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2015初高中数学衔接教程:第一讲 因式分解


第一讲
一、知识归纳

因式分解

1、公式法分解因式:用公式法因式分解,要掌握如下公式: (1) a 2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b) ; (2) a 2 ? 2ab ? b2 (a ? b)2 ; (3) a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? (a ? b)3 ; (4) a2 ? b2 ? c2 ?

2ab ? 2bc ? 2ac ? (a ? b ? c)2 ; (5) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ac) ; (6) an ? bn ? (a ? b)(an ?1 ? an ?2 ? b ? ?? abn ?2 ? bn ?1); n ?

? N* ;

(7)当 n 为正奇数时 an ? bn ? (a ? b)(an ?1 ? an ? 2b ? ? ? abn ? 2 ? bn ?1 ) 当 n 为正偶数时 an ? bn ? (a ? b)(an ?1 ? an ? 2b ? ? ? abn ? 2 ? bn ?1 ) 2、十字相乘法因式分解 3、待定系数法因式分解 4、添项与拆项法因式分解 5、长除法 二、例题讲解 例 1:因式分解: 6 x ? 7 x ? 3
2

例 2:因式分解: x ? 2(a ? b ) x ? (a ? b )
4 2 2 2 2

2 2

1

例 3:因式分解 4 x2 ? 4 xy ? 3 y 2 ? 4 x ? 10y ? 3

例 4:利用待定系数法因式分解 (1) 2 x 2 ? 3xy ? 9 y 2 ? 14x ? 3 y ? 20 (2) 4 x2 ? 4 xy ? 3 y 2 ? 4 x ? 10y ? 3

例 5:利用添项法、拆项法因式分解 (1) x ? 6 x ? 7
3

(2) x ? x ? 1
5

2

例 6:已知 3x ? x ? 1 ? 0 ,求 6 x ? 7 x ? 5x ? 1987的值。
2 3 2

三、课堂练习 1、分解因式 (1) x6 ( x ? y ? z) ? y 6 ( z ? y ? x) (2) (a 2 ? b2 ? 1)2 ? 4a 2b2 (3) 4m ? m ? 32m ? 8
4 3

分解因式 (1) x ? 4
4

(2) x ? 9 x ? 8
3

3、分解因式 (1) x 2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? 3x ? y ? 2 (2) 2 x ? 5xy ? 3 y ? 3x ? 5 y ? 2
2 2 b 4、已知多项式 3x ? ax ? bx ? 1 能被 x ? 1 整除,且商式是 3x ? 1 则 (?a) ?
3 2



5、多项式 2 x ? 3x ? ax ? 7 x ? b 能被 x ? x ? 2 整除,求
4 2 2 2

a 的值。 b

3

第一讲

因式分解

例 1:解:由多项式的乘法法则易得 acx2 ? (ad ? bc) x ? bd ? (ax ? b)(cx ? d ) 3 1 ∴ ∴3×(-3)+2×1=-7 2 -3 ∴ 6 x2 ? 7 x ? 3 ? (3x ? 1)(2 x ? 3) 例 2:解: x2 x2

-(a-b)2 -(a-b)2

∴原式= [ x2 ? (a ? b)2 ] ? [ x2 ? (a ? b)2 ] = ( x ? a ? b)(x ? a ? b)(x ? a ? b)(x ? a ? b) 例 3:解:原式= 4x ? (4 y ? 4) x ? (3 y ? 10y ? 3)
2 2

= 4 x2 ? (4 y ? 4) x ? (3 y ? 1)( y ? 3) = [2 x ? (3 y ? 1)][2 x ? ( y ? 3)] = (2 x ? 3 y ? 1)(2 x ? y ? 3) 2x 2x

-(3y-1)
y-3

点评:以上三例均是利用十字相乘来因式分解,其中例 3 中有 x、y,而我们将其整理 x 的二次三项式。 故又称“主元法” 。 例 4:解:如果要分解的因式的形式是,唯一确定的,那么可以考虑利用待定系数法 ∵ 2 x2 ? 3xy ? 9 y 2 ? (2 x ? 3 y)(x ? 3 y) 则可设 2x ? 3xy ? 9 y ? 14x ? 3 y ? 20 ? (2x ? 3 y ? m)(x ? 3 y ? n) (m、n 待定)
2 2

∴原式= 2x2 ? 3xy ? 9 y 2 ? (m ? 2n) x ? (3m ? 3n) y ? mn

?m ? 2n ? 14 ? 比较系数得 ?3m ? 3n ? ?3 解得 m=4,n=5 ?m n ? 20 ?
∴原式= (2 x ? 3 y ? 4)(x ? 3 y ? 5) (2)在例 3 中利用了十字相乘法,请同学们用待定系数法解决。 例 5:解: (1)

x3 ? 6x ? 7 ? ( x3 ? 1) ? (6x ? 6) ? ( x ? 1)(x2 ? x ? 1) ? 6( x ? 1) ? ( x ? 1)(x2 ? x ? 1 ? 6)
4

= ( x ? 1)(x 2 ? x ? 7) 或 x3 ? 6x ? 7 ? ( x3 ? x) ? (7 x ? 7) ? x( x ? 1)(x ? 1) ? 7( x ? 1) ? ( x ? 1)(x2 ? x ? 7)



x3 ? 6 x ? 7 ? (7 x3 ? 7) ? (6 x3 ? 6 x) ? 7( x ? 1)(x 2 ? x ? 1) ? 6 x( x ? 1)(x ? 1) ? ( x ? 1)(x 2 ? x ? 7)
5

解: (2) x ? x ? 1 = ( x5 ? x2 ) ? ( x2 ? x ? 1) ? x2 ( x3 ? 1) ? ( x2 ? x ? 1)

? x2 ( x ? 1)(x2 ? x ? 1) ? ( x2 ? x ? 1) ? ( x2 ? x ? 1)(x3 ? x2 ? 1)
例 6:解:把 6 x ? 7 x ? 5x ? 1987用含有 3x ? x ? 1 的代数式表示
3 2 2

2x ? 3 ∴ 3 x ? x ? 1 6 x ? 7 x ? 5 x ? 1987
2 3 2

6 x3 ? 2 x 2 9 x 2 ? 3 x ? 1987 9 x 2 ? 3x ? 3 1990
∴ 6 x ? 7 x ? 5x ? 1987? (2 x ? 3)(3x ? x ? 1) ? 1990? 1990
3 2 2

课堂练习答案: 1、 (1) ( x ? y ? z)(x ? y)(x ? y)(x 2 ? xy ? y 2 )(x 2 ? xy ? y 2 ) (2) (a ? b ? 1)(a ? b ? 1)(a ? b ? 1)(a ? b ? 1) (3) (4m ? 1)(m ? 2)(m2 ? 2m ? 4) 2、 (1) ( x 2 ? 2 x ? 2)(x 2 ? 2x ? 2) (2) ( x ? 1)(x ? x ? 8)
2

3、 (1) ( x ? 3 y ? 2)(x ? y ? 1) (2) (2 x ? y ? 1)(x ? 3 y ? 2) 4、-1 5、

b ? ?2 a

5


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