、设 a 、 b 是两个正数,则 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 2 a 、 b 的几何平均数. a?b ? ab . 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 2 43、常用的基本不等式:① a2 ? b2 ? 2ab ? a, b ? R? ;② ab ?
2 2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ③ ab ? ? ;④ a ? 0, b ? 0 ?? ? ? ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?
44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有

-4-

⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

-5-


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