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高中数学中含参数不等式问题的解题策略


学园 I   A C A D E MY   2 0 1 3 年 第1   1 期  高 中数学 中含参数不等 式问题 的解题 策略  张志军  广 东省珠 海 市斗 门区和风 中学  【 摘 要】 高 中数学中含参数不等式的问题,是高考的一个热点,它具有一定 的综合性,出题者可以把高 中数学必修课  本 中的不等式、函数、三角函数、解析几何等 内容通过含参数不等式的题型将 它

们有机地结合起来 ,此题型的特点是覆盖知  识 点较 多 、综合 性较 强 、考试 时比较 能反 映考 生 的各种 数 学能 力 与数 学思想 。通 过平 时教 师 引导 学生进 行 解题 策 略的 强化训  练,对提高学生的综合解题能力 ,培养学生数学思维的灵活性、创造性等方面都有独到的作用。   【 关键词 】高 中数学   参数不等式   解题策略   【 中图分类号 】 G 6 3 2   【 文献标识码 】 A   【 文章编号 】1 6 7 4 —4 8 1 0( 2 0 1 3) 1 1 —0 1 4 0 —0 2   _ 厂 ( X )   - - 4 5 -a  ̄0 ,口 ≥4 5 ,即实数 a的取值范围  为 [ 4 5 ,+∞ ) 。   例4 :函数 厂 (  )= ( X 2 +2 x +a ) / x ,  ∈[ 1 ,+∞ ) ,   ? . . 本 文 主 要结 合 具 体 实 例谈 谈 高 中数 学 含 参数 不 等 式 问  题 的一 般求 解策 略 。   判 别 式法  一 在平时的教学中,当我们在解决函数的相关 问题时 , 可  将它转化为一元二次不等式问题时, 则可考虑应用判别式法  解题 。此类 问题 的一 般结 构 如下 :   般地 , 对 于 二次 函数 _ , ( X ) =似  +   +c ( 口 ≠0 , X ER) ,   一 若对任意 x ∈[ 1 ,+∞) ’ 厂 ( X )>0 恒成立 ,求实数 a的取  值范 围。   解 :若对 任意 x E[ 1 ,+o 。 ) , 厂 (  )>0 恒 成立 ,即对   X ∈[ 1 ,+0 0 ) , 厂( X )= (  +   +口) / x >0恒成 立 ,因为  ∈[ 1 ,+∞ ) , 只需 g( x ) =  +   +口 >0 在 ∈ [ 1 ,+∞)   时恒成立即可 ,而抛物线 g(  )=  +  +口 在X E[ 1 ,+   o 。 )的最 小值 g (  ) m i n = g( 1 )=3 +   >0 ,解得 日 > -3 。   三 分离 变量 法  有: ( 1 ) 厂 (  ) >0 对 ∈R恒成立 , 等价于 a >O , 且 △<0 ;   ( 2 ) 厂 (  )<0 对x ER恒成立 ,等价于 a <O ,且△<0 。   例 1 :已知 函数 y =l g(  + ( 口 一1 ) x +a   )的定 义域  为 R,求实数 a的取值范围。   解 :由题 设可将问题转化 为不 等式  + ( 日 一1 )  +  >0   对 ∈ R恒成立 ,即有 △ = ( 口 一1 )  一4  <0 。解得 口 < 一1 或  1   j  若题 目所给的含参数不等式能通过恒等变形 , 使参数与  其 他未 知量 分 布在 不等 式两 端 , 可 将 问题转 化为 求未 知量 函   1   j   a >÷, 所以实数口 的 取值范围为 ( 一 o 。 , 一1 ) u( ÷, +O 0 ) 。  

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