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第三篇 第3讲 导数的应用(二)


第3讲 导数的应用(二)

【2014年高考会这样考】 1.利用导数求函数的极值与闭区间上的最值.

2.利用导数解决生活中的优化问题.

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考点梳理
1.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法:

一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,

f′(x)<0 ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧________,那么f(x0) 是极大值; f′(x)<0 f′(x)>0 ②如果在x0附近的左侧_________,右侧________,那么
f(x0)是极小值.

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(2)求可导函数极值的步骤:

①求f′(x);
②求方程f′(x)=0的根; ③检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右值的符号.如果左正右 极大值 负,那么f(x)在这个根处取得_______;如果左负右正,那 么f(x)在这个根处取得极小值.如果左右两侧符号一样,

那么这个根不是极值点. 2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值 最小值 与_______.

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(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, 最大值 f(b)为函数的_______;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在

[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
①求f(x)在(a,b)内的极值; f(a),f(b) ②将f(x)的各极值与_________比较,其中最大的一个是最大 值,最小的一个是最小值.

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3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数

学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,

最大(小)者为最大(小)值;
(4)回归实际问题作答.

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【助学· 微博】
一个区别 极值与最值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较,因此,同一函数在某

一点的极大(小)值,可以比另一点的极小(大)值小(大);最
大、最小值是指闭区间[a,b]上所有函数值的比较.因而 在一般情况下,两者是有区别的,极大(小)值不一定是最 大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续 函数在开区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最

大值,极小值就是最小值.

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两个注意
(1)注意实际问题中函数定义域的确定. (2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,

那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必
再与端点的函数值比较.

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三个防范 (1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值 点,要通过认真比较才能下结论;另外注意函数最值是个

“整体”概念,而极值是个“局部”概念.
(2)f′(x0)=0是y=f(x)在x=x0取极值的既不充分也不必要条 件.如①y=|x|在x=0处取得极小值,但在x=0处不可

导;②f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.
(3)若y=f(x)可导,则f′(x0)=0是f(x)在x=x0处取极值的必 要条件.

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考点自测
1.(2012· 陕西)设函数f(x)=xex,则 A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 ( ).

C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点 解析 f′(x)=ex+xex=ex(1+x).

∴当f′(x)≥0时, 即ex(1+x)≥0,即x≥-1,
∴当x≥-1时,函数y=f(x)为增函数. 同理可求,当x<-1时,函数f(x)为减函数. ∴当x=-1时,函数f(x)取得极小值. 答案 D
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2.(2012· 全国)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两
个公共点,则c= A.-2或2 C.-1或1 解析 变化情况如下表: B.-9或3 D.-3或1 ( ).

∵y′=3x2-3,∴当y′=0时,x=±1.则x,y′,y的

x y′ y

(-∞,-1) -1 + c+2 ?

(-1,1) - ?

1
c-2

(1,+∞) + ?

因此,当函数图象与x轴恰有两个公共点时,必有c+2=0

或c-2=0,∴c=-2或c=2.
答案 A
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3.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关 注,据有关统计数据显示,从上午 6 点到 9 点,车辆通过 该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 13 32 之间关系可近似地用如下函数表示:y=- t - t +36t 8 4 629 - .则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是 4 ( ).

A.6

B.7

C.8

D.9

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解析

32 3 3 由题意,得 y′=- t - t+36=- (t+12)(t- 8 2 8

8). y′=0 得 t=-12(舍去)或 t=8.当 6≤t<8 时, 令 y′>0; 当 8<t≤9 时,y′<0,所以当 t=8 时,y 有最大值,即此 时刻通过该路段用时最多.

答案

C

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4.(2012· 重庆)设函数f(x)在R上可
导,其导函数为f′(x),且函数y= (1-x)f′(x)的图象如图所示,则下 列结论中一定成立的是( ).

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

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解析

当x<-2时,y=(1-x)f′(x)>0,得f′(x)>0;

当-2<x<1时,y=(1-x)f′(x)<0,得f′(x)<0; 当1<x<2时,y=(1-x)f′(x)>0,得f′(x)<0; 当x>2时,y=(1-x)f′(x)<0,得f′(x)>0,

∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数,在(-2,1)上是减函数,
在(1,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,∴函数f(x) 有极大值f(-2)和极小值f(2). 答案 D

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5.如图是y=f(x)导数的图象,对于下
列四个判断: ①f(x)在[-2,-1]上是增函数; ②x=-1是f(x)的极小值点;

③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函
数; ④x=3是f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________(填序号).

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解析

∵x∈[-2,-1]时,f′(x)<0,∴f(x)在[-2,-1]上

是减函数,①错;∵f′(-1)=0且在x=-1两侧的导数值 为左负右正,∴x=-1是f(x)的极小值点,②对;③对; 由于f′(3)≠0,④不对. 答案 ②③

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考向一

利用导数求函数的极值

【例1】?(2012· 广东)设0<a<1,集合A={x∈R|x>0},B=
{x∈R|2x2-3(1+a)x+6a>0},D=A∩B. (1)求集合D(用区间表示);

(2)求函数f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D内的极值点.
[审题视点] (1)从集合B中的一元二次不等式的解法入手, 抓住其判别式的正负对解集的影响来讨论即可;(2)结合 第(1)问,再运用数形结合法,讨论f(x)的单调性即得其极 值.
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(1)令 g(x)=2x2-3(1+a)x+6a, 3 其对称轴方程为 x= (1+a), 4 Δ=9(1+a)2-48a=9a2-30a+9=3(3a-1)(a-3). 1 3 ①当 0<a≤ 时,Δ≥0,x= (1+a)>0,g(0)=6a>0, 3 4 方程 g(x)=0 的两个根分别为 3a+3- 9a2-30a+9 0<x1 = <x2 = 4 3a+3+ 9a2-30a+9 , 4 ? 3a+3- 9a2-30a+9? ? ? ∴D=A∩B=?0, ?∪ 4 ? ? ?3a+3+ 9a2-30a+9 ? ? ? ,+∞?; ? 4 ? ? 解
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1 ②当 <a<1 时,Δ<0,则 g(x)>0 恒成立, 3 所以 D=A∩B=(0,+∞). 1 综上所述,当 0<a≤ 时, 3
? 3a+3- ? D=?0, ? ?3a+3+ ? ? ?

9a2-30a+9? ? ?∪ 4 ?

? 9a2-30a+9 ? ,+∞?; 4 ?

1 当 <a<1 时,D=(0,+∞). 3

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(2)f′(x)=6x2-6(1+a)x+6a=6(x-a)(x-1),
令f′(x)=0,得x=a或x=1. 1 ①当 0<a≤ 时,由(1)知 D=(0,x1)∪(x2+∞). 3 因为g(a)=2a2-3(1+a)a+6a=a(3-a)>0,g(1)=2-3(1 +a)+6a=3a-1≤0,所以0<a<x1<1≤x2,

所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表: x
f′(x) f(x)

(0,a) +

a
0 极大值

(a,x1) -

(x2,+∞) +

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所以 f(x)的极大值点为 x=a,没有极小值点. 1 ②当 <a<1 时,由(1)知 D=(0,+∞), 3 所以 f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(0,a) +

a 0 极大值

(a,1) -

1 0 极小值

(1,+∞) +

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所以 f(x)的极大值点为 x=a,极小值点为 x=1. 1 综上所述,当 0<a≤ 时,f(x)有一个极大值点 x=a,没 3 有极小值点; 1 当 <a<1 时,f(x)有一个极大值点 x=a,一个极小值点 3 x=1. 运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤:

(1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根;(3)检查f′(x)在方程根的左右的值 的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大

值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.

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【训练1】 (2013· 徐州模拟)已知函数f(x)=ax3+bx+c

在点x=2处取得极值c-16. (1)求a,b的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值. 解 (1)因为f(x)=ax3+bx+c,故f′(x)=3ax2+b.

由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,故有
?f′?2?=0, ? ? ?f?2?=c-16, ? ?12a+b=0, ? 即? ?8a+2b+c=c-16, ? ?a=1, ? 解得? ?b=-12. ?

?12a+b=0, ? 化简得? ?4a+b=-8, ?

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(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f′(x)=3x2-12. 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2. 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上为增 函数; 当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故f(x)在(-2,2)上为减函数; 当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函 数.

由此可知f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在
x=2处取得极小值f(2)=c-16. 由题设条件知16+c=28,解得c=12. 此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c =-4,因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.
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考向二

利用导数求函数的最值

1 3 1-a 2 【例 2】?(2012· 天津)已知函数 f(x)= x + x -ax-a, 3 2 x∈R,其中 a>0. (1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范

围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为 M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区

间[-3,-1]上的最小值.
[审题视点] (1)求f′(x),解不等式f′(x)>0得函数增区间,解 f′(x)<0得函数减区间.(2)由零点存在性定理列出不等式组 求出a的范围.(3)求极值、端点值,进行比较得最值.
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(1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).

由f′(x)=0,得x1=-1,x2=a>0. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x
f′(x)

(-∞,-1)


-1
0 极大值

(-1,a)


a
0 极小值

(a,+∞)


f(x)

故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单 调递减区间是(-1,a).
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(2)由(1)知 f(x)在区间(-2, -1)内单调递增, 在区间(- 1,0)内单调递减,从而函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两 ?f?-2?<0, ? ? 1 个零点当且仅当?f?-1?>0,解得0<a< . 3 ? ?f?0?<0. ? 所以 a
? 1? 的取值范围是?0,3?. ? ?

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1 3 (3)当 a=1 时,f(x)= x -x-1.由(1)知 f(x)在[-3,-1] 3 上单调递增,在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增. ①当 t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x) 在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减.因此, 1 f(x)在[t, t+3]上的最大值 M(t)=f(-1)=- , 而最小值 m(t) 3 为 f(t)与 f(t+3)中的较小者.由 f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2) 知,当 t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故 m(t)=f(t),所以 g(t)=f(-1)-f(t).而 f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此 5 f(t)≤f(-2)=- .所以 g(t)在[-3,-2]上的最小值为 g(- 3 1 ? 5? 4 2)=- -?-3?= . 3 ? ? 3
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②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3].

下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小,
由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有 f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2).
5 1 又由 f(1)=f(-2)=- , f(-1)=f(2)=- , 从而 M(t)=f(- 3 3 1 5 1)=- ,m(t)=f(1)=- . 3 3 4 所以 g(t)=M(t)-m(t)= . 3 4 综上,函数 g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为 . 3
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`

求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,首先可

判断函数在[a,b]上的单调性,若函数在[a,b]上单调递
增或单调递减,则f(a),f(b)一个为最大值,一个为最小 值.若函数在(a,b)上不单调,一般先求(a,b)上f(x)的极 值,再与f(a),f(b)比较,最大的即为最大值,最小的即为 最小值.

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【训练 2】 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 2 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,当 x= 时,y=f(x)有极 3 值. (1)求a,b,c的值;

(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
解 (1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f′(x)=3x2+2ax+b,

当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0,①
?2? 2 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f′?3?=0, 3 ? ?

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可得4a+3b+4=0,② 由①②解得a=2,b=-4. 由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.

(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,
∴f′(x)=3x2+4x-4. 令f′(x)=0,得x=-2,x=.

当x变化时,y,y′的取值及变化如下表:

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x y′ y

-3 (-3,-2) + 8

-2 0 13

? 2? ?-2, ? 3? ?

2 3

?2 ? ? ,1? ?3 ?

1



0 95 27

+ 4

95 ∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27

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考向三

利用导数解决生活中的优化问题

【例 3】?(2011· 山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚 度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端 80π 均为半球形,按照设计要求容器的容积为 立方米,且 3 l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆 柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方 米建造费用为 c(c>3)千元. 设该容器的建造费用为 y 千元.

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(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;

(2)求该容器的建造费用最小时的r.
[审题视点] 根据体积求出r,l的关系,由l≥2r确定r的取值 范围;由圆柱的侧面积和球的表面积建立造价y关于r的函 数关系,然后利用导数求其最小值.
解 (1)设容器的容积为 V, 4 80π 由题意知 V=πr2l+ πr3,又 V= , 3 3 4 V- πr3 3 80 4 4?20 ? 故 l= = 2- r= ? r2 -r?. 2 πr 3r 3 3? ? 由于 l≥2r,因此 0<r≤2. 4?20 ? 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr c=2πr× ? r2 -r?×3+4πr2c, 因 3? ? 160π 2 此 y=4π(c-2)r + r ,0<r≤2.
2
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160π 8π?c-2? ? 3 20 ? ? ? r- (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- 2 = ? c-2? , r r2 ? ? 0<r≤2.由于 c>3,所以 c-2>0. 3 20 20 当r- =0 时,r= , c-2 c-20
3

20 令 =m,则 m>0, c-2 8π?c-2? 所以 y′= (r-m)(r2+rm+m2). 2 r 9 ①当 0<m<2,即 c> 时, 2 当r=m时,y′=0;

3

当r∈(0,m)时,y′<0;

当r∈(m,2)时,y′>0,
所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.
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9 ②当 m≥2,即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数 y 单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 2 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2 利用导数解决实际生活中的最优化问题时,首

先应根据已知条件建立函数模型,然后利用导数分析函数 模型,求解相关最值,但要注意变量的实际意义和取值范 围.
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【训练 3】 (2012· 广州模拟)统计表明,某种型号的汽车在匀 速行驶中,每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时) 1 3 3 的函数解析式可以表示为:y= x - x+ 128 000 80 8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千米.

(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地 要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 最少?最少为多少升?

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100 解 (1)当 x=40 时, 汽车从甲地到乙地行驶了 =2.5 小 40 ? ? 1 3 3 时,要耗油?128 000×40 -80×40+8?×2.5=17.5(升). ? ? 所以,当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到 乙地耗油 17.5 升. 100 (2)当速度为 x 千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了 x 小 时,设耗油量为 h(x)升,依题意,得 ? ? 100 1 3 3 h(x)=?128 000x -80x+8?·x ? ? 1 2 800 15 = x + x - (0<x≤120), 1 280 4 3 3 x 800 x -80 h′(x)= - = (0<x≤120), 640 x2 640x2
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令h′(x)=0得x=80, 当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;

当x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数,
∴当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25, 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值. 故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地 耗油最少,最少为11.25升.

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规范解答5——利用导数解决函数与方程、不等式等综合问题
【命题研究】 从近几年的高考试题来看,利用导数来研

究函数的单调性和极值问题已成为重要的考点,考查
题型以解答题为主,也有选择题、填空题,小题主要 考查利用导数研究函数的单调性和极值,解答题主要 考查导数与函数单调性,或方程、不等式的综合应 用.

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【真题探究】? (本小题满分14分)(2012· 浙江)已知 a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3-2bx-a+b. (1)证明:当0≤x≤1时,

①函数f(x)的最大值为|2a-b|+a;
②f(x)+|2a-b|+a≥0. (2)若-1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.

[教你审题] (1)①求f′(x),解不等式确定函数的单调区间,
求出函数极值及区间端点值,比较求出最大值. ②求函数最值,转化为恒成立问题. (2)化归转化,借助线性规划知识求出a+b的范围.
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[规范解答] (1)①f′(x)=12ax

2

? 2 b? -2b=12a?x -6a?. ? ?

当 b≤0 时, f′(x)≥0, 有 此时 f(x)在[0, +∞)上单调递增. 当 b>0 时,f′(x)=12a
? 在 ?0, ? ? ?x+ ?

b? ? ? ?x- 6a? ?

b? ?,此时 f(x) 6a?

b 6a

? ? ?上单调递减,在? ? ?

? b ,+∞? 上 单 调 递 6a ?

增.(3 分) 所以当 0≤x≤1 时,f(x)max=max{f(0),f(1)}=max{-a+
?3a-b,b≤2a, ? b,3a-b}=? ?-a+b,b>2a ?

=|2a-b|+a.(5 分)

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②由于0≤x≤1,故当b≤2a时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)+ 3a-b=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+ 1).

当b>2a时,f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax3+2b(1-x)
-2a>4ax3+4a(1-x)-2a=2a(2x3-2x+1).(7分)
? 设g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1, 3?? 3? 2 则 g′(x)=6x -2=6?x- ??x+ ?, 3 ?? 3? ?

于是 g′(x),g(x)随 x 的变化情况如下表:

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x

0

? ?0, ?

3? ? 3?

3 3

? ? ?

? 3 ,1? 3 ?

1

g′(x)
g(x) 1



0
极小值

+ 1

4 3 3? ?=1- >0. 9 3? 所以当0≤x≤1时,2x3-2x+1>0.

? 所以,g(x)min=g? ?

故f(x)+|2a-b|+a≥2a(2x3-2x+1)≥0.(10分)

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(2)由①知,当0≤x≤1,f(x)max=|2a-b|+a, 所以|2a-b|+a≤1.
若|2a-b|+a≤1, 则由②知 f(x)≥-(|2a-b|+a)≥-1.所以 - 1≤f(x)≤1 对 任 意 0≤x≤1 恒 成 立 的 充 要 条 件 是
?|2a-b|+a≤1, ? ? ?a>0. ?

?2a-b≥0, ? 即 ?3a-b≤1, ?a>0 ?

?2a-b<0, ? 或 ?b-a≤1,?*? ?a>0 ?

(12

分)

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在直角坐标系aOb中,(*)所表示的
平面区域为如图所示的阴影部分, 其中不包括线段BC.作一组平行直线

a+b=t(t∈R),
得-1<a+b≤3, 所以a+b的取值范围是(-1,3]. (14分)

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[阅卷老师手记] 本题第(2)问命题新颖,一改常考命题方 式,不是证明不等式恒成立问题,而是已知不等式恒成 立,去求参数的范围,解答时,不仅与线性规划相结合,

而且充分利用了第(1)问的两个结论,这一步值得我们进
行反思,对于一个有递进关系的综合问题,命题者常常通 过前一问的结论隐性地设置后一问的条件,因此有效地利

用前一问的结论(即把这个结论也作为题目的新的条件)去
解答后问,是我们解答综合性问题的一种思维习惯和解题 方式.

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利用导数法求解函数最值的基本步骤是:
第一步:求导:根据基本初等函数的导数以及求导法则准 确求出函数的导函数.

第二步:定零点:令导函数等于零求出导函数的零点.
第三步:定单调性:利用导函数的零点将给定区间分为多 个单调区间,根据导函数的符号确定函数的单调性. 第四步:求最值:求出函数在每个单调区间上的端点值与 函数的极值,比较它们的大小,从而确定最值.

第五步:回顾反思:利用导数法求解函数最值应该注意两
个方面的问题,一是函数的定义域,函数与其导函数的定 义域可能不一致;二是确定函数在某个区间上的最值时, 注意极值与最值的区别.
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【试一试】 (2011· 陕西)设函数 f(x)定义在(0,+∞)上, 1 f(1)=0,导函数 f′(x)=x,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值. ?1? (2)讨论 g(x)与 g?x?的大小关系. ? ? 1 (3)是否存在 x0>0, 使得|g(x)-g(x0)|<x对任意 x>0 成立?若存 在,求出 x0 的取值范围;若不存在,请说明理由.

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1 (1)由题设易知 f(x)=ln x,g(x)=ln x+x,

x-1 ∴g′(x)= 2 .令 g′(x)=0,得 x=1. x 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是 g(x)的单调减区间, 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单 调增区间, ∴x=1 是 g(x)的唯一极值点, 且为极小值点, 从而是最小值点,∴最小值为 g(1)=1.

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?1? (2)g?x?=-ln ? ?

x+x, 1 x-x+x,



?1? h(x)=g(x)-g?x?=2ln ? ?

?x-1?2 则 h′(x)=- . x2 当 x=1 时,h(1)=0,即
?1? g(x)=g?x?, ? ?

当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0, ∴h(x)在(0,+∞)内单调递减, 当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,即 当 x>1 时,h(x)<h(1)=0,即
?1? g(x)>g?x?, ? ?

?1? g(x)<g?x?. ? ?
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(3)满足条件的x0不存在.证明如下:
法一 1 假设存在 x0>0, 使|g(x)-g(x0)|<x对任意 x>0 成立,

2 即对任意 x>0,有 ln x<g(x0)<ln x+x,(*) 但对上述 x0,取 x1=eg(x0)时,有 ln x1=g(x0),这与(*) 左边不等式矛盾, 1 ∴不存在 x0>0,使|g(x)-g(x0)|<x对任意 x>0 成立.

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法二

1 假设存在 x0>0, 使|g(x)-g(x0)|<x对任意的 x>0 成

1 立. 由(1)知, g(x)的最小值为 g(1)=1, g(x)=ln x+x>ln 又 x,而 x>1 时,ln x 的值域为(0,+∞),∴当 x≥1 时, g(x)的值域为[1, +∞), 从而可取一个 x1>1, g(x1)≥g(x0) 使 1 +1,即 g(x1)-g(x0)≥1,故|g(x1)-g(x0)|≥1> ,与假设 x1 1 矛盾. ∴不存在 x0>0, 使|g(x)-g(x0)|<x对任意 x>0 成立.

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