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2007年全国高中数学联赛江西省预赛试卷


二○○七年全国高中数学联赛 江西省预赛试卷
2007 年 9 月 23 日上午(8∶30-11∶00)

考生注意:1、本试卷共三大题(15 个小题) ,全卷满分 150 分. 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器.

一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题

共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分; 不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 1、 a, b, c 为互不相等的正数, a ? c ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是(
2 2

) .

A 、a ? b ? c; B 、 b ? c ? a; C 、b ? a ? c; D 、a ? c ? b; 1? x 2、设 f ? x ? ? ,又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , fk ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ?? , k ? 1,2, , 则 f2007 ? x ? ? ( 1? x 1? x x ?1 1 A、 B、 D 、? ; C 、x; ; ; 1? x x ?1 x
3、设 ? 为锐角, x ?

) .

2sin ? cos ? sin ? ? cos ? , , y ? sin ? ? cos ? , z ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?
) .

则 x, y, z 的大小顺序为(

A 、 x ? y ? z;

B 、 x ? z ? y;

C 、 z ? x ? y;

D 、 z ? y ? x;

4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的 A、B、C、D 四个小方格涂色(允许只用其中几种) ,使邻区(有公共边 的小格)不同色,则不同的涂色方式种数为( ).

A 、 24 ;

B 、 36 ;

C 、 72 ;

D 、 84 .

A

B

5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为 6 : 2 ,则其侧面与底面的夹角为 ( ).
C D

A、

? ; 3

B、

? ; 4

C、

? ; 6

D、

? . 12

6、正整数集合 Ak 的最小元素为 1 ,最大元素为 2007 ,并且各元素可以从小到大排成一个公差为 k 的等差数列, 则并集 A17

A59 中的元素个数为(
B 、 120 ;

) .

A 、 119

C 、 151 ;

D 、 154 .

07 全国高中数学联赛江西省预赛试卷第 1 页( 共 8 页)

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上.

x y x y ? 10 ? 1, 10 3 ? 10 ? 1 ,则 x ? y ? 3 3 2 ?5 2 ?6 3 ? 5 3 ? 63 MO 8、抛物线顶点为 O ,焦点为 F , M 是抛物线上的动点,则 的最大值为 MF
7、若实数 x, y 满足:
10

. .

9、计算

1 3 ? ? 0 sin10 cos100

.

10、过直线 l : y ? x ? 9 上的一点 P 作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为 F 1 ? ?3,0? , F 2 ? 3,0? ,则椭圆的方程 为 . 11、把一个长方体切割成 k 个四面体,则 k 的最小值是 .

12、将各位数码不大于 3 的全体正整数 m 按自小到大的顺序排成一个数列 ?an ? ,

则 a2007 ?



三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
13、数列 ?an ? 满足: a1 ?

nan 1 ;令 xk ? a1 ? a2 ? , an?1 ? 2 ? n ? 1?? nan ? 1?
;求

? ak ,

yk ?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 , k ? 1, 2, ak

?x y
k ?1 k

n

k



14、 如图,?ABC 的外心为 O ,E 是 AC 的中点, 直线 OE 交 AB 于 D , 点 M , N 分 别 是 ?B C D的 外 心 与 内 心 , 若
E

C

AB ? 2 BC , 证明: ?DMN 为直角三角形.
A

N M D O B

15、若四位数 n ? abcd 的各位数码 a, b, c, d 中,任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长,则称 n 为四 位三角形数,试求所有四位三角形数的个数.

07 全国高中数学联赛江西省预赛试卷第 2 页( 共 8 页)

二○○七年全国高中数学联赛 江西省预赛试题解答
2007 年 9 月 23 日上午(8∶30-11∶00)

考生注意:1、本试卷共三大题(15 个小题) ,全卷满分 150 分. 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器.

二、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分; 不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 1、 a, b, c 为互不相等的正数, a ? c ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是(
2 2



A 、a ? b ? c;

B 、 b ? c ? a;

C 、b ? a ? c;

D 、a ? c ? b;

2 2 2 2 答案: C ;解:若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ? 2bc ,不合条件,排除 A, D ,又由

a2 ? c2 ? 2c ?b ? c ? ,故 a ? c 与 b ? c 同号,排除 B ;且当 b ? a ? c 时, a 2 ? c2 ? 2bc 有可能成立,
例如取 ? a, b, c ? ? ?3,5,1? ,故选 C . 2、设 f ? x ? ?

1? x ,又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , fk ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ?? , k ? 1,2, 1? x 1? x x ?1 1 A、 B、 D 、? ; C 、x; ; ; 1? x x ?1 x

, 则 f2007 ? x ? ? (



答案: B ;解: f1 ? x ? ?

1 ? f3 1 ? f1 1 ? f2 x ?1 1? x 1 , f2 ? x ? ? ? ? , f3 ? x ? ? ? , f4 ? x ? ? ? x ,据此, 1? x 1 ? f1 x 1 ? f2 x ? 1 1 ? f3

f 4 n ?1 ? x ? ?

1? x 1 x ?1 , f 4 n ? 2 ? x ? ? ? , f 4 n ?3 ? x ? ? , f 4 n ? x ? ? x ,因 2007 为 4n ? 3 型,故选 B . 1? x x x ?1

3、设 ? 为锐角, x ?

2sin ? cos ? sin ? ? cos ? , , y ? sin ? ? cos ? , z ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?


则 x, y, z 的大小顺序为(

A 、 x ? y ? z;

B 、 x ? z ? y;

C 、 z ? x ? y;

D 、 z ? y ? x;

07 全国高中数学联赛江西省预赛试卷第 3 页( 共 8 页)

答案: A ;解:

x sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? ? ? ? 1, y sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?

z?

2sin ? cos ? 2sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? y ,故 x ? y ? z . sin ? ? cos ? 2 sin ? cos ?

4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的 A、B、C、D 四个小方格涂色(允许只用其中几种) ,使邻区(有公共边 的小格)不同色,则不同的涂色方式种数为( ).

A 、 24 ;

B 、 36 ;

C 、 72 ;

D 、 84 .
2 种选法,共计 2C ? 12 种;
2 4

A

B

答案: D ;解:选两色有 C

2 4 种,一色选择对角有

3 1 选三色有 C4 种,其中一色重复有 C3 种选法,该色选择对角有 2 种选法,另两色选位有 2

C

D

种,共计 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 48 种;四色全用有 4! ? 24 种(因 A, B, C , D 为固定位置) ,合计 84 种. 5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为 6 : 2 ,则其侧面与底面的夹角为( ).
P

A、

? ; 3

B、

? ; 4

C、

? ; 6

D、

? . 12

答案: A ;解:设底面正方形边长为 1 ,棱锥的高为 h ,侧面三角形的高为 l ,

D H A B
M

? 6 2h h 3 则 AC ? 2 , ,则 sin ?PMH ? ? , ?PMH ? . ? 3 2 l l 2
6、正整数集合 Ak 的最小元素为 1 ,最大元素为 2007 ,并且各元素可以从小到大 排成一个公差为 k 的等差数列,则并集 A17

C

A59 中的元素个数为(
D 、 154 .

) .

A 、 119

B 、 120 ;

C 、 151 ;

答案: C ;解:用 Ak 表示集 Ak 的元素个数,设 Ak ? n ? 1 ,由 2007 ? 1 ? nk ,得 n ?

2006 ,于是 k

A17 ?

2006 2006 ? 1 ? 119 , A59 ? ? 1 ? 35 , A17 17 59

A59 ? A1003 ?

2006 ? 1 ? 3 ;从而 17 ? 59

A17

A59 ? A17 ? A59 ? A1003 ? 119 ? 35 ? 3 ? 151.

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上.

x y x y ? 10 ? 1, 10 3 ? 10 ? 1 ,则 x ? y ? . 3 3 2 ?5 2 ?6 3 ? 5 3 ? 63 x y 10 10 3 3 10 10 ? ? 1 的两个根,即 答案: 2 ? 3 ? 5 ? 6 ; 解:据条件, 2 ,3 是关于 t 的方程 3 t ? 5 t ? 63
7、若实数 x, y 满足:
10

t 2 ? ? x ? y ? 53 ? 63 ? t ?

? 0 的两个根,所以 210 ? 310 ? x ? y ? 53 ? 63 ; x ? y ? 210 ? 310 ? 53 ? 63 .
07 全国高中数学联赛江西省预赛试卷第 4 页( 共 8 页)

8、抛物线顶点为 O ,焦点为 F , M 是抛物线上的动点,则

MO 的最大值为 MF



答案:

2 3 ?p ? ;解:设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ,则顶点及焦点坐标为 O ? 0,0 ? , F ? ,0 ? ,若设点 M 坐标为 3 ?2 ?
2

x 2 ? 2 px x 2 ? 2 px 4 x2 ? y 2 x 2 ? 2 px ? MO ? ? ? ? , M ? x, y ? ,则 ? ? ? ? 2 2 3 2 1 3 2 2 px 3 p ? MF ? ? p? 2 2 x ? px ? ? x 2 ? p 2 ? x ? px ? x ? px ? x ? ? y ? ? 4 4 4 4 4 2? ?


MO 2 3 . (当 M ? x, y ? ? p, ? MF 3 1 3 ? ? 0 sin10 cos100

?

2 ? p 或 M ? x, y ? ? p, ? 2 ? p 时取等号)

?

?

?

9、计算

.

?1 ? 3 2 ? cos100 ? sin100 ? 2sin ? 300 ? 100 ? 2 2 1 3 ? ? 答案: 4 . 解: ? ? ? ?4. 1 sin100 cos100 sin100 cos100 0 sin 20 2
10、过直线 l : y ? x ? 9 上的一点 P 作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为 F 1 ? ?3,0? , F 2 ? 3,0? ,则椭圆的方程 为 答案: .
y Q P

x2 y 2 ? ? 1 ;解:设直线 l 上的点为 P ?t, t ? 9? ,取 F 1 ? ?3,0 ? 关于直线 45 36

l 的对称点 Q ? ?9,6? ,据椭圆定义,

F1

O

F2

x

2a ? PF1 ? PF2 ? PQ ? PF2 ? QF2 ? 122 ? 62 ? 6 5 , 当且仅当 Q, P, F2 共
线,即 KPF2 ? KQF2 ,也即

t ?9 6 ? 时,上述不等式取等号,此时 t ? ?5 , t ? 3 ?12
2 2

点 P 坐标为 P ? ?5, 4? ,据 c ? 3, a ? 3 5 得, a ? 45, b ? 36 ,椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1. 45 36

11、把一个长方体切割成 k 个四面体,则 k 的最小值是 . 答案: 5 ;解:据等价性,只须考虑单位正方体的切割情况,先说明 4 个不够,若为 4 个,因四面体的面皆为三 角形,且互不平行,则正方体的上底至少要切割成两个三角形,下底也至少要切割成两个三角形,每个三角形 的面积 ?

1 ,且这四个三角形要属于四个不同的四面体,以这种三角形为底的四面 2

D1 A1 D

C1

体,其高 ? 1 ,故四个不同的四面体的体积之和 ? 4 ? ? ?

?1 1 ? 2 ?1? ? ? 1 ,不合; ?3 2 ? 3

B1 C

所以 k ? 5 ,另一方面,可将单位正方体切割成 5 个四面体; 例如从正方体
A B

07 全国高中数学联赛江西省预赛试卷第 5 页( 共 8 页)

ABCD ? A1B1C1D1 中间挖出一个四面体 A1BC1D ,剩下四个角上的四面体,
合计 5 个四面体. 12、将各位数码不大于 3 的全体正整数 m 按自小到大的顺序排成一个数列 ?an ? ,

则 a2007 ?



133113 ; 解: 答案: 简称这种数为 “好数” , 则一位好数有 3 个; 两位好数有 3 ? 4 ? 12 个; 三位好数有 3 ? 4 ? 48
2

个;…, k 位好数有 3 ? 4

k ?1

个; k ? 1, 2,

,记 Sn ? 3

?4
k ?1

n

k ?1

,因 S5 ? 2007 ? S6 , 2007 ? S5 ? 984 ,即

第 2007 个好数为第 984 个六位好数;而六位好数中,首位为 1 的共有 4 ? 1024 个,前两位为 10,11,12,13 的各
5

有 4 ? 256 个,因此第 2007 个好数的前两位数为 13 ,且是前两位数为 13 的第 984 ? 3 ? 256 ? 216 个数;而前
4

三位为 130,131,132,133 的各 64 个, 则 a2007 的前三位为 133 , 且是前三位数为 133 的第 216 ? 3 ? 64 ? 24 个数;

而前四位为 1330,1331,1332,1333 的各 16 个,则 a2007 的前四位为 1331 ,且是前四位数为 1331 的第 24 ? 16 ? 8 个数;则 a2007 的前五位为 13311 ,且是前五位数为 13311 的第 8 ? 4 ? 4 个数,则 a2007 ? 133113 .

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
13、数列 ?an ? 满足: a1 ?

nan 1 ;令 xk ? a1 ? a2 ? , an?1 ? 2 ? n ? 1?? nan ? 1?
;求

? ak ,

yk ?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 , k ? 1, 2, ak

?x y
k ?1 k

n

k

解:改写条件式为

1 1 ? ? 1 ,则 ? n ? 1? an?1 nan
? 1 1? 1 ?? ? ? ? ? ? n ?1? ? 2 ? n ?1 , ? 2a2 a1 ? a1

? 1 ? ? ? 1 1 1 1 ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? nan ? nan ? n ? 1? an ?1 ? ? ? n ? 1? an ?1 ? n ? 2 ? an ? 2 ? ?
所以 an ?

k k 1 1 k ?1 1 ? , xk ? ? ai ? ? ? ? ; ? ? ? 1? i ?1 ? k ?1 k ?1 n ? n ? 1? i ?1 i ?1 ? i

07 全国高中数学联赛江西省预赛试卷第 6 页( 共 8 页)

yk ? ?
i ?1
n

k

k k k k ? k ? 1?? 2k ? 1? k ? k ? 1? k ? k ? 1?? k ? 2 ? 1 ? ? ; ? ? i ? i ? 1? ? ? i 2 ? ? i ? 6 2 3 ai i ?1 i ?1 i ?1
2

2 1 n 2 1 ? n ? n ? 1? ? 2 n ? n ? 1?? 2n ? 1? n ? n ? 1? 3n ? 11n ? 4 xk yk ? ? k ? k ? 2 ? ? ? . ? ? ? ? ? 3 k ?1 3? 2 6 36 k ?1 ? 3

?

?

14、 如图, ?ABC 的外心为 O , E 是 AC 的中点,直 线 OE 交 AB 于 D ,点 M , N 分别是 ?BCD 的外心与内心, 若 AB ? 2 BC , 证明: ?DMN 为直角三角形.
A E

C

N M D O B

证:由于点 O, M 皆在 BC 的中垂线上,设直线 OM 交 BC 于 P ,交 M 于 F ,则 P 是 BC 的中点,
F 是 BC 的中点; 因 N 是 ?BCD 的内心,故 D, N , F 共线,且 FP ? BC .

又 OE 是 AC 的中垂线,则 DC ? DA ,而 DF , OE 为
?BDC 的内、外角平分线,故有 OD ? DF ,则 OF 为
C F E N P

M 的直径,所以, OM ? MF ,又因

1 1 ?BDC ? ?DBC ? ?NBF , M 2 2 B D H A 则 NF ? BF . 作 NH ? BD 于 H ,则有, 1 O DH ? ? BD ? DC ? BC ? 2 1 1 1 1 ? ? BD ? DA ? BC ? ? ? AB ? BC ? ? BC ? BP , 且 ?N D H ? ? B D? C ? ,F 所 B 以 P , 2 2 2 2 R? t N D? H ? R ,故得 t F BDN P ? BF ? NF ,因此, MN 是 ?FOD 的中位线,从而 MN ∥ OD , 而 OD ? DN ,则 MN ? DN .故 ?DMN 为直角三角形. ?BNF ?
证二:记 BC ? a, CD ? b, BD ? c ,因 DE 是 AC 的中垂线,则 AD ? CD ? b ,由条件 b ? c ? 2a 延长 DN 交 1 ○

e M 于 F ,并记 FN ? e, DN ? x ,则 FB ?FC ?FN ?

,对圆内接四边形 BDCF 用托勒密定理

得 FC ? BD ? FB ? CD ? BC ? DF , 即e c? e b ? a x ?e ?

?

2 , 由○ 1 、 2 得 2ae ? a ? x ? e? , 所以 x ? e , ○ ○

即 N 是弦 DF 的中点,而 M 为外心,所以 MN ? DF ,故 ?DMN 为直角三角形. 15、若四位数 n ? abcd 的各位数码 a, b, c, d 中,任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长,则称 n 为四 位三角形数,试求所有四位三角形数的个数. 解:称 ? a, b, c, d ? 为 n 的数码组,则 a, b, c, d ? M ? ?1,2,

,9? ;

07 全国高中数学联赛江西省预赛试卷第 7 页( 共 8 页)

一、当数码组只含一个值,为 ? a, a, a, a ? , a ? 1,2, 二、当数码组恰含二个值 a , b , ? a ? b ? .

,9 ,共得 9 个 n 值;

?1? 、数码组为 ? a, a, a, b? 型,则任取三个数码皆可构成三角形,对于每个
a ??2, ,9? , b 可取 a ? 1 个值,则数码组个数为 ? ? a ? 1? ? 36 ,对于每组 ? a, a, a, b ? ,
a ?2 9

b 有 4 种占位方式,于是这种 n 有 36 ? 4 ? 144 个.

? 2 ? 、数码组为 ? a, b, b, b? 型, ? a ? b ? ,据构成三角形条件,有 b ? a ? 2b ,
b 的取值
1 2 3 4 5 6 7 8 9

?b, 2b?

M 中 a 的个数

0

1

2

3

4

3

2

1

0

共得 16 个数码组,对于每组 ? a, b, b, b ? , a 有 4 种占位方式,于是这种 n 有 16 ? 4 ? 64 个.

? 3? 、数码组为 ? a, a, b, b? 型, ? a ? b ? ,据构成三角形条件,有 b ? a ? 2b ,同上得16 个数码组,对于每
2 组 ? a, a, b, b ? ,两个 a 有 C4 ? 6 种占位方式,于是这种 n 有 16 ? 6 ? 96 个.

以上共计 144 ? 64 ? 96 ? 304 个. 三、当数码组恰含三个值 a, b, c , ? a ? b ? c ? .

?1? 、数码组为 ? a, b, c, c ? 型,据构成三角形条件,则有 c ? b ? a ? 2c ,这种 ? a, b, c, c ? 有14 组,每组中 a, b
2 有 A4 ? 12 种占位方式,于是这种 n 有 14 ? 12 ? 168 个.

? 2 ? 、数码组为 ? a, b, b, c ? 型, c ? b ? a ? b ? c ,此条件等价于 M ? ?1, 2,

,9? 中取三个不同的数构成三

2 角形的方法数,有 34 组,每组中 a , b 有 A4 ? 12 种占位方式,于是这种 n 有 34 ?12 ? 408 个.

? 3? 、数码组为 ? a, a, b, c ? 型, c ? b ? a ? b ? c ,同情况 ? 2 ? ,有 34 A42 ? 408 个 n 值.
以上共计 168 ? 408 ? 408 ? 984 个 n 值. 四、 a, b, c, d 互不相同,则有 d ? c ? b ? a ? c ? d ,这种 a, b, c, d 有 16 组,每组有 4! 个排法,共得

16 ? 4! ? 384 个 n 值.
综上,全部四位三角形数 n 的个数为 9 ? 304 ? 984 ? 384 ? 1681 个.

07 全国高中数学联赛江西省预赛试卷第 8 页( 共 8 页)


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